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解析几何综合题训练【练习一】1直线（I）证明与相交；（II）证明与的交点在椭圆解：（）反证法.假设与不相交，则与平行，有代入，得.此与为实数的事实相矛盾.从而即与相交.（）由方程组解得交点P的坐标（x,y）为而即P(x,y)在椭圆.2已知椭圆的方程为，双曲线的左右焦点分别为的左右顶点，而且的左右顶点分别是的左右焦点。（1）求双曲线的方程；（2）若直线：与双曲线恒有两个不同的交点，且（为坐标原点），求的取值范围。解：由题意知，椭圆的焦点，顶点， 双曲线中， 的方程为：联立，得，且，设，则，又，即，即，由得的范围为3（2011江西高考文科19）已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于（）两点，且（1）求该抛物线的方程；（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值【思路点拨】（1）首先将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理可得，再结合抛物线的定义可求出P的值.（2）结合第一问所求，解出A,B坐标，结合条件式解出C点的坐标，将其带入抛物线方程可得的值.【精讲精析】解析：（1）直线AB的方程是 所以：，由抛物线定义得：，所以p=4，抛物线方程为：（2） 由p=4，化简得，从而,从而A(1,),B(4,)设=，又因为，即8（4），即，解得4.OF2F1AXY（2010安徽高考理科19）已知椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率。 (1)求椭圆的方程；(2)求的角平分线所在直线的方程；(3)在椭圆上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由。【命题立意】本题主要考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单性质，点关于直线的对称性等知识，考查考生在解析几何的基本思想方法方面的认知水平，探究意识，创新意识和综合运算求解能力【思路点拨】（1）设出椭圆的标准方程，再根据题设条件构建方程（组）求解；（2）根据角平分线的性质求出直线的斜率或直线上的一个点的坐标，进而求得直线的方程；（3）先假设椭圆上存在关于直线对称的相异两点，在此基础之上进行推理运算，求解此两点，根据推理结果做出判断。【规范解答】（1）设椭圆的方程为（），由题意，又，解得：椭圆的方程为（2）方法1：由（1）问得，又，易得为直角三角形，其中设的角平分线所在直线与x轴交于点，根据角平线定理可知：，可得，直线的方程为：，即。方法2：由（1）问得，又，直线的方程为：，即。（3）假设椭圆上存在关于直线对称的相异两点、，令、，且的中点为，又，两式相减得: ,即（3），又在直线上，（4）由（3）（4）解得：，所以点与点是同一点，这与假设矛盾，故椭圆上不存在关于直线对称的相异两点。5若椭圆的左右焦点分别为，线段被抛物线的焦点分成的两段，过点C(-1,0)且以向量为方向向量的直线交椭圆于不同两点A,B，满足(1) 求椭圆的离心率；(2) 当三角形OAB的面积最大时，求椭圆的方程。解： ()由题意知：4() 设椭圆方程为依题意知直线l的方程为：y=k(x+1)消y得设由得当且仅当时，取最大值此时，将点A的坐标代入得：=5故椭圆方程为：6已知两定点，满足条件的点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两点（）求的取值范围；（）如果，且曲线上存在点，使，求的值和 的面积.解：（）由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，且，易知故曲线的方程为3设，由题意建立方程组消去，得又已知直线与双曲线左支交于两点，有 解得5 依题意得 整理后得或但 故直线的方程为8（）设，由已知，得，又，点将点的坐标代入曲线的方程，得得，但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意.点的坐标为到的距离为的面积127.双曲线方程的一条渐近线为x+2y=0，其左焦点到右准线的距离为(I )求双曲线的方程；(II)过点A(，0)作斜率不为0的直线，交双曲线的右支于点C，交双曲线的左支于点D，过点D作x轴的垂线，交双曲线于点M，证明直线MC过定点解：(I)由已知得即双曲线方程为（4分）（II）证明：设直线CD的方程为，直线MC的方程为设C（，），D（，），则由已知得M（，-）（5分） （6分）（8分）由题可知是2个方程的根 解得代入简化整理即直线MC的方程为：直线MC恒过定点（2，0）8.（2010北京高考文科9）已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，离心率是，直线与椭圆C交与不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P,圆心为P.（）求椭圆C的方程；（）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；（）设Q（x,y）是圆P上的动点，当变化时，求y的最大值.【命题立意】本题考查了求椭圆方程，直线与圆的位置关系，函数的最值。要求学生掌握椭圆标准中的关系，离心率.直线与圆相切问题转化为圆心到直线的距离等于半径来求解.第（）问中最大值的求法用到了三角代换，体现了数学中的转化与化归思想.【思路点拨】由焦点可求出，再利用离心率可求出。直线与圆的位置关系转化为圆心到直线的距离.【规范解答】（）因为，且，所以所以椭圆C的方程为.（）由题意知由 得所以圆P的半径为.由，解得.所以点P的坐标是（0，）.（）由（）知，圆P的方程.因为点在圆P上。所以由图可知。设，则当，即，且，取最大值2.【方法技巧】（1）直线与圆的位置关系：时相离；时相切；时相交；（2）求无理函数的最值时三角代换是一种常用的去根号的技巧.练习二1. （2011福建卷理科17）(本小题满分13分)已知直线：y=x+m，mR.（I）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线相切与点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；（II）若直线关于x轴对称的直线为，问直线与抛物线C：x2=4y是否相切？说明理由.【思路点拨】（1）由题意画出图形，结合图形求出圆的半径，然后写出圆的标准方程；（2）由的方程求得的方程，将的方程与抛物线C的方程联立，得一元二次方程，然后依据对应判别式的正负，来判定两者能否相切.【精讲精析】解法1：（I）依题意，点的坐标为.因为所以解得，即点坐标为.从而圆的半径故所求圆的方程为.()因为直线的方程为，所以直线的方程为.由得.当，即时，直线与抛物线C相切；当，即时，直线与抛物线C不相切.综上，当时，直线与抛物线相切；当时，直线与抛物线C不相切.解法2：（I）设所求圆的半径为，则圆的方程可设为.依题意，所求圆与直线相切于点，则解得所以所求圆的方程为.（II）同解法1.2（2011湖南高考文科T21）（本小题满分13分）已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.（）求动点P的轨迹C的方程；（）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹C相交于点A，B，与轨迹C相交于点D，E，求的最小值.【精讲精析】（I）设动点的坐标为，由题意为化简得当、所以动点P的轨迹C的方程为（II）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为由，得设则是上述方程的两个实根，于是 因为，所以的斜率为设则同理可得故当且仅当即时，取最小值16200905153.已知圆，坐标原点为O.圆C上任意一点A在x轴上的射影为点B，已知向量.（1）求动点Q的轨迹E的方程；（2）当时，设动点Q关于x轴的对称点为点P，直线PD交轨迹E于点F（异于P点），证明：直线QF与x轴交于定点，并求定点坐标.解：（1）设，3分，这就是轨迹E的方程.4分（2）当时，轨迹为椭圆，方程为5分设直线PD的方程为代入，并整理，得 由题意，必有，故方程有两上不等实根.设点由知，7分直线QF的方程为当时，令得，将代入整理得，再将代入，计算，得x=1，即直线QF过定点（1，0）当k=0时，（1，0）点12分4.已知可行域的外接圆与轴交于点，椭圆以线段 为长轴，离心率 (1)求圆及椭圆的方程； (2)设椭圆的右焦点为，点为圆上异于的动点，过原点作直线垂线交直线于点判断直线与圆的位置关系，并给出证明5.设直线l:y=k(x+1)与椭圆（a0）相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点。 （）证明：； （）若，OAB的面积取得最大值时椭圆方程。解：（）依题意，直线显然不平行于坐标轴，故可化为将 代入，消去，得1分由直线与椭圆相交于两个不同的点，得=2分化简整理即得（）4分 （）A（x1，y1），B（x2，y2），由，得5分因为，得6分由联立，解得7分OAB的面积=上式取等号的条件是，即9分当时，由解得；当时，由解得。将及这两组值分别代入，均可解出11分经验证，满足（）式。所以，OAB的面积取得最大值时椭圆方程是12分6.如图所示，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长是短轴长的3倍且经过点平行于的直线在轴上的截距为，且交椭圆于两不同点 (1)求椭圆的方程； (2)求的取值范围； (3)求证：直线与轴始终围成一个等腰三角形7.（2010广东高考理科20） 已知双曲线的左、右顶点分别为A1,A2，点，是双曲线上不同的两个动点（1） 求直线A1P与A2 Q交点的轨迹E的方程；（2） 若过点H(O, h)（h1）的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且 ,求h的值。【命题立意】本题为解析几何综合问题，主要考察点的轨迹方程、直线与圆锥曲线的位置关系.【思路点拨】（1）利用交轨法求点的轨迹方程； （2）利用互相垂直的两条直线的斜率互为负倒数的关系，设出l1和l2 的方程，代入曲线方程后，利用其判别式为零求出的值.【规范解答】（1）因为A1,A2 分别为的左、右顶点，所以、， .两式相乘得：，又因为点在双曲线上，所以，代入上式，求得点的轨迹方程为：.(2)设 ，因为，所以可设 .将 代入得：即： ，因为与只有一个交点，所以 ，即 （1）同理，将 代入，因为与只有一个交点，可得：， -（2）由（1）、（2）得，解得，所以，即 8（2011安徽高考理科21）若，点A的坐标为（1,1），点B在抛物线上运动，点Q满足，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足,求点P的轨迹方程.【思路点拨】设出点坐标，通过，等中间量建立方程，消去中间量，的点的轨迹方程【精讲精析】解：由知Q,M,P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P(x,y),Q(x,),M(x,x),则即 再设由，即解得 将式代入式，消去，得 又点B在抛物线上，所以，再将式代入，得因为，两边同时除以得故所求点P的轨迹方程为.练习三1. 已知直线与椭圆相交于、两点，是线段上的一点，且点M在直线上 （1）求椭圆的离心率； （2）若椭圆的焦点关于直线的对称点在单位圆上，求椭圆的方程。解：（1）由知是的中点， 设、两点的坐标分别为 由 得： 点的坐标为 又点的直线上： （2）由（1）知，不妨设椭圆的一个焦点坐标为，设关于直线 的对称点为， 则有 解得： 由已知， ， 。所求的椭圆的方程为2.（2010福建高考文科9）已知抛物线C：过点A （1 , -2）.（I）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；（II）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由.【解答】（I）将代入，得，故所求的抛物线方程为，其准线方程为；（II）假设存在符合题意的直线，其方程为，由得，因为直线与抛物线C有公共点，所以，解得。另一方面，由直线OA与直线的距离等于可得，由于，所以符合题意的直线存在，其方程为.3.过椭圆的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，若点M在轴上，且使得MF为的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”.（）求椭圆的“左特征点”M的坐标；（）试根据（）中的结论猜测：椭圆的“左特征点”M是一个怎样的点？并证明你的结论.解（1）设为椭圆的左特征点，椭圆的左焦点为，可设直线的方程为.并将它代入得：，即.设，则，（3分）被轴平分，.即.即，.（5分）于是.，即.（7分）（2）对于椭圆.于是猜想：椭圆的“左特征点”是椭圆的左准线与轴的交点. （9分）证明：设椭圆的左准线与轴相交于M点，过A，B分别作的垂线，垂足分别为C，D.据椭圆第二定义：于是即.，又均为锐角，.的平分线.故M为椭圆的“左特征点”. （12分）4.（2010浙江高考文科22）已知m是非零实数，抛物线（p0）的焦点F在直线上. （I）若m=2，求抛物线C的方程；（II）设直线与抛物线C交于A、B，A,的重心分别为G,H求证：对任意非零实数m,抛物线C的准线与x轴的交点在以线段GH为直径的圆外.【命题立意】本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线、点与圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.【思路点拨】（1）求出抛物线的焦点坐标代入到直线方程中可出求；（2）把点在圆外转化为点到圆心的距离大于半径.【规范解答】()因为焦点F(,0)在直线l上，得又m=2,故.所以抛物线C的方程为.（2）设A(x1,y1) , B(x2,y2)，由消去x，得y22m3ym40，由于m0，故4m64m40，且有y1y22m3，y1y2m4，设M1，M2分别为线段AA1，BB1的中点，由于可知G（），H（），所以所以GH的中点M为.设R是以线段GH为直径的圆的半径，则设抛物线的准线与x轴交点N，则.故N在以线段GH为直径的圆外.【方法技巧】（1）设而不求思想在解决圆锥曲线问题时较常用，一般设出后，通过联立方程组，消元，利用韦达定理，得到（或），再整体代入；（2）点与圆的位置关系问题，一是看点到圆心的距离；二是代入到圆的方程中验证.5.设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点。 （I）若M是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值； （II）设过定点（0，2）的直线l与椭圆交于不同两点A、B，且AOB为钝角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围。解：（I）由已知2分 所以当有最小值为-7；当有最大值为1。 （II）设点 直线AB方程： 有 9分因为为钝角，所以 12分解得，此时满足方程有两个不等的实根14分故直线l的斜率k的取值范围 6.如图，已知双曲线 (a0，b0)其右准线交x轴于点A，双曲线虚轴的下端点为B，过双曲线的右焦点F（c,0）作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，若点D满足：（O为原点）且（0）（）求双曲线的离心率；（）若a2，过点B的直线l交双曲线于M、N两点，问在y轴上是否存在定点C，使为常数，若存在，求出C点的坐标，若不存在，请说明理由.解（）B(0,-b)，A(2 D为线段FP的中点 1分(c,即A、B、D共线 2分而,(得a=2be= 4分（）a=2而e=双曲线方程为5分B(0,-1)假设存在定点C(0,n)使为常数u，设MN的方程为y=kx-1 由代入得由题意得得 设M( 8分而=整理得：48-=0 10分对满足解得n=4,u=17故存在y轴上的定点C(0,4),使为常数17 12分7.已知点A(2,0)，B(2,0)，动点P满足|4.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点B的直线l与轨迹C交于M、N两点，试问：在x轴上是否存在定点F，使为常数？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由.解：(1)设P(x，y)，则(2x，y)，(2x，y)，依题意有(2x)(2x)y2，化简得x2y22.4分(2)假设存在定点F(m,0)，使为常数.当直线l与x轴不垂直时，设l：yk(x2)，(1k2)x24k2x4k220，依题意k21，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则于是(x1m，y1)(x2m，y2)(k21)x1x2(2k2m)(x1x2)4k2m2m24m2.8分要使是与k无关的常数，当且仅当m1，此时1.当直线lx轴时，可得M(2，)，N(2，)，若m1，则(1，)(1，)1.所以在x轴上存在定点F(1,0)，使为常数.12分8.（2011山东高考文科22）（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.（）求的最小值；（）若，（i）求证：直线过定点；（ii）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由.【精讲精析】（）由题意:设直线,由消y得:,设A、B,AB的中点E,则由韦达定理得: =,即,所以中点E的坐标为,因为O、E、D三点在同一直线上，所以，即，解得，所以=,当且仅当时取等号,即的最小值为2.（）（i）证明:由题意知:n0,因为直线OD的方程为,所以由得交点G的纵坐标为,又因为,且，所以,又由（）知: ,所以解得,所以直线的方程为,即有,令得,y=0,与实数k无关,所以直线过定点(-1,0).（ii）假设点，关于轴对称,则有的外接圆的圆心在x轴上,又在线段AB的中垂线上,由（i）知点G,所以点B,又因为直线过定点(-1,0),所以直线的斜率为，又因为，所以解得或，又因为,所以舍去,即，此时k=1，m=1，E（），.AB的中垂线为2x+2y+1=0，圆心坐标为，圆半径为，圆的方程为.综上所述, 点，关于轴对称,此时的外接圆的方程为: .练习四1（2011广东高考理科19）设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切.（1）求C的圆心轨迹L的方程.（2）已知点且P为L上动点，求的最大值及此时点P的坐标.【精讲精析】（1）设两圆 圆心分别为,两圆相离，由题意得|CF1|CF2|=4，从而得动圆的圆心C的轨迹是双曲线.且，所以，所求轨迹L的方程为.（2）直线MF的方程为，由方程组解得或由题意可得当P的坐标为时，的值最大，最大值为=2.2.（2011天津高考文科18）设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2.点满足 （）求椭圆的离心率； （）设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆相交于M，N两点，且，求椭圆的方程.【精讲精析】 （）【解析】设，因为，所以，整理得（舍）或 （）【解析】由（）知，可得椭圆方程为，直线FF2的方程为A，B两点的坐标满足方程组消去并整理，得.解得，得方程组的解不妨设，所以 于是圆心到直线PF2的距离，整理得，得（舍），或所以椭圆方程为3.已知椭圆左、右焦点分别为F1、F2，点，点F2在线段PF1的中垂线上。 （1）求椭圆C的方程； （2）设直线与椭圆C交于M、N两点，直线F2M与F2N的倾斜角分别为，且，求证：直线过定点，并求该定点的坐标。解：（1）由椭圆C的离心率得，其中，椭圆C的左、右焦点分别为又点F2在线段PF1的中垂线上解得 4分 （2）由题意，知直线MN存在斜率，设其方程为由消去设则且 8分由已知，得化简，得 10分整理得直线MN的方程为，因此直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0） 12分4.（2011新课标全国高考文科20）在平面直角坐标系xOy中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上（）求圆C的方程；（）若圆C与直线交于A，B两点，且，求a的值.【思路点拨】第（1）问，求出曲线与坐标轴的3个交点，然后通过3个点的坐标建立方程或方程组求得圆C的方程;第（2）圆，设，利用直线方程与圆的方程联立，化简，最后利用待定系数法求得的值.【精讲精析】（）曲线与坐标轴的交点为（0,1）（3故可设圆的圆心坐标为（3，t）则有+解得t=1,则圆的半径为.所以圆的方程为.（）设其坐标满足方程组c消去y得到方程由已知可得判别式=56-16a-40由韦达定理可得， 由可得又.所以2 由可得a=-1,满足0，故a=-1.5.（2010江苏高考8）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M、，其中m0,。（1）设动点P满足,求点P的轨迹；（2）设，求点T的坐标；（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。【命题立意】本题主要考查求曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程及其相关的基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。【思路点拨】（1）设出P点的坐标，然后代入，化简即可；(2) 点T为直线MT和NT的交点；（3）联立直线MAT、直线NBT和椭圆方程，求出M和N的坐标，从而求出直线MN的方程,进而求证结论.【规范解答】（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由，得 化简得。故所求点P的轨迹为直线。（2）将分别代入椭圆方程，以及得：M（2，）、N（，）直线MTA方程为：，即，直线NTB 方程为：，即。联立方程组，解得：，所以点T的坐标为。（3）点T的坐标为直线MTA方程为：，即，直线NTB 方程为：，即。分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，解得：、。方法一：当时，直线MN方程为： 令，解得：。此时必过点D（1，0）；当时，直线MN方程为：，与x轴交点为D（1，0）。所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。方法二：若，则由及，得，此时直线MN的方程为，过点D（1，0）。若，则，直线MD的斜率，直线ND的斜率，得，所以直线MN过D点。因此，直线MN必过轴上的点（1，0）。6.（2011广东文科T21）在平面直角坐标系中，直线交轴于点A.设是上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足MPO=AOP.（1）当点P在上运动时，求点M的轨迹E的方程；（2）已知T（1，-1）.设H是E 上动点,求+的最小值，并给出此时点H的坐标；（3）过点T（1，-1）且不平行于y轴的直线与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线的斜率k的取值范围.【精讲精析】（1）如图1，可得直线l：x=-2与x轴交于点A（-2，0），设P（-2，m）， 当m=0时，点P与点A重合，这时OP的垂直平分线为x=-1，由AOP=MPO=得M(-1,0), 当m0时，设M（）（i）若x0-1，由MPO=AOP得MPOA，有y0=m，又=，OP的中点为（-1，），OP的垂直平分线为y-=，而点M在OP的垂直平分线上，y0,又,于是.即.（ii）若，如图1，由MPO=AOP得点M为OP的垂直平分线与x轴的交点，在中，令y=0，有,点M的轨迹E的方程为y2=4（x+1）（x-1）和y=0（x-1）.（2）由（1）知轨迹E为抛物线 =4（x+1）（x-1）与射线y=0（x-1），而抛物线=4（x+1）（x-1）的顶点为B（-1，0），焦点为O（0，0），准线为x=-2，当点H在抛物线 =4（x+1）（x-1）上时，作HG垂直于准线x=-2于点G，由抛物线的定义得则HO=HG,则HO+HT=HT+HG，作TF垂直于准线x=-2于点F，则HT+HGTF，又T(1，-1)，得TF=3，在 =4（x+1）(x-1)中，令y=-1得x=-34，即当点H的坐标为（-，-1）时，HO+HT的最小值为3.当点H在射线y=0（x-1）上时，HO+HT|TF|，|HO|+|HT|的最小值为3，此时点H的坐标为（3）由（2）得kBT=-12，由图2得当直线L1的斜率k或k0时，直线与轨迹E有且只有两个不同的交点.直线的斜率k的取值范围是（-，12（0，+）.7.（2010浙江高考文科22）已知m是非零实数，抛物线（p0）的焦点F在直线上. （I）若m=2，求抛物线C的方程；（II）设直线与抛物线C交于A、B，A,的重心分别为G,H求证：对任意非零实数m,抛物线C的准线与x轴的交点在以线段GH为直径的圆外.【命题立意】本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线、点与圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.【思路点拨】（1）求出抛物线的焦点坐标代入到直线方程中可出求；（2）把点在圆外转化为点到圆心的距离大于半径.【规范解答】()因为焦点F(,0)在直线l上，得又m=2,故.所以抛物线C的方程为.（2）设A(x1,y1) , B(x2,y2)，由消去x，得y22m3ym40，由于m0，故4m64m40，且有y1y22m3，y1y2m4，设M1，M2分别为线段AA1，BB1的中点，由于可知G（），H（），所以所以GH的中点M为.设R是以线段GH为直径的圆的半径，则设抛物线的准线与x轴交点N，则.故N在以线段GH为直径的圆外.【方法技巧】（1）设而不求思想在解决圆锥曲线问题时较常用，一般设出后，通过联立方程组，消元，利用韦达定理，得到（或），再整体代入；（2）点与圆的位置关系问题，一是看点到圆心的距离；二是代入到圆的方程中验证.8.（2010湖南高考文科19）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8Km的A、B两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A、B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图4）。考察范围到A、B两点的距离之和不超过10Km的区域。（I） 求考察区域边界曲线的方程：（II） 如图4所示，设线段 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍。问：经过多长时间，点A恰好在冰川边界线上？【命题立意】把直线和圆锥曲线的关系问题放在生活实际中考查充分体现了知识的应用性。能很好的体现学生应用知识的能力，而且打破了解析几何的固定命题模式。【思路点拨】题目的阐述比较新颖，把求曲线的方程阐述成求区域的边界。不受表面阐述所干扰，还是利用定义法求轨迹即可。第二问是数列问题，巧妙地把解析几何和数列的求和结合起来。【规范解答】 (1) 设边界曲线上点P的坐标为（x,y），则由|PA|+|PB|=10知，点P在以A,B为焦点，长轴为2a=10的椭圆上。此时短半轴长.所以考察区域边界曲线（如图）的方程为. (2) 易知过点P1,P2的直线方程为，因此点A到直线P1P2的距离为设经过n年，点A恰好落在冰川边界线上，则利用等比数列求和公式可得解得n=5，即经过5年，点A恰好在冰川边界线上。【练习五】1. （2011福建卷文科18）如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A.（）求实数b的值；（II）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程.【思路点拨】（1）直线与抛物线方程联立，然后相切即判别式，解之得b的值；（2）求出A点坐标，找出圆心和半径，写出圆的标准方程即可.【精讲精析】(1)由得. 因为直线与抛物线C相切，所以，解得.(2)由（1）可知，故方程即为，解得.将其代入，得故点A（2,1）.因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径等于圆心A到抛物线的准线的距离，即，所以圆A的方程为2.设椭圆的离心率为=,点是椭圆上的一点,且点到椭圆两焦点的距离之和为4（）求椭圆的方程；（）椭圆上一动点关于直线的对称点为,求的取值范围解（）依题意知, , 所求椭圆的方程为 （）设点关于直线的对称点为， 6分 解得：， 8分 10分 点在椭圆:上, 则的取值范围为 12分3.（2011江苏高考18）如图，在平面直角坐标系中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k（1）当直线PA平分线段MN，求k的值；（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k0，求证：PAPB【思路点拨】本题考查的是直线与椭圆的位置关系，解决本题的关键是正确的联立方程结合已知进行转化求解.【精讲精析】由题意知，故,所以线段MN的中点的坐标为，由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标原点，所以.（2）直线PA的方程为，代入椭圆方程得，解得，因此,于是,直线AC的斜率为，所以直线AB的方程为，因此.（3）解法一：将直线PA的方程为代入，解得，记，则，于是故直线AB的斜率为，直线AB的方程为，代入椭圆方程得，解得，或，因此，于是直线PB的斜率为， 因此，所以.解法二：设，则，.设直线PB，AB的斜率分别为.因为C在直线AB上，所以 ，从而 ，因此，所以.4.（2011北京高考理科T19）(14分)已知椭圆.过点作圆的切线交椭圆G于A,B两点.（）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值.【思路点拨】（）根据标准方程可求出焦点坐标和离心率；（）先讨论切线斜率不存在时的两种情况，当斜率存在时，联立切线方程与椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式可表示出|AB|，再求|AB|的最大值.【精讲精析】（）由已知得，所以，所以椭圆G的焦点坐标为，离心率为.（）由题意知，.当m=1时，切线的方程为x=1，点A,B的坐标分别为，此时；当m=-1时，同理可得；当|m|1时，设切线的方程为.由得.设A,B两点的坐标分别为.又由与圆相切，得，即.所以.由于当时，当且当时，.所以|AB|的最大值为2.5.（2011北京高考文科T19）(14分)已知椭圆的离心率为，右焦点为，斜率为1的直线与椭圆G交于A,B两点，以AB为底边作等腰三角形PAB，顶点为.（）求椭圆G的方程；（）求的面积. 【思路点拨】（）利用a,b,c的关系及离心率求出a,b，代入标准方程；（）联立直线方程与椭圆方程，然后利用韦达定理，设而不求，整体代入.【精讲精析】（）由已知得，解得.又，所以椭圆G的方程为.（II）设直线的方程为，由得，.设A,B的坐标分别为，AB中点为，则.因为AB是等腰的底边，所以.所以PE的斜率，解得.此时方程为，解得，所以.所以.此时，点到直线AB：的距离，所以的面积.6.（2011江西高考理科20）是双曲线E：上一点，M，N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.（1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足，求的值.【思路点拨】（1）表示出直线PM，PN的斜率，根据直线PM，PN的斜率之积为，得，进而求得离心率.（2）首先根据直线与双曲线的位置关系结合，将C点坐标用A,B两点坐标表示出来，再将C点坐标代入双曲线方程，即得的关系式，从而求得的值.【精讲精析】练习六1.（2011浙江高考理科8）已知椭圆（0）与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与以 的长轴为直径的圆相交于两点，若 恰好将线段三等分，则（A） （B） 13 （C） （D）2【思路点拨】关键是找出关于的关系建立方程组从而求解.【精讲精析】选C.解法一：由双曲线1知渐近线方程为，又椭圆与双曲线有公共焦点，椭圆方程可化为，联立直线与椭圆方程消得，又将线段AB三等分，解之得.解法二：由双曲线1知渐近线方程为,设渐近线与椭圆（0）的交点分别为,则,即,又由在上,所以有,又由椭圆（0）与双曲线有公共的焦点可得,由解得,故选C.2.（2011陕西高考文科T17）（本小题满分12分）设椭圆: 过点（0，4），离心率为（）求的方程；（）求过点（3，0）且斜率为的直线被所截线段的中点坐标【思路点拨】（）由椭圆过已知点和椭圆离心率可以列出方程组，解方程组即可，也可以分步求解；（）直线方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数关系；然后利用中点坐标公式求解【精讲精析】（）将点（0，4）代入的方程得, b=4,又 得，即， 的方程为（）过点且斜率为的直线方程为，设直线与的交点为A，B，将直线方程代入的方程，得，即，解得， AB的中点坐标，即所截线段的中点坐标为注：用韦达定理正确求得结果，同样给分3.（2011陕西高考理科T17）（本小题满分12分）如图，设P是圆上的动点，点D是P在轴上投影，M为PD上一点，且（）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；（）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的长度【思路点拨】（1）动点M通过点P与已知圆相联系，所以把点P的坐标用点M的坐标表示，然后代入已知圆的方程即可；（2）直线方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数关系；结合两点的距离公式计算【精讲精析】（）设点M的坐标是，P的坐标是，因为点D是P在轴上投影，M为PD上一点，且，所以，且，P在圆上，整理得，即C的方程是（）过点（3，0）且斜率为的直线方程是，设此直线与C的交点为，将直线方程代入C的方程得：，化简得，所以线段AB的长度是，即所截线段的长度是4.（2010天津高考理科20）已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。（1） 求椭圆的方程；（2） 设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为（），点在线段的垂直平分线上，且，求的值.【命题立意】本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算和推理能力。【思路点拨】（1）建立关于a,b的方程组求出a,b；（2）构造新的一元二次方程求解。【规范解答】（1）由，得，再由，得由题意可知， 解方程组 得 a=2,b=1，所以椭圆的方程为。(2)解：由（1）可知A（-2,0）。设B点的坐标为（x1,y1）,直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+2),于是A,B两点的坐标满足方程组由方程组消去整理，得由得设线段AB是中点为M，则M的坐标为以下分两种情况：（1）当k=0时，点B的坐标为（2,0）。线段AB的垂直平分线为y轴，于是（2）当k时，线段AB的垂直平分线方程为（后边的Y改为小写）令x=0，解得由整理得综上5.（2010辽宁高考理科20）设椭圆C：的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,.(I) 求椭圆C的离心率；(II) 如果|AB|=，求椭圆C的方程.【命题立意】本题考查了直线的点斜式方程，考查了椭圆的离心率，椭圆的标准方程，考查了圆锥曲线中的弦长问题，以及推理运算能力.【思路点拨】（I）联立直线方程和椭圆方程，消去x,解出两个交点的纵坐标，利用这两个纵坐标间的关系，得出a、b、c间的关系，求出离心率. （II）利用弦长公式表示出|AB|，再结合离心率和，求出a、b，写出椭圆方程.【规范解答】6.（2011浙江高考理科21）（本题满分15分）已知抛物线，圆的圆心为点M（）求点M到抛物线的准线的距离；（）已知点P是抛物线上一点（异于原点），过点P作圆的两条切线，交抛物线于A，B两点，若过M，P两点的直线垂直于AB，求直线的方程.【思路点拨】（）利用抛物线的几何性质可直接解决；（）考查直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识，利用过M，P两点的直线垂直于AB这一几何条件建立关系式即可解出【精讲精析】（）解：由题意可知，抛物线的准线方程为：所以圆心M（0,4）到抛物线的距离是 （）解：设P(x0, x02)，A（）B（），由题意得设过点P的圆C2的切线方程为y-x0=k(x- x0) 即， 则 即 设PA，PB的斜率为，则是上述方程的两根，所以 ，将代入得，由于是此方程的根，故所以而由MPAB,得，解得即点P的坐标为，所以直线的方程为.7.（2011辽宁高考理科20）（本小题满分12分）如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D（I）设，求与的比值；（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BOAN，并说明理由【思路点拨】（I）先利用离心率相同设出的方程和直线的方程，再求出的坐标，然后计算与的长度就可求出比值；（II）先考虑直线过原点的情况，再考虑直线不过原点的情况，此时利用斜率相等（即）建立等式关系，再考虑的因素，可得到关于的不等式，求解说明即可【精讲精析】()因为的离心率相同，故依题意可设 ：，：，（， 设直线：，分别与，的方程联立，求得 4分当时，分别用表示A，B的纵坐标，可知 :=. 6分 （）时的不符合题意时，当且仅当的斜率与的斜率相等，即，解得 ，因为，又，所以，解得，所以当时，不存在直线，使得；当时，存在直线，使得. 12分8（2011湖南高考理科T21）（13分）如图7，椭圆x轴被曲线：-b截得的线段长等于的长半轴长.（）求的方程；（）设与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与相交于点A，B，直线MA，MB分别与相交于点D，E.（i）证明：MD；（ii）记的面积分别为.问：是否存在直线l，使得？请说明理由.【精讲精析】（I）由题意知，从而，又，解得。故，的方程分别为。（II）（i）由