（全国通用）2020版高考数学专题一解题常用8术系统归纳第7讲关注整体设而不求讲义.docx

第7讲关注整体，设而不求方法概述设而不求是数学解题中的一种很有用的手段，采用设而不求的策略，往往能避免盲目推演而造成的无益的循环运算，从而达到准确、快速、简捷的解题效果应用题型选择题、填空题、解答题中均有应用在解决某些涉及若干个量的求值问题时，要有目标意识，通过虚设的策略，整体转化的思想，绕开复杂的运算过程，可使问题迅速得到解决.例1已知等比数列an中，Sm16，S2m64，求S3m.解设公比为q，由于S2m2Sm，故q1，于是得1qm4，则qm3，所以S3m(1qmq2m)16(1332)208.有些代数问题，通过挖掘题目中隐含的几何背景，设而不求，转化成几何问题求解.例2设a，b均为正数，且ab1，则的最大值为_.解析设u，v(u1，v1)，uvm，则u，v同时满足其中uvm表示直线，m为此直线在v轴上的截距.u2v24是以原点为圆心，2为半径的圆在第一象限内的一部分圆弧，如图所示，显然直线与圆弧相切时，所对应的截距m的值最大.由图易得mmax2，即2.答案2恰当合理地引入参数，可使解题目标更加明确，已知和欲求之间的联系得以明朗化，使问题能够得到解决.例3已知对任何满足(x1)2y21的实数x，y，不等式xyk0恒成立，求实数k的取值范围.解由题意设则g()xyksincos1ksin1k1k.令1k0，得k1.即实数k的取值范围是1，).在解析几何问题中，对于有关点的坐标采用设而不求的策略，能促使问题定向，简便化归，起到以简驭繁的解题效果.例4设抛物线y22px(p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴，求证：直线AC经过原点O.证明设A(2pt，2pt1)，B(2pt，2pt2)，则C.因为AB过焦点F，所以2pt12pt2p2，得t1t2.又直线OC的斜率kOC4t2，直线OA的斜率kOA，则kOCkOA.故A，O，C三点共线，即直线AC经过原点O.根据解题需要，可引入一个中间量作为中介，起到过渡作用，使问题得以解决.例5如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥体积分成相等的两部分，求圆锥母线与轴的夹角的余弦值.解过点A作AMSO，垂足为M，可知MAOAOBOSB.设MAx，OBr，SOh，则有x2hr2h.化简可得.又因为cos，即cos.所以cos2.于是cos4，又为锐角，所以cos2.某些看似十分复杂的运算，经过巧妙转换，恒等变形，使运算对象发生转移，起到意想不到的效果.例6求coscoscoscos的值.解设Mcoscoscoscos，Nsinsinsinsin，则MNsincossincossincossinsinsinsinsinsinN.而N0，故M.应用体验1.sin 10sin 30sin 50sin 70的值为_.解析：设Asin 10sin 30sin 50sin 70，Bcos 10cos 30cos 50cos 70，则ABsin 20sin 60sin 100sin 140cos 70cos 30cos 10cos 50B，而B0，由此可得A.答案：2.一直线被两直线4xy60，3x5y60截得的线段中点恰好是坐标原点，则这条直线的方程为_.解析：设所求直线分别交直线4xy60，3x5y60于点M，N，设M(x0，y0)，则有4x0y060.因为M，N关于原点对称，所以N(x0，y0)，从而3x05y060.由得x06y00.显然M(x0，y0)，N(x0，y0)，O(0，0)三点的坐标均适合方程.故所求直线的方程为x6y0.答案：x6y03.已知椭圆1，F1，F2为焦点，点P为椭圆上一点，F1PF2，则SF1PF2_.解析：设|PF1|r1，|PF2|r2，由椭圆定义得r1r210.由余弦定理得rr2r1r2cos64.2得，r1r212，所以SF1PF2r1r2sin 3.答案：34.在平面直角坐标系xOy中，双曲线1(a0，b0)的右支与焦点为F的抛物线x22py(p0)交于A，B两点.若|AF|BF|4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为_.解析：法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知|AF|y1，|BF|y2，|OF|，由|AF|BF|y1y2y1y2p4|OF|2p，得y1y2p.联立方程，得110.由根与系数的关系得y1y2b2p.pp，双曲线的渐近线方程为yx.法二：设A(x1，y1)，B(