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19 第二章 信号的时域分析 由序论可知 以时间为自变量描述物理量的变化是信号最基本 最直观的表达形式 在 时域内对信号进行滤波 放大 统计特征计算 相关性分析等处理 统称为信号的时域分析 通过时域分析方法 可以有效提高信噪比 求取信号波形在不同时刻的相似性和关联性 获 得反映机械设备运行状态的特征参数 为机械系统动态分析和故障诊断提供有效的信息 本 章将分别介绍信号滤波 信号采样 信号特征统计分析 信号的相关分析等时域处理方法 2 1 信号的预处理信号的预处理 传感器获取的信号往往比较微弱 并伴随着各种噪声 另外 不同类型的传感器 其输 出信号的形式也不尽相同 因此 为了抑制信号中的噪声 提高检测信号的信噪比 便于信 息提取 须对传感器检测到的信号进行预处理 所谓信号预处理 是指在对信号进行变换 提取 识别或评估之前 对检测信号进行的转换 滤波 放大等处理 常用的信号预处理方法主要有 1 信号类型转换 根据需要将信号转变为便于处理的信号形式 常见传感器输出信号的形式有电阻信号 电容信号 电流信号 微弱电压信号等几种 实际中常常需要对不同形式的信号进行转换 电阻信号 电容信号 电流信号常需要转换成标准的电压信号 例如应变测力传感器 热电 阻传感器输出的信号均为电阻信号 为了便于后续处理常用电桥将电阻信号转变为电压信号 2 信号放大 信号放大是增强微弱信号幅度或强度的过程 其目的在于使信号在传输后 特别是远距 离传输后 有足够的信号强度 常用的信号放大器包括 测量放大器 隔离放大器 可编程 增益放大器等 3 信号滤波 根据理论分析或实验研究需要 保留用频段信号 对不感兴趣的信号频段或噪声进行抑 制 从而提高信噪比 常用的信号滤波包括高通滤波 低通滤波或带通滤波等 4 去除均值 根据对信号均值的估计值 消除信号中所含均值成分的过程 例如 在计算信号的标准 差等统计量时 需要去除信号均值 5 去除趋势项 消除信号中的缓慢变化成分 使信号满足一定的要求 便于后续处理 常用的趋势项消 除方法有滤波法 多项式拟合法等 信号滤波是信号预处理中重要的方法 因此本节仅对信号的滤波作详细的介绍 20 2 1 1 信号的滤波处理 信号滤波处理是消除或减弱干扰噪声 保留有用信号的过程 而把实现滤波功能的系统 称之为滤波器 滤波器可分为两大类 即经典滤波器和现代滤波器 1 经典滤波器 当噪声和有用信号处于不同的频带时 噪声通过滤波器将被衰减或消除 而有用信号得 以保留 1 这样的滤波器称为经典滤波器 根据幅频特性的不同 滤波器分为低通滤波器 高 通滤波器 带通滤波器 带阻滤波器等类型 根据处理信号类型的不同 滤波器可分为模拟 滤波器和数字滤波器 对于数字滤波器来说 根据滤波器的单位脉冲响应序列长度的无限和 有限 数字滤波器可进一步分为无限冲击响应滤波器 IIR 和有限冲击响应滤波器 FIR 两类 1 2 3 4 1 经典的信号滤波原理 5 经典滤波概念和方法建立在频域分析基础上 设获取信号 tx中包含有效成分和噪声 即 tntstx 设滤波后的信号为 ty 频域变换结果 XYH 称为滤波 器的传递函数 或滤波器的频率响应函数 在噪声频带和有用成分频带分离的情况下 通过 设计如下的滤波器函数 时当 时当 0 0 0 1 SH SH H与输入信号频域变换结果 NSX 相乘后得 SY 根据傅里叶 变换 不难得到 thtxty 2 1 1 其中 1 HFth 称为滤波器的单位脉冲响应函数 即当输入信号 x t等于单位脉冲 信号 t 时 输出信号 y th t 同理 对于离散时间序列 x n ty n t h n t 设采样间隔为t 秒 频域变换分别为 HYX 则在 1 2 1 2 tt 频带内 不难得到如下公式 y n tx n th n t 2 1 2 XHY 2 1 3 2 理想模拟滤波器 理想模拟滤波器是一个理想化的模型 对其讨论有助于进一步了解和改进实际滤波器的 性能 从而达到逼近理想滤波器的目的 理想模拟滤波器的幅频特性曲线如图 2 1 1 所示 1 4 21 H j a 低通 c H j b 高通 c H j c 带通 c1 c2 H j d 带阻 c1c2 虚线 实际滤波器 实线 理想滤波器 图 2 1 1 模拟滤波器的幅频特性 理想低通滤波器能使信号中低于频率 c 的各频率分量以同样的放大倍数通过 使高于 c 的频率成分减小为零 我们把 c 称为滤波器的截止频率 c 的频率范围称为低通滤波器的阻带 高通滤波器与低通滤波器正好相反 它的通带为 c 的频率范围 阻带为 c 的 频率范围 带通滤波器的通带为 1c 和 2c 之间的频带 带阻滤波器的阻带为 1c 和 2c 之间 的频带 由于理想低通滤波器具有矩形幅频特性和线性相位特性 同时 理想高通 带通和带阻 滤波器均可以由理想低通滤波器串联得到 因此 以后均以理想低通滤波器为例来说明 理 想低通滤波器的矩形幅频 相频特性可表示为 c c j jH 1 0 2 1 4 H j c c0 1 幅频特性 j 0 0 相频特性 图 2 1 2 理想低通滤波器的幅频 相频特性 理想低通滤波器的单位脉冲响应函数为 csin sin 0 0 0 t t t th c cc 2 1 5 因此 理想低通滤波器的单位脉冲响应函数 是一个延时了 0 的抽样函数 csin 0 t c 其波形如图 2 1 3 所示 由于单位脉冲响应函数在激励出现之前 0 t 就已经出现 理想低通 22 滤波器是一个物理上不可实现的非因果系统 0 0 C C t h t h t 2 3 4 t c c c a 理想低通滤波器的单位脉冲响应函数 b 不同截止频率理想低通滤波器的单位脉冲响应函数 图 2 1 3 理想低通滤波器的冲击响应函数 当理想低通的截止频率 c 增大时 单位脉冲响应函数 th在 0 t处两边的第一零点 c 0 逐渐靠近于 0 点 并且有当 c 时 tth 频谱上输入信号 t 的频 谱宽度是无限的 反之 当理想低通滤波器的截止频率 c 越低 输出 th与输入 t 相比失 真越大 3 实际滤波器及其基本参数 对于理想滤波器我们只需规定截止频率 c 就可以完整描述其幅频特性 实际的滤波器为 了物理上可实现 通常在通带和阻带之间设置过渡带 如果将滤波器幅频特性 0 j eH归 一化为 1 时 实际的低通滤波器如图 2 1 4 所示 截止频率 c 指当滤波器幅值等于 0 707 1 2 时对应的频率 该截止频率点也称滤波器的半功率点 通带边缘频率 p 和阻带边 缘频率 s 称为划分通带 过渡带和阻带的两个指标 即频率范围 0 p 为通带 频率范围 ps 为过渡带 频率范围 s 为阻带 实际滤波器的幅频特性幅值在通带和阻带内一 般不严格为 1 和 0 它们分别允许的波动量分别为 p 和 s 波动的大小分别用通带和阻带内 的衰减 p 和 s 两个指标表示 H j 0 1 p s s 1 p c 0 707 图 2 1 4 实际的低通滤波器 23 1 1 0 20lg20lg 20lg 1 p p j j ppj H e H e H e 1 1 0 20lg20lg 20lg 1 s s j j ss j H e H e H e 其中 1p 是 0 p 频率范围内 j eH最小值所处的频率点 1s 是 s 频率范围内 j eH最小值所处的频率点 此外 实际滤波器的参数还有 波纹幅度 带宽 品质因数和倍频程选择性等 它们共 同决定了模拟滤波器的特性曲线 4 数字滤波器的设计 数字滤波器有无限冲击响应 IIR 型滤波器和有限冲击响应 FIR 型滤波器之分 IIR 型数字 滤波器的传递函数是 6 N k k k M r r r za zb zH 1 0 1 2 1 6 其中 k a Nk 2 1 和 r b Mr 2 1 0 分别是分母和分子多项式的系数 jt ze FIR 型数字滤波器的传递函数是 6 1 0 N n n znhzH 2 1 7 其中 nh 1 2 1 0 Nn 是滤波器的单位脉冲响应函数 这两类滤波器无论是在性能上还是在设计方法上都有着很大的差别 FIR 型数字滤波器可 以对给定的频率特性直接进行设计 FIR 型数字滤波器的设计方法主要是建立在对理想滤波器 频率特性作某种近似的基础上的 这些近似方法有窗函数法 频率抽样法等 IIR 型数字滤波 器的设计属于间接设计法 IIR 型数字滤波器目前最通用的设计方法是利用已经很成熟的模拟 滤波器的设计方法来进行设计 而模拟滤波器的设计方法又有巴特沃斯 Butterworth 滤波器 切比雪夫 Chebyshev 和椭圆滤波器等不同的设计方法 不论是 FIR 型数字滤波器还是 IIR 型数字滤波器的设计都包括三个步骤 6 1 给出所需要的滤波器技术指标 2 设计一个 zH 使其逼近所需要的技术指标 3 实现所设计的 zH 数字滤波器具体的设计方法参加文献 6 24 2 现代滤波器 当噪声频带和有用信号频带相互重叠时 经典滤波器就无法实现滤波功能 现代滤波器 也称统计滤波器 从统计的概念出发对信号在时域进行估计 在统计指标最优的意义下 用 估计值去逼近有用信号 相应的噪声也在统计最优的意义下得以减弱或消除 根据不同的划 分 统计滤波器也可分为不同的类型 常用的统计滤波器有维纳滤波器和卡尔曼滤波器两类 1 维纳滤波器 在许多实际问题中 人们所观测或接收到的信号 tntstx ts为信号 tn为 噪声 当信号 ts和噪声 tn的统计特性确定时 为了从观测信号 tx中提取或恢复出信号 ts 就需要设计一个滤波器对 tx进行滤波 使滤波器的输出尽可能地逼近 ts 这类滤 波器称为最佳滤波器 3 7 8 20 世纪 40 年代第二次世界大战期间 由于军事上的需要 Wiener 提出并解决了平稳过程 的最佳线性滤波问题 当信号 ts和 tx是平稳随机信号时 采用线性最小均方误差估计准 则 设计的最佳滤波器称为维纳 Wiener 滤波器 8 维纳滤波的原理如下 9 设滤波器的单位脉冲响应函数为 th 当观测时间段为 0f tt时 以 tx作为输入 滤 波器的输出 ts为 dthxts f t t 0 2 1 8 令 tstste 为估计误差 脉冲响应函数 th按最小均方误差准则确定 即 22 min E e tE s ts t 2 1 9 根据式 2 1 9 的最小均方误差准则 就可求出维纳滤波器的单位脉冲响应 th 9 维纳滤波器可根据t时刻 及t以前时刻的观测值 tx 0f ttt 实现以下三个方面 的应用 3 8 1 过滤或滤波 估计 f tt 时刻的信号 ts 2 平滑 估计某一时刻 f ttt 的信号 ts 2 卡尔曼滤波器 维纳滤波器由于计算量大 难以作实时处理 故不能广泛应用 同时它对非平稳信号的 滤波也无能为力 直到 60 年代初由于航天事业发展的需要 卡尔曼 Kalman 和布西 Bucy 在 解决非平稳 多输入输出随机序列的估计问题中引入了状态变量 在克服维纳滤波某些局限 的基础上 提出了被后人称为卡尔曼滤波的新滤波方法 该方法在雷达 通信 控制 生物 和勘探等领域得到了广泛的应用 7 8 10 卡尔曼滤波是线性最小均方误差滤波器的另一种处理方法 它利用离散观察信号 nx对 25 信号 ns进行滤波和预测 卡尔曼滤波建立在已知随机信号模型的基础上 包括模型的阶次 模型的参数和激励白噪声的统计特性 其原理是用信号 ns前一时刻的估计值 1 s n 与测量 值的误差项 1 x nacs n 的加权平均作为当前时刻的估计值 s n 1 1 n s nas nG x nacs n 2 1 10 其中 常数a和c分别表示参数模型和测量模型的参数 用 n G表示n时刻的加权系数 卡尔曼滤波的特点是把信号的先验知识用信号的模型表达出来 在时域上引入状态变量 法进行处理 采用递推型的线性最小均方误差算法 9 卡尔曼滤波和维纳滤波在理论和应用上两者存在共同点 也各有显著的特点 卡尔曼滤 波和维纳滤波都是在应用随机信号和观测噪声的前二阶矩的统计特性 以线性最小均方估计 解决随机信号的滤波问题 但两者对随机信号的规定 以及在理论方法上也存在着明显的差 别 维纳滤波需要给出随机信号和噪声的有理谱形式 卡尔曼滤波则要求把随机信号规定为 白噪声驱动的线性系统的输出 维纳滤波理论适应于平稳随机过程 卡尔曼滤波适用于有限 初始时间的非平稳随机过程 10 2 2 信号的采样信号的采样 将连续信号转换成离散的数字序列过程就是信号的采样 它包含了离散和量化两个主要 步骤 本节主要介绍采样过程中采样与混频 量化与误差 采样长度与分辨率及窗函数与泄 露四方面的内容 2 2 1 采样与混频 设模拟信号为 tx 间距为t 的采样脉冲函数为 n p t t n t 从理论上看采 样过程是 tx和 tp相乘 得到离散信号 tnx 1 n t t n t nx t nx 2 2 1 设 tx的傅里叶变换为 X 如图 2 2 1 a 图 2 2 1 b 所示 采样脉冲函数 tp的傅 里叶变换 P为 m t m t P 2 2 2 2 2 P也是脉冲序列 如图 2 2 1 c 图 2 2 1 d 所示 根据频域卷积定理可知 则式 2 2 1 所示离散信号 tnx 的傅里叶变换 X 为 26 m t m X t X 2 2 2 2 3 上式中离散信号 tnx 及其频谱 X 如图 2 2 1 e 图 2 2 1 f 所示 离散信号的频谱 X 相当于将原信号的频谱 X依次平移2 s t 至各采样脉冲函数对应的频域序 列点上 然后全部叠加而成 因此 离散信号的频谱就变为周期为2t 的函数 0 t x t a 原 函 数 0 X b 原 函 数 频 谱 m a x m a x 0 t p t 1 c 采 样 冲 击 函 数 t 0 P d 采 样 冲 击 函 数 的 频 谱 s 2 t 0 n x n x t p t e 离 散 时 间 信 号 t 0 X P f 采 样 序 列 的 频 谱 s 2 t m a x m a x 图 2 2 1 时域采样过程及其对应的频谱 若采样间隔t 太大 使得平移距离2t 过小 移至各采样脉冲函数对应的频域序列点 上的频谱 X就会有一部分相互重叠 如图 2 1 1 f 虚线部分所示 由此造成离散信号的频 谱与原信号频谱不一致 这种现象称为混叠 混叠改变了原信号的频谱 这样就不可能由频 谱 X 准确地恢复原信号 tx 为避免混叠 采样频率 S 必须不小于信号中最高频率 max 的两倍 即有 max 2t 如果 max 是信号中的最高频率 则在选择采样间隔t 这时应保证 max t 或 max 1 2 tf 其中 max f是信号中的最高频率 Hz 这就是所谓的采样定理 实际中采样频率的选取往往留有余地 一般选取采样频率 S 为处理信号中最高频率的 2 5 4 倍 另外 由于测量信号中的高频部分往往是由干扰引起的噪声或我们不感兴趣的频 谱 因此采样前须先对信号进行低通滤波 又称抗混滤波 然后再根据滤波后信号的最高频率 27 max 设定采样间隔t 2 2 2 量化与误差 量化是对信号采样点取值进行数字化转换的过程 量化结果以一定位数的数字近似表示 信号在采样点的取值 由于模 数转换器的位数有限 模 数转换器的输出只能表达一系列具有 一定间隔的电平 当模拟信号在采样点上的取值落在两个相邻电平之间时 就要舍入到相近 的一个电平上 我们把这一过程称之为量化 若设模 数转换器的位数为N 采用二进制编码 转换器转换的电压范围为V 则相邻 电平之间的增量 为 2 1 N V 2 2 4 量化误差 的最大值应为2 一般认为 在 22 区间内等概率分布 概 率分布密度为 1 均值为零 量化误差 的均方值为 d 12 1 2 2 2 22 2 2 5 2 2 3 窗函数或泄漏 理论上信号的长度是无限的 但任何观测信号都是在有限时间段内进行观测的 因此 信号采样过程须使用窗函数 将无限长信号截断成为有限长度的信号 从理论上看 截断过 程就是在时域将无限长信号乘以有限时间宽度的窗函数 最简单的窗函数是矩形窗 矩形窗 函数及其频谱分别如图 2 2 2 a 和图 2 2 2 b 所示 w t t T0 1 a 矩形窗函数 T W 0 b 矩形窗函数幅频曲线 T 2T T 图 2 2 2 矩形窗函数及其幅频特性曲线 矩形窗函数 tw及其幅频特性 W分别为 T t t T T t T t T t t T tw 0 1 1 2 2 8 29 2 2 2 sin T T T W 2 2 9 汉宁窗函数 tw及其幅频特性 W分别为 Tt T t T t tw 0 cos 2 1 2 1 2 2 10 2 1 1 sin T T W 2 2 11 2 2 4 采样长度与分辩率 数字信号的分辨率包括时间分辨率和频率分辨率 数字信号的时间分辨率即采样间隔t 它反映了数字信号在时域中取值点之间的细密程度 数字信号的频率分辨率为 T 2 其 中 tNT 为数字信号的时间跨度 N 为数字信号的长度 频率分辨率表示了数字信号的 频谱在频域中取值点之间的细密程度 因此 当采样频率或采样间隔确定后 增大采样点数N 就可增加信号的时间长度T和分辨率 2 3 时域统计分析时域统计分析 信号的时域统计分析是指对信号的各种时域参数 指标的估计或计算 常用的时域参数 和指标包括 1 均值 2 均方值 3 均方根值 4 方差 5 标准差 6 概率密度函数 7 概率分布函数 8 联合概率密度函数等 本节先介绍常见参数的概念 然后给出它们的应 用 2 3 1 时域指标参数 1 均值 当观测时间T趋于无穷时 信号在观测时间T内取值的时间平均就是信号 tx的均值 均值的定义为 T T T x dttx 0 1 lim 2 3 1 式中 T是信号的观测区间 实际中T不可能为无穷 算出的 x 值必然包含统计误差 只能 作为真值的一种估计 2 均方值和方差 当观测时间T趋于无穷时 信号在观测时间T内取值平方的时间平均值就是信号 tx的 30 均方值 常用符号 2 x 表示 均方值的定义为 22 1 0 lim T xT T x t dt 2 3 2 如果仅对有限长的信号进行计算 则结果仅是对其均方值的估计 均方值的正平方根 为均 方根值 或有效值 rms x 方差的定义为 T xT T x dttx 0 2 1 2 lim 2 3 3 方差仅反映了信号 tx中的动态部分 方差的正算术根 x 称为标准差 若信号 tx的均 值为零 则均方值等于方差 若信号 tx的均值不为零时 则有下式成立 222 xxx 2 3 4 3 概率密度函数 随机信号 tx的取值落在区间内的概率可用下式表示 lim prb T T Pxx txx T T ttytxyx 0 d 2 4 1 其中 T为信号 tx和 ty的观测时间 显然 如果信号 tx和 ty随自变量时间的取值相似 内积结果就大 或者说 tx在 ty 上的投影大 反之亦然 因此 通过式 2 4 1 可定义信号 tx和 ty的相关性度量指标 另外 实际中往往需要将两个信号之一在时域中移动一段时间 后 再考查它们之间的相关性 如将 信号 ty移动时间 得到 ty 然后再计算 tx和 ty的相关性 考虑积分时间段的 影响 这时信号 tx和 ty相关性指标可写成 T T ttytx T R 0 d 1 lim 2 4 2 其中 T为信号 tx和 ty的观测时间 是信号的时间滞后 R是 的函数 观察 R 的变化就可以了解信号 tx和 ty的相关性 2 4 2 自相关函数及其应用 为了反映信号自身取值随自变量时间前后变化的相似性 将式 2 4 2 中信号 ty用信号 tx代替 就得到信号 tx的自相关函数 x R 信号 tx的自相关函数定义为 36 ttxtx T R T T x d 1 lim 0 2 4 3 其中 T为信号 tx的观测时间 x R描述了 tx与 tx之间的相关性 实际中常用 如下标准化的自相关函数 或称自相关系数 2 x x x R 2 4 4 其中 x R为信号 tx的自相关函数 x 为信号 tx的标准差 自相关函数 x R具有如下性质 1 x R为实函数 2 x R为偶函数 即 x R x R 3 0 2 xx R 2 x 是 tx的均方值 4 对于各态历经随机信号 tx有 0 xx RR x R在0 处取得最大值 5 当随机信号 tx的均值为 x 时 2 lim xx R 确定性信号的自相关函数在 时 自相关函数值不为均值的平方 6 若平稳随机信号 tx含有周期成分 则它的自相关函数 x R中亦含有周期成分 且 x R中周期成分的周期与信号 tx中周期成分的周期相等 该性质对于确定性信号亦然成 立 例如对于简谐振动信号 sin 00 t xtx的自相关函数如下 cos 2 0 2 0 t x Rx 它是没有衰减的周期性的余弦曲线 其周期与原简谐振动信号的周期相等 图2 4 1给出了几种常见信号的自相关函数 从中可以看出信号中的周期性分量在相应的 自相关函数中不会衰减 且保持了原来的周期 因此 自相关函数可从被噪声干扰的信号中 找出周期成分 x t t 0 a 正弦信号 Rx 0 b 正弦信号的自相关函数 37 x t t 0 c 正弦加随机噪声信号 Rx 0 d 正弦加随机噪声的自相关函数 x t t 0 e 窄带随机噪声 Rx 0 f 窄带随机噪声的自相关函数 x t t 0 g 宽带噪声信号 Rx 0 h 宽带噪声信号的自相关函数 图 2 4 1 几种典型的机械信号及其自相关函数 在用噪声诊断机器运行状态时 正常机器噪声是由大量 无序 大小近似相等的随机成 分叠加的结果 因此正常机器噪声具有较宽而均匀的频谱 当机器状态异常时 随机噪声中 将出现有规则 周期性的信号 其幅度要比正常噪声的幅度大得多 例如当机构中轴承磨损 间隙增大时 轴与轴承盖之间就会有撞击现象 再如当滚动轴承的滚道出现剥蚀 齿轮啮合 面出现严重磨损时 随机噪声中均会出现周期信号 用噪声诊断机器故障时 依靠自相关函 数 x R就可在噪声中发现隐藏的周期分量 确定机器的缺陷所在 特别是对于早期故障 周 期信号不明显 直接观察难以发现 自相关分析就显得尤为重要 下面给出两个自相关分析 诊断的实例 a 利用自相关分析确定信号的周期 图2 4 2 a 和 b 分别给出汽车车身振动信号 tx及 其自相关函数 x R 车身振动信号 tx的波形比较杂乱 难以发现存在的周期成分 但从 对应的自相关 x R上可发现 tx中包含有频率为5 9 s15 0 1 fHz的周期性信号 38 b 利用自相关分析识别车床变速箱运行状态 图2 4 3是两台C630车床变速箱噪声的自 相关函数 图2 4 3 a 是正常状态下噪声的自相关函数 随着 的增大 x R迅速趋近于零 这说明变速箱噪声是随机噪声 图2 4 3 b 所示的自相关函数 x R中含有周期分量 当 增大 时 x R并不趋近于零 这标志着变速箱工作异常 将变速箱中各根轴的转速与自相关函数 x R上周期性波动的频率进行比较 可确定存在缺陷轴的位置 x R s15 0 b a t 0 tx a 车身振动信号 b 自相关函数 图 2 4 2 车身振动的自相关分析 Rx 0 a 正常状态变速箱噪声信号的自相关函数 Rx 0 b 异常状态变速箱噪声信号的自相关函数 图 2 4 3 C630 型机床变速箱噪声的自相关分析 2 4 3 互相关函数及其应用 按照本章2 4 1节的理论 随机信号 tx和 ty的互相关函数可定义为 ttytx T R T T xy d 1 lim 0 2 4 5 其中 T 为随机信号 tx和 ty的观测时间 互相关函数 xy R是 的函数 它完整地描述 了两信号之间的相关情况或取值依赖关系 同样 互协方差函数 xy C也可以表示 tx和 ty之间的相互关系 若 tx和 ty的均 值函数分别为 x u和 y u 它们的互协方差函数 xy C为 39 T yx T xy t ut y utx T C 0 d 1 lim 2 4 6 实际中常用的标准化互相关函数为 yx xy xy C 2 4 7 其中 xy C为互协方差函数 x 为 tx的标准差 y 为 ty的标准差 互相关函数 xy R的性质如下 1 互相关函数 xy R是实函数 但不是偶函数 且在0 时不一定取得最大值 当 0 xy R时 称 tx和 ty不相关 若在 0处互相关有最大峰值 表示在 tx与 0 ty有 最大的相关性 如果 tx与 ty是统计独立的 且假设其均值 x y中至少有一个为零 则 对于任意的 0 xy R 反之 当0 xy R时 tx与 ty并不一定是相互独立的 xy R 0 0 0 yx RR 0 0 0 yx RR 图 2 4 4 互相关函数的取值 2 对于任意的 xy R满足 0 0 2 yxxy RRR 如图2 4 4所示 3 若信号是零均值的 在 时 xy R 0 4 互相关函数 xy R具有反对称性 即 yxxy RR 5 若两个信号 tx和 ty均含有周期性分量 且周期相等 则互相关函数 xy R也含 有相同周期的周期性分量 例如 设有两个正弦周期性信号 tx和 ty 它们的表达式分别 为 sin 0 t xt x 和 sin 0 t y t y 它们具有相同的周期 其中 为 tx 的 相 位 角 为 信 号 tx和 ty的 相 位 差 信 号 tx和 ty的 互 相 关 函 数 为 cos 2 1 00 tyxRxy 显然 互相关函数 xy R的周期与信号 tx和 ty的周期相 同 同时互相关函数 xy R还保留了两个信号的相位差信息 互相关分析在实践中有广泛和重要的应用 例如 可在噪声背景下提取有用信息 系统 中信号的幅频 相频传输特性计算 速