弹性力学问题的能量方法概说.doc

第四章 弹性力学问题的能量方法概说4.1 基本问题与基本方程回顾1. 应力与应变张量及其坐标变换 （见平面弹性力学一节）2. 一般线弹性材料的物理关系在弹性体受力发生变形的过程中，外力要作功与此同时，弹性体内部贮存能量称为弹性应变能。在等温条件下，弹性应变能在数值上等于外力功，弹性体中的弹性应变能用U表示，单位体积内的弹性应变能用U。表示，即弹性应变能密度函数。根据弹性力学知识， 在应力作用下，应变从 变到 ，在单位体积内的应变能则为： （1）在应变从零缓慢地增加到终值的整个加载过程中，对上式积分便得到： （2） 在均质弹性体中，材科性质不随坐标位置而改变，这时弹性应变能是应变分量的函数，且仅于应变的终值有关（全微分）。所以必有： 又按照力学作功的概念，有： 代入广义虎克定律，并将上式写成矩阵形式：对上式第一式关于ey 求导；对上式第二式关于ex 求导可得：由于能量关于应变的二次型，所以，关于求导顺序无关，因此得： 同理可得： 用张量表示为： （共21个独立参数）用矩阵表示为： 关于应变能二次型的表达式： 将广义虎克定律代入式（2），用矩阵可表示为： 3. 应变协调关系 4. 更广泛意义上的物理关系（能量积分形式，见虚功原理的恒等表达式）5. 弹性力学问题的微分方程 4.2 虚功原理 1. 概念 借助物理中的能量守恒原理,建立两类对偶量在各自满足基本条件情况下的可能(积分)关系； 也可以获得对力学的一种计算方法； 其它变分原理证明中用到的工具； 可能位移及应变：满足连续性条件及边界条件； 可能应力：满足平衡方程(与某种外力维持平衡的应力，含力的边界条件)。 2. 表达式 += 含义：外力在可能位移上的做功等于内力在可能应变上做的功。 3. 恒等式 (将平衡方程代入左端，几何连续条件代入右端) +=含义：可将对偶量之间看成没有任何关系，但应该满足上述方程；这样，上式就可看成是物理关系的另一种表征。4.3 最小势能原理 （是一种有条件变分原理，除满足连续性条件外，对偶变量间还需满足一定的物理关系）1. 系统势能问题2. 最小势能原理的表达3. 证明过程4. 变分的结果4.4 最小余能原理 （类似于最小势能原理，属有条件变分原理，满足平衡条件以及力的边界条件，但变分函数不同于势能原理）1. 余势能构造2. 最小余能原理表述3. 证明4. 变分结果4.5 两类变量广义变分原理 上述两类变分原理所涉及的泛函都取最小值，这是它们共同的优点，为突出这个优点，有时把它们通称为最小值原理。但在这两个原理中，自变函数都必须满足一定的条件，用起来有时会感到不方便。广义变分原理中，有关的自变函数可以独立自主地变动，事前不受任何约束，这是它们的共同优点。但同时也带来一个共同的缺点，这就是所涉及的泛函都是驻立值，而不是极值。1. 目的：将最小势、余能原理中的条件极值问题转换为无条件极值问题；2. 方法：Lagrange 乘子；在力学上，还要获得Lagrange 乘子的力学含义，这要依据力学问题的分析才能确定。3. Hellinger-Reissner变分原理：是一个两变量（ui,sij）的小变形弹性体力学的有条件变分原理。可以通过Lagrange 乘子将最小余能原理中的两个变分约束解除掉而建立起来的。约束条件：应力约束条件（平衡方程及边界条件）： 其变分导出的Euler方程和位移边界连续性条件及位移边界条件。余应变能能对应力导数表示的变形协调条件：已知的位移边界条件： （在上）新泛函的构造；引入两类待定的拉氏乘子和，并认为原余能泛函解除了对应力的约束条件，再应用乘子和上述约束条件构成新的泛函。进行变分（把）看作独立变量，得： 利用Green 公式： 代入上式，得： 由于在W内，在Gu上，在Gp上，都是独立的，于是，得: 4. 结论： 获得了Lagrange乘子的力学含义。5. 两类变量广义余能的Hellinger-Reissner原理： 即为一个两广义变量的无条件变分原理，变量为：。它的变分驻值给出了域内应变协调条件，在边界上（包括力边界和位移边界），给出了4个自然边界条件。l 对空间弹性力学问题，无论什么变分原理，积分号下只存在一阶导数项，因此它的变分原理原理要求自变函数连续即可，即。相对微分方程问题的函数连续性要求简单。l 广义变分原理对函数的连续性要求更宽松，可以是广义函数。第五章 弹性力学平面问题5.1 平面变形 (应变) 问题1. 假设： (体积力)；(侧表面力)； 、与z轴无关； 侧表面上的位移边值条件与坐标z无关。 2. 平面变形： (在端面平衡力系(含支反力)作用下)u = u(x, y), v = v(x, y) 且 w = 0 , (与z无关)C2zC1xy3. 物理关系 (线弹性)：空间各向同性 =弹性张量： 对称性： 应力张量: 应变张量: 张量的Voiget 记号： 11 22 33 12 23 31 1 2 3 4 5 6故有: 因为 ；其分量形式： 故可写成一般工程常见的形式。 应力张量的坐标变换： 故分量变换式： 同理： 平面变形的物理关系： Note：，再代回原空间物理关系，即可获得；但一般分析时不再给予关心； 2D 与3D 的物理关系形式不变，2D 仅是原关系式的缩减。4平衡微分方程： 5.2 平面应力问题很薄板受边界载荷作用（载荷沿厚度方向均为常数），位移支撑条件也作用于边界上。故内力有简化关系：位移：u = u(x,y)；v = v(x, y)；物理关系： Note: , 但工程不关心，故平面本构关系中不包含z向应变。2D与3D的物理关系系数不变。平面变形与平面应力的本构关系变量相同，仅系数不同，可通过形式参数来统一表达平面问题的这两类关系，故通称为平面问题，以后不再区分。5.3 变分原理1 势能变分原理 (单位厚度) =0 (将应力需先转换为位移的函数，再求对独立位移u和v的变分) 理论变分结果：平衡方程（Euler方程）及应力边界上的自然边界条件。2 余能变分原理 理论变分结果：几何连续性条件，位移边值条件。k5.4 平面问题的常用有限单元1 常应变元x1x2 节点参数u, v共6个：ix3 j 线性插值 (面积坐标) 导数关系：（几何矩阵） 31 (常应变)2 这也是为什么要逆时针标号的原因。 应变能 外力势 刚度方程 123456 常应变元的优点是公式简单，但缺点是收敛性差。为了改进收敛性，可提高插入函数的次数。2. 高精度三角元 二次单元 (12个位移参数,三个角点,3个边中点) 123456 注意形状曲面由此可以计算应变分量，再进一步计算单元的刚度矩阵，最后得到单元的刚度方程；再组装结构刚度矩阵及等