风险定量分析第八章第九章.docx

第八章 免赔额与风险保费的计算 第一节 保费计算原理 定义8.1 【纯风险保费原理】 若非负的随机变量X表示受损，X的分布函数为FX(t),数学期望为E(x).纯风险保费原理为： P = EX （8.1）纯风险保费是最简单的保费计算原理，常用于人寿保险的定价以及一些非寿险产品的定价.由于未来的理赔损失常常不同于它的期望损失EX,基于历史数据而估计出来的EX也不同于EX,为了反映这个事实，常常在风险保费的基础上加上附加保费.定义8.2 【期望值保费原理】 若非负的随机变量X表示损失，X的分布函数为FX(t) ,数学期望为E(x).期望值保费原理为： P() = (1+)E(X) , 0 （8.2）这里E(X)是附加保费，P()是的线形函数，当=0时，P()就是纯风险保费。这种保费定价原理在实践中应用最为广泛.纯风险保费和期望值保费原理的缺陷是没有反映X的损失波动性，因此方差保费原理和标准差保费原理被提出，以弥补这个缺陷.定义8.3 【方差保费原理】在此处键入公式。 若非负的随机变量X表示损失，X的分布函数为FX(t), 数学期望为E(x)，方差为Var(X).方差保费原理为： Pa=EX+aVar(X) a 0 （8.3）在方差保费原理下，保费不仅反映了期望损失，还反映了损失的方差。由（8.3）式定义的保费是a的线形函数，容易看出，当a=0时，P(a)就是纯风险保费。定义8.4 【标准差保费原理】 若非负的随机变量X表示损失，X的分布函数为FX(t), 数学期望为E(x)，方差为Var(X).标准差保费原理为： Pb=EX+bVar(X) , b0 （8.4）标准差保费原理不仅反映了期望损失，也反映了损失的标准差。和方差原理一样，保费P(b)是b的线形函数，当b=0时，p(b)是纯风险保费。定义8.5 【指数保费原理】 若非负的随机变量X表示损失，X的分布函数为FX(t),X的矩母函数为Mx(t)=EetX.指数保费原理为： PclnMXCC=lnEecXC c0 （8.5）保费P(c)是参数c的增函数，而参数c测度了风险厌恶程度，limc0Px=EX.定义8.6 【百分比保费原理】 若非负的随机变量X表示损失，X的分布函数为FX(t),FX(t)的反函数存在，记作FX-1(x).百分比保费表示为P(): P=FX-1(1-） （8.6） 【例8.1】 若随机损失变量X服从参数为1的指数分布，试用指数保费原理计算保费。 【解】 由公式（8.5），指数保费为：P=lnEecXc=-ln(1-c)c 其中，c为风险厌恶系数。 【例8.2】设车辆保单组合的总理赔额服从复合Poisson分布，每个事故中的理赔额服从伽玛分布。试求安全附加系数为10%的期望值保费。 【解】 由N Poisson(),X (, )知，期望值保费为：P=1+10%ENEX=1.1第二节 免赔额在大部分保险业务中，常常采用免赔额来限制理赔，将保险公司的损失限定在合理的范围内。在汽车保险、健康保险、伤残保险、人寿保险等商业保险中,免赔额是保险公司限制理赔的重要手段。免赔额能达到以下两方面的目的，首先是减少经常发生的数量众多的小额理赔的处理成本，以降低保险公司的管理费用；其次是通过被保险人自付一部分理赔成本的方式，使被保险人提高防御风险的意识，减少对资源的浪费。免赔额具有以下几方面的优势： 防御风险：由于免赔额的存在，被保险人的赔偿被减少了，被保险人的自留额是正的，这就达到了规避损失的目的。 减少损失：由于免赔额的存在，使遭遇风险的保单持有人只得到一部分赔偿，这起到了经济激励的作用，激发了减少毁坏进一步扩大的正面动机。 避免小理赔，使管理成本得以控制：对于小理赔，对它的处理成本常常搞过损失本身，因此保险公司希望保单持有人自己承担它。 降低保费：降低保费对保单持有人来说是一个有意义的话题，它们可能更喜欢保留较高的免赔额而获得较低的保费。第三节 免赔额下的保费计算公式 与第一节一样，若随机变量X表示风险或损失，是非负的随机变量，它的分布函数为FX(t) ,概率密度函数为fX(t) ，我们用h(x)表示与免赔额相对应的保险公司的支付函数。假定它的数学期望是EX,方差Var(X)存在。从这一节中开始，我们只考虑最简单的纯风险保费计算原理，即保费P等于损失的期望值：P=EX .定义8.7 【绝对免赔额(Franchise Deductible)】 绝对免赔额通常就是写入保单合同中的免赔额。绝对免赔额为a，意味着当损失低于a时，保险公司不做任何赔偿，只有当损失等于或超出a时，保险公司赔付全部的损失。这是支付函数为: ax=0, xax, xa （8.8）绝对免赔额满足免赔额的性质、和，但不满足，甚至不利于性质。因为在绝对免赔额下，一旦发生损失，保单持有人更愿意发生的损失高于或至少等于免赔额。性质8.1 绝对免赔额下的纯风险保费可以用无免赔额时的保费和相应的有限期望值函数表示： PFa=P-La+a1-F(a) （8.9）容易看到，保费PFa 是a的减函数。当a=0时，PFa 就是无免赔额时的保费；当a趋于无穷时，保费趋于0.定义8.8 【定额免赔额（Fixed Amount Deductible）】 保险人和被保险人都同意加入一个免赔额b，意味着保险人仅赔偿高出额度b的部分。如果损失额低于b，依照合同约定，被保险人将得不到任何赔偿。因此支付函数为： hbx=max(0,x-b) （8.10）性质8.2 定额免赔额下的保费可以用绝对免赔额下的保费表示： PFAb=P-Lb=PFb-b1-F(b) （8.11） 定义8.9 【比例免赔额（Proportional Deductible）】 在比例c(0,1)的比例免赔额下，每笔赔偿都减少了c100%,由保险人支付的赔偿为100%（1-c）,因此此时的支付函数为： hcx=(1-c)x （8.12）性质8.3 比例免赔额隐含着即使对非常小的理赔也给与赔偿。比例免赔额下的保费与无免赔额时的保费之间关系如下： PPc=1-cEX=(1-c)P （8.13）显然，保费PPc是c的减函数，PP0=P, PP1=0. 定义8.10 【有限比例免赔额（Limited Proportional Deductible）】 比例免赔额通常与最小额度免赔额结合，这样保险人就不需要处理小理赔了，同时也可使用最大额度免赔额限制被保险人的自留额。当最小额度免赔额为m1,最大额度免赔额为m2,有限比例免赔额为c是，支付函数为： hc,m1,m2x=0, xm1x-m1, m1xm1/c1-cx, m1/cm2/c （8.14） 性质8.4 有限比例免赔额下的保费可以用无免赔额时的保费和相应的有限期望值函数表示： PLPc,m1,m2=P-Lm1+cLm1c-L(m2C) （8.15）有时只有一个限制被写入合同中，即m1=0或者m2=。容易验证当m1=0并且m2=时，有限比例免赔额就是比例免赔额。第四节 免赔额下对给定损失分布的保费计算实例【例8.3】 计算免赔额下对数正态分布的保费公式。【解】 考虑一个正态分布的随机变量Z.令X=eZ, X的分布就是所谓的对数正态分布，它的分布函数为： Ft=lnt-u=0t12yexp-12(lny-u)2dy 这里t0,0,uR,（）是标准的正态分布函数。各种免赔额下的纯风险保费为：（1） 绝对免赔额保费： PFa=exp(u+22)1-(lna-u-2)（2） 定额免赔额保费： FFAb=expu+221-lna-u-2-b1-lnb-u（3） 比例免赔额保费： Ppc=(1-c)exp(u+22)（4） 有限比例免赔额保费： PLPc,m1,m2=expu+221-lnm1-u-2+m1lnm1-u-ln(m1/c)-u+ln(m1/c)-u-2-ln(m2/c)-u-2cexpu+22+m2lnm2c-u-1【例8.4】 计算免赔额下帕累托分布的保费公式。【解】 帕累托分布的分布函数为: Ft=1-+t这里t0,0,0,只有当1时帕累托分布的均值才存在。关于帕累托分布的其他性质，见第三章的帕累托分布。当1时，损失分布为帕累托分布时各种免赔额下的纯风险保费为：（1） 绝对免赔额保费： PFa=1-1a+(a+)（2） 定额免赔额保费： PFAb=1-1b+(b+)（3） 比例免赔额保费： Ppc=(1-c)-1（4） 有限比例免赔额保费： PLPc,m1,m2=1-1m1+m1+c-1m2c+m2c+-m1c+m1c+ 【例8.5】 计算免赔额下伯尔分布的保费公式. 【解】 伯尔分布的分布函数为： Ft=1-+t这里t0,0,0.只有当1时伯尔分布的均值才存在。关于伯尔分布的其他性质,见第三章的伯尔分布。当1，损失分布为伯尔分布时各种免赔额下的纯风险保费为：（1） 绝对免赔额保费： PFa=1-1/1+1/()1-B1+1,-1,+（2） 定额免赔额保费： PFAb=1-1/1+1/()1-B1+1,-1,b+b-b+b（3） 比例免赔额保费： Ppc=(1-c)1-1/1+1/()（4） 有限比例免赔额保费：PLPc,m1,m2=1/-1/1+1/()1-B1+1,-1,m1+m1+cB1+1,-1,m1/c+m1/c-cB1+1,-1,m2/c+m2/c-m1+m1+m1+m2/c-m2+m2/c上述公式中，函数（）和（,）分别意义为： a=0ya-1e-ydy a,b,x=(a+b)a(b)0xya-1(1-y)b-1dy 【例8.6】 计算免赔额下威布尔分布的保费公式。 【解】 威布尔分布的分布函数如下： Ft=1-e-这里t0,0,0.威布尔分布的保费公式为：（1） 绝对免赔额保费： PFa=1+111-1+1,a（2） 定额免赔额保费： PFAb=1+111-1+1,a-be-b（3） 比例免赔保费： Ppc=(1-c)1/1+1（4） 有限比例免赔额保费： PLPc,m1,m2=1+111-1+1,m1+c1+111+1,m1c-c1+11-1+1,m2c-m1exp-m1+m1exp-m1c-m2exp-m2c上述公式中不完全伽玛函数,定义为： a,x=1(a)0xya-1e-ydy 第九章 风险过程模型第一节 Poisson过程 Poisson过程是一类最重要的理赔到达过程，许多其他的理赔到达过程能够通过对Poisson过程的变换而得到。 定义9.2 随机过程N(t)，t0称为计数过程，如果Nt表示从时间0到时间t内某一随机事件发生的次数。从它的定义可以知道，计数过程N(t)，t0具有以下性质：（i） N(t)取值为非负整数;（ii） 当s0，t10的齐次Poisson过程。从定义的条件(iii)可以看出齐次Poisson过程具有平稳增量性。而且有 ENt=t这就解释了为什么称为Poisson过程的强度。 【例9.1】 （保险公司接到的索赔数）某保险公司接到索赔请求的次数可以用Poisson过程来描述。如果保险公司每次赔付都是1，每月平均4次接到赔索要求，则一年中它要付出的金额平均为多少？【解】 设一年开始为0时刻，1月末为时刻1,2月末为时刻2，则年末未时刻12.利用每月平均接到4次赔索要求的条件，有 EN1=4则一年中接到的索赔次数平均值为： EN12=12=48因此一年中平均要付出的赔付金额为48.第二节 Poisson过程的性质定义9.6 对强度参数为的Poisson过程N(t)，t0，记第一次理赔到达的时间T1,当i2时，记第i次理赔到达的时间为Ti,定义： Wi=Ti-Ti-1 （9.4）为等待时间，表示第i-1次与第i次理赔事件之间的时间间隔。称Wn,n=1,2,为等待时间序列。我们希望知道Wn的分布，下面的性质告诉我们Wn的分布性质。性质9.1 等待时间序列Wn,n=1,2,服从独立同分布的参数为的指数分布。【证明】 注意到时间W1t等价于Poisson过程在区间0,t中没有事件发生，因此 PrW1t=PrNt=0=e-t 即 PrW1t=1-e-t （9.5）说明W1服从参数为的指数分布，指数分布的均值为1/.进一步地， PrW2t|W1=s=PrNs+t-Ns=0|W1=s=PrNs+t-Ns=0=e-t （9.6）（9.6）中的第二个等式运用了Poisson过程的独立增量性质。从（9.6）式知，W2与W1独立，并且W2也服从参数为的指数分布，重复以上论证，可证明Wn,n=1,2,是独立同分布的指数分布序列，参数为.定理9.1 记Poisson过程的第一次理赔到达的时间为T1，第i次理赔到达的时间为Ti，Wi=Ti-Ti-1表示第i-1次与第i次理赔时间之间的时间间隔。因此，第n次理赔到达的时间Tn可表示为： Tn=i=1nwi, n1 （9.7）由性质9.1可知，Tn是n个参数为的独立同分布指数随机变量的和，因此Tn服从参数为(n, )的Gamma分布，Tn的概率密度函数为： fTnt=e-t(t)n-1n-1!, t0 （9.8）【例9.2】 假设人们移居到某一地区的人数服从=1人/天的Poisson过程，计算：（1） 第10个移民到达的平均时间：（2） 第10个移民和第11个移民到来的时间间隔超过两天的概率。【解】 （1） 第10个移民到达的平均时间为： ET10=101=10(天) （2）第10个移民和第11个移民到来的时间间隔超过两天的概率是： PrW112=e-20.133第三节 Poisson过程的模拟Poisson过程适合于人寿保险建模，它的缺点是对于其他保险数据的拟合不够充分。1. 从计算软件产生均匀分布的随机数产生均匀分布的随机数是进行随机模拟的基础。各种应用统计软件中都预设了产生0,1区间上均匀分布的随机数的程序，可以直接调用。最常用的Microsoft Office Excel中，只要启动“函数”功能中的“RAND”函数，就能获得0,1区间上均匀分布的随机数。从0,1区间上均匀分布的随机数，可以自然地得出任意区间a,b上均匀分布的随机数sn,只要将0,1区间上均匀分布的随机数un经过线形变换sn=a+(b-a)un即可。从0,1区间均匀分布的随机数产生一般分布随机数的方法，参见第七章。下面介绍模拟Poisson过程的方法。2模拟Poisson过程 模拟Poisson过程可以借助于第i次理赔到达的时间Ti.从性质9.1知道，等待时间Wi是独立同分布的参数为的指数分布，因此，第n次理赔到达时间Tn可以表示为： Tn=i=1nWi这自然地就得到了对Poisson过程的到达时间T1，T2，Tn的模拟方法：第一步：设置T0=0；第二步：对于i=1,2,n,做循环：第二a步：产生参数为的指数随机变量Wi；第二b步：设置Ti=Ti-1+Wi.第四节 Poisson过程的推广当Poisson过程的强度参数不再是常数，而是与时间t有关时，Poisson过程就称为非齐次Poisson过程。非齐次Poisson过程可以看做是Poisson过程的一个推广，它的强度是由一个强度函数(t)决定的，此时，非齐次Poisson过程就不再具有平稳增量了。定义9.7 计数过程N(t)，t0称为强度函数为(t)的非齐次Poisson过程，如果：(i) N(0)=0; (ii) N(t)，t0具有独立增量性;(iii) 对任意实数t0,s0,在长度为s的时间内发生的次数Nt+s-N(t)服从参数为tt+s()d的Poisson分布。从定义的条件（iii）可以看出，如果N(t)，t0是强度参数为的Poisson过程，则具有平稳增量性，但非齐次Poisson过程不再具有平稳增量性。非齐次Poisson过程直到时间t为止，发生事件个数N(t)是一个服从Poisson分布的随机变量，其均值为这个函数也被称为非齐次Poisson过程的均值函数，记为mt=0t(x)dx .Poisson过程N(t)，t0的等待时间W1，W2，是独立同分布的指数随机变量，一个自然的推广是考虑等待时间是独立同分布的取正值的随机变量，它的分布函数任意，这就是更新过程。定义9.8 设Wn,n=1,2,是独立同分布的随机变量序列，分布函数为F(x).令 Tn=i=1nwi , n1,T0=0我们将计数过程 Nt=supn:Tnt （9.9）称为更新过程。更新过程的一个典型例子就是机器零件的更换。在0时刻，安装上一个新零件并开始运行，设此零件在W1时刻损坏，马上换一个新的，则第二个零件在W1时刻开始运行，设它在W2时刻损坏，同时马上换第三个很自然可以认为这些零件的使用寿命是独立同分布的，到时刻t为止所更换的零件总数是N(t) =supn:Tnt,这就是一个具体的更新过程。在更新过程中，发生一次事件就叫做一次更新，从上述例子可以看出，Wn是从第n-1次更新到第n次更新的等待时间，Tn是发生第n次更新的时间，N(t)就是时刻t之前发生的总的更新次数。N(t)和Tn之间有一个重要的关系： NtnTnt时刻t之前发生的更新次数大于或等于n当且仅当第次更新发生在时间t之前或时间t.从定义9.8可以看出，如果独立同分布的随机变量序列Wn,n=1,2,的分布函数为F(x)，则发生第n次更新时间Tn的分布函数就为F*n(x),为F(x)的n重卷积。因而 PrNt=n=PrNtn-PrNtn+1=PrTnt-PrTn+1t= F*nt-F*(n+1)(t)定理9.2 称mt=EN(t)为更新函数，则更新函数满足： mt=n=1F*n(t) （9.10）定理9.3 记更新时间的等待时间序列为Wn,n=1,2,=EWi,则 m(t)t1 , 当t时 （9.11）定理的证明见罗斯（2007）.依照Poisson过程的模拟算法，产生更新过程的算法如下：第一步：设置T0=0；第二步：对于i=1,2,n,做循环：第二a步：产生一个随机变量Xi,它的分布函数为F;第二b步：设置Ti=Ti-1+Xi.【例9.4】某电子设备的使用寿命为20年，有一个重要的原件需要定期更换。前10年内平均5年需要更换一次，后10年内平均4年需要更换一次。求在它使用寿命内置更换二次原件的概率。【解】 用非齐次Poisson过程作为更换原件的次数，它的强度函数为： t=1/5,0t10 1/4,10t20有非齐次Poisson过程的定义9.7之（iii），对任意实数t0,s0,在长度为s的时间内发生的次数Nt+s-N(t)服从参数为tt+s()d的Poisson分布。因此，在该电子设备的使用寿命内，更换原件的次数N20-N(0)服从Poisson分布的参数为： 020(t)dt=01015dt+102014dt=4.5从而 PrN20-N0=2=(4.5)2e-4.52!=0.1125第五节 复合Poisson过程定义9.9 如果计数过程N(t)，t0是强度参数为的Poisson过程，Xi, i=1,2,是相互独立同分布的随机变量序列，其共同分布为F(x)，概率密度函数为f(x)，并且N(t)，t0与Xi, i=1,2,相互独立。令 St=i=1N(t)Xi （9.12）称随机过程S(t)，t0为复合Poisson过程。性质9.2 复合Poisson过程具有以下性质：（1） S(t)具有独立、平稳增量，即对任意的t0,St+h-S(t)与S(h)同分布， Sh=X1+X2+XN(h), Nh00, Nh=0它们共同的分布仍为复合Poisson分布，Poisson分布的参数为h.（2） 复合Poisson过程的特征变量为： ESt=tEX （9.13） VarSt=tEX2 （9.14） MStt=EetSt=etMXt-1,t0 （9.15）（9.14）式中MXt为随机变量X的矩母函数。【例9.5】 在保险公司的总理赔额模型中，设保险公司支付的理赔是强度为每月3次的Poisson过程，每一次的理赔额服从均值为8000元的正态分布。一年之中保险公司的平均理赔额度是多少？【解】 设一年开始为0时刻，1月末为时刻2，则年末为时刻12。由已知条件有： EN1=3 EX=8000利用公式（9.12），于是有 ES12=3128000=288000（元） 第十章 破产模型第一节 保险业的破产风险在市场经济环境下，保险公司的破产死不可避免的，然而保险公司破产带来的影响也是非常严重的：不仅使保单持有人失去保险保障，给社会经济带来不稳定因素，而且损害保险公司所有者的权益，将使大批员工失去工作，使社会金融秩序紊乱，严重的将影响人民的生活安定和社会秩序的正常运转。保险监管部门因此特别重视保险业的监管，以保证保险公司具有充足的偿付能力，希望通过严格的监管，可以控制并及早发现保险公司的财务问题，防止保险公司因不能履行责任而损害保单持有人和投资者的利益。保险公司的破产不仅对保险市场的健康发展产生了巨大冲击，它还直接影响着整个社会金融体系的安全，关系到每一个家庭和企业的切身利益。从理论上分析保险、测量风险，不仅是金融领域需要解决的问题，也是风险管理的重要内容，破产理论从偿付能力的角度提供了衡量风险的理论方法。第二节 盈余过程在保险公司的经营过程中，盈余（Surplus）是我们所关心的问题，它是保险公司稳定经营最重要的方面。一般称资产与负债的差额为盈余，记作： Ut=At-Lt, t0 （10.1）At表示时刻t时的资产，Lt表示时刻t时的负债。当t=0时刻的盈余称为初始盈余，记为，即U0=. 现实中，At和Lt是比较复杂的，通常要考虑利率、投资收益、通货膨胀、保单红利等因素。作为理论模型，在这里我们只考虑最简单的情况：资产At为初始盈余加上到时刻t为止收到的保费ct,其中c表示单位时间的保费收入；负债Lt为指导时刻t的总理赔额St. 定义10.1 如果保险公司的初始盈余为，单位时间内的保费收入为c，直到时刻t的总理赔额为St，定义盈余过程模型为： Ut=+ct-St, 0,c0,t0 （10.2）Ut，t0为以为初值、以时间t为指标值的随机过程。 模型（10.2）中核心部分就是总理赔额St，它是由理赔次数和每次的理赔额复合而成。 定义10.2 总理赔额的定义为： St=X1+X2+XN(t), Nt00, Nt=0 （10.3）其中（1） Nt为直到时间t内的总理赔次数，为非负整数值，且N0=0。显然，Nt，t0是计数过程，在这里称为理赔次数过程；（2） 当Nt=n为已知时，Xi表示0,t时间内第i次的理赔额，i=1,2,n;（3） St表示0,t时间内的总理赔额，S0=0.St，t0就是总理赔额过程，表示理赔的累计过程。在新的理赔发生时，会使总理赔额发生一个向上的跳跃，而在两次理赔到达时间之内，St为常数。总理赔过程额样本轨道如图10-2所示。当总理赔额过程St，t0为复合Poisson过程时，我们可以进一步观察此时的盈余过程（见图10-3）。这是破产理论中最基本的盈余模型。 定义10.3 称Ut，t0为Poisson盈余过程，Ut=+ct-St，如果（1） 为初始盈余，即U0=,0;（2） St，t0为复合Poisson过程，Poisson参数为，理赔额变量的分布函数为Fx;（3） c为单位时间内的保费收入，c=1+EX,0为附加的安全系数。图性质10.1 Poisson盈余过程具有以下性质：（1）EUt=E+ct-St=+tEX （10.4）（2） VarUt=VarSt=tEX2 （10.5）（3） MUtz=EezUt=euz+ctz-tMXz-1 （10.6） 从（10.4）式看出，只要0，保险公司的平均盈余将随着时间的增加而增长，最终趋向于无穷，但是从（10.5）式也看出，盈余过程的波动也随着时间的增加而加剧。当发生巨灾或大量理赔集中发生的情况，盈余可能会出现负值，即出现赤字，如图10-3所示。这虽然是小概率事件，却是导致保险公司破产的源头。图【例10.1】 某保险公司为了预测未来8年内公司的盈余状况，它们根据以往的理赔数据进行了随机模拟，模拟的理赔时间和理赔额数据如表10-1所示。如果保险公司目前的盈余为=5，每年的保费收入c=4.问：在未来8年内该保险公司的盈余状况如何？ 表10-1 理赔时间和理赔额模拟数据理赔次序123456理赔时间（年）0.51.52.75467.5理赔额2.5857412【解】 保费是连续收取的，由盈余过程定义知： Ut=+ct-X1+X2+XN(t)（1） 计算未来0.5年内的盈余状况： Ut=5+4t, 0t0.5 Ut=4t+2.5=4.5, t=0.5（2） 计算未来1.5年内的盈余状况： Ut=4t+2.5, 0.5t1.5 Ut=4t-5.5=0.5, t=1.5（3） 计算未来2.75年内的盈余状况： Ut=4t-5.5, 1.5t2.75 Ut=4t-10.5=0.5, t=2.75（4） 计算未来4年内的盈余状况： Ut=4t-10.5, 2.75t4 Ut=4t-17.5=-1.5, t=4 （5） 计算未来6年内的盈余状况： Ut=4t-17.5, 4t6 Ut=4t-21.5=2.5, t=6（6） 计算未来7.5年内的盈余状况： Ut=4t-21.5, 6t7.5 Ut=4t-33.5=-3.5, t=7.5从图10-4的样本轨迹可以看出，在t=4的时刻盈余第一次为负，之后，继续收取保费，盈余又回复为正，但在t=7.5时，盈余再一次为负。图第三节 破产概率破产概率并非真正意义上的破产，它只是数学上的概念。因为我们在模型中忽略了利率、投资收益、再保险等因素。但简化的盈余过程模型无疑对研究真正的破产事件是有意义的，对保险公司财务预警以及保险监管部门设计监管指标有直接的参考作用。定义10.4 称如下随机变量： T=mint|t0,Ut0 （10.7）为破产时刻（Ruin Time）.破产时刻就是盈余过程第一次出现负值的时间。定义10.5 称概率： u=PrT0,Ut0 （10.8）为破产概率（Ruin Probability）.破产概率是说：盈余过程迟早要出现负值的概率，因此也称之为最终破产概率（Ultimate Ruin Probability）.在现实中，保险公司关心的并不是无限时间内破产是否发生，而是10年、20年内的情况如何，因此我们来考虑有限时间内破产发生的概率。定义10.6 称概率： u,t=PrTt=Prs,s0,t,Us0 （10.9）为时间t内的破产概率。破产概率满足如下基本性质：性质10.2 对于u1u2,0t1t20;（2） u2u1;（3） (u,t1)u,t2(u);（4） limtu,t=u.为了计算破产概率，需要首先引出调节系数的概念。定义10.7 设理赔额随机变量X，其均值为EX=,c为单位时间的保费收入，为Poisson盈余过程的参数。对于Poisson盈余过程，称关于r的方程 +cr=Mx(r) （10.10）的正数解R为调节系数（Adjustment Coefficient）.方程（10.10）通常有一个正数解，因为方程右边是r的严格凸函数，左边是r的线性函数，二者的关系见图10-5.图若将保费收入c=(1+),带入方程（10.10），则调节系数方程可以写为： 1+1+r=MX(r) （10.11）这时调节系数方程与Poisson过程的参数无关。【例10.2】 理赔额随机