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无穷积分的收敛判别摘要：简单讨论无穷积分的收敛判别方法，以及各种判别法的适用范围和应用技巧，并以简单实例加以探究.关键字：无穷积分,收敛判别法，收敛和发散一绝对收敛必自身收敛1.若f在任何有限区间a,u上可积，且有收敛，则必收敛，并有 | （适用于函数值符号会变化的无穷积分，如含等）2. 运用定义来判别（适用于原函数容易求出的无穷积分）若f定义在a,+上,且在任何有限区间a,u可积，若存在极限，则收敛。例1 讨论的收敛性解：（i）当p=1时， ， 发散（ii）当p时， 综上：当p1时，收敛； 当p1时，发散。二非负函数无穷积分的判别（在含非负函数的无穷积分时适用）若f是定义在a,+上的非负函数，且在任何有限区间a,u上可积，则收敛的充要条件是在a,+存在上界。1. 比较原则：设定义在a,+上的两个非负函数f和g都在任何有限区间a,u上可积，且满足f（x）g（x），xa,+,则当收敛时必收敛（大收敛则小收敛，小发散则大发散）例2 判断的收敛性解：|又=（-0）= 收敛绝对收敛（由比较原则知），自身亦必收敛2.比较原则的极限形式：（常会用到作为比较对象）若f和g都在任何有限区间a,u上可积，当xa,+时，f（x）0，g（x）0,且,则有:(i)当0c0),且在任何有限区间a,u上可积，则有：（i)当0f（x），xa,+，且p1时，收敛；（ii）当f(x), xa,+,且p1时，发散。设f是定义在a,+上的非负函数，在任何有限区间a,u上可积，且 则有 （i）当p1,0+时，收敛；（ii）当p1，00）解：令F(u)=0时，（x），由狄利克雷判别法知（p0）收敛2. 阿贝尔判别法：若收敛，g（x）在a.+上单调有界，则收敛。还有些无穷积分用以上办法判断不出，如但可以用柯西准则判断。3. 柯西准则：（适用于某些简单但不易判别的无穷积分）无穷积分收敛的充要条件是：任给0,存在Ga，只要便有|=|.例5判断的收敛性解：，对取;有|=|=|=是发散的
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