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例谈不等式证明不等式证明是不等式的重点和难点,其方法灵活多变,不拘一格,对学生的思维的灵活性和发散性帮助很大,下面我通过一道习题的讲解,让大家体会不等式证明方法的灵活与多变,启发学生思维。题目: 已知a,bR,且a+b=1. 求证:分析一:作差比较法:作差比较的步骤:作差:对要比较大小的两个数(或式)作差.变形:对差进行因式分解或配方成几个数(或式)的完全平方和.判断差的符号:结合变形的结果及题设条件判断差的符号.注意:若两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小.证法一: 即(当且仅当时,取等号).分析二:分析法是由结果出发,逐步寻求使上一步成立的充分条件,最后与已知、定理、恒成立的结论统一。用分析法论证“若A到B”这个命题的模式是:欲证命题B为真,只需证命题B1为真,只需证命题B2为真,只需证命题A为真,今已知A真,故B必真证法二:(分析法) 点评:分析法是基本的数学方法,基本思想是”由果索引”,使用时,要保证“后一步”是“前一步”的充分条件.分析三:综合法是由已知出发,经过逐步推理,得到结论的方法。分析四:放缩法是对原式进行适当的放大或缩小,进行证明的方法。(放缩法) 左边右边. 点评:根据欲证不等式左边是平方和及a+b=1这个特点,选用基本不等式.另证:(放缩法) 点评:根据欲证不等式左边是平方和及a+b=1这个特点,选用基本不等式分析五:反证法假设,则 .由a+b=1,得,于是有.所以,这与矛盾.所以.点评:反证法的优势在于证明含有“至少一个”“至多一个”等正面不易证明的命题,本题的反证法并没有多大优势,但不失为一种证法。分析六:(均值换元法),所以可设,左边右边.当且仅当t=0时,等号成立. 点评:形如a+b=1结构式的条件,一般可以采用均值换元.分析七:构造法(利用一元二次方程根的判别式法)设y=(a+2)2+(b+2)2,由a+b=1,有,所以,因为,所以,即.故.分析八:柯西不等式有柯西不等式得: 分析九:构造法(构造二次函数)设y=(a+2)2+(b+2)2,由a+b=1,有,由二次函数的值域得:分析十:三角换元法(构造三角公式,利用三角函数的有界性)设:,因为所以:分析十一:几何法(构造点到直线的距离公式)设直线l:显然:直线l过原点O(0,0),那么,P(1,1)点到直线l的距离为=如图:分析十二:几何法(直线外一点到直线上所有点的距离中,垂线段最短)设x=a+2,y=b+2,则x+y=5设P(x,y)为直线x+y=5上任意一点,d为原点O到直线x+y=5的距离。则d=因为分析十三:向量法(两
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