第12_19届北京市大学生数学竞赛全部试题解答.pdf

第十二届北京市大学生 非数学专业 数学竞赛第十二届北京市大学生 非数学专业 数学竞赛 本科甲 乙组试题本科甲 乙组试题 2000 年 10 月 14 日 上午 9 00 11 30 准考证号 姓名 学校 注意 本考题共九题注意 本考题共九题 甲组九题全做 乙组只做前七题甲组九题全做 乙组只做前七题 一 填空题 满分 20 分 甲组限半小时做完 于 9 30 收回 1 若 2 0 tan 1 cos lim2 ln 1 2 1 x x axbx xce 则 a 2 若 2 0 z x y 且当时 当0 x sinzy 0y sinzx 则 z 3 0 1 n n n 4 设幂级数的收敛域为 则幂级数 0 1 n n n ax 4 2 0 3 n n n nax 的收敛区间为 5 2 111 0 x t tdt edx 6 设 1 1 2 xxx yyeyeye 都是某二阶常系数线性微分方程的解 则此二阶常系数线性微分方 程为 7 设数列 n x满足 11 sin 2 sin 11 n nxn nn C 3 rxdxydyzdz 其中 22 rxyz2 二 设是上 递 减 的 连 续 函 数 且 证 明 数 列 f x 0 0f x n a收 敛 其 中 1 1 n n n k af kf x dx 三 设为椭球面S 22 2 1 22 xy z 的上半部 点0z PS 为在点处的切平面 SP x y z 为原点到平面的距离 求 3 S Izx y z dS 四 设 一 元 函 数当时 有 连 续 的 二 阶 导 数 且 又 uf r 0r 证明 1 1 1 n n f n 收敛 而 1 1 n f n 发散 七 一个冬季的早晨开始下雪 且以恒定的速度不停地下 一台扫雪机 从上午 8 点开始在公路上扫雪 到 9 点前进了 2 公里 到 10 点前进了 3 公里 假定扫雪机每小时扫去积雪的体积为常数 问何时开始下雪 以下两题乙组同学不做以下两题乙组同学不做 八 设在闭区间 有连续的二阶导数 且 f x a b 0f af b 当 xa b 时 证明 0f x 4 b a fx dx f xb a 0 九 设是实系数多项式 且某个 1 n n f xa xa xa 2n 0 11 k akn 及当ik 时 证明 若有个相异的实根 则0 i a f xn 11 0 kk aa 第十三届北京市大学生 非数学专业 数学竞赛第十三届北京市大学生 非数学专业 数学竞赛 本科甲 乙组试题本科甲 乙组试题 2001 年 10 月 13 日 上午 9 00 11 30 准考证号 姓名 学校 注意 本考题共九题 甲组九题全做 乙组只做前七题 一 填空题 满分 20 分 甲组限半小时做完 于 9 30 收回 1 若函数 1 sin 0 0 0 k xx f xx x 在0 x 处可导 则正整数k的最小值为 2 设由轴 y 2 yx 01 yaa 所围的平面图形 由ya 2 yx 所围的平面图形都 绕轴旋转所得旋转体的体积相等 则 1x ya 3 设 2 1 0 2 1 1 2 xx f x 1xx 而 0 1 cos 2 n n a s xan x x 若 yf x 的 一 个 拐 点 是 则 0 3 x 5 设 1 1 x y x 则 10 0 x y 6 444 1 1 1 dx xx C 7 设具有一阶连续导数 且 f x 0 0 0 1f f 则 2 0 0 2 0 lim x x x f t dt f t dt 8 设为区域 则 222 1xyz 222 222 xyz dv abc 9 若可微函数对任意满足 f x y x y t 2 f tx tyt f x y 0 1 2 2 P 是曲面上的一点 且 则曲面在处的切平面方程为 zf x y 1 2 4 x f 0 P 10 设为正整数 是 1中1m n a n mx n x的系数 则 0 1 n n a 二 设在上具有二阶导数 且 f x 0 1 1 0 1 0 0ffff 证明 存在 0 1 使得 ff 三 设 4 0 tan 1 n n axdx n 1 证明数列 n a收敛 2 证明 2 1 1 nn aan n 2 3 证明 11 2 1 2 1 n a nn 四 从已知的内部的点向三边作三条垂线 求使此三条垂线长的乘积为最大的点的位置 ABC PP 五 求 3 0 1 1 n n n n x n 的收敛区间及和函数 六 设有一半径为R的球形物体 其内任意一点处的体密度P 0 1 PP 其中为一定点 且到球心 的距离大于 0 P 0 P 0 rR 求该物体的质量 七 当一架超音速飞机在高空沿水平方向以速度作直线匀速飞行时 由于飞机的速度比音速快 所以人 们常常是先看到飞机在空中掠过 片刻之后才听到震耳的隆隆声 那么在同一时刻 天空中的什么区域可 以提到飞机的声音呢 设声音在空气中的传播速度为 v 00 v vv 以下两题乙组同学不做以下两题乙组同学不做 八 设是 0上的连续函数 证明 f x 1 11 00 1 f xfy edx edy 九 1 构造一正项级数 使得可用根值审敛法判定其敛散性 而不能用比值审敛法判定其敛散性 2 构造二级数和 1 n n u 1 n n v 使得lim n n n u l v 存在 且0l 为常数 则 0 xx e edx 7 设二 阶 可 导 且 yf x 4 0 dy y y dx 若 yf x 的 一 个 拐 点 是 则 0 3 x 8 444 1 1 1 dx xx C 9 设具有一阶连续导数 且 f x 0 0 0 1f f 则 2 0 0 2 0 lim x x x f t dt f t dt 10 设为正整数 是 1中1m n a n mx n x的系数 则 0 1 n n a 二 设在上具有二阶导数 且 f x 0 1 1 0 1 0 0ffff 证明 存在 0 1 使得 ff 三 某公司生产两类产品 根据经验 欲使产量分别增加单位和xy单位 需分别增加x单位和y单 位的投资 这时销售总收入将增加34xy 单位 现用A单位的投资生产这两类产品 问如何分配投资 才能使销售总收入增量最大 四 设 4 0 tan 1 n n axdx n 1 证明数列 n a收敛 2 证明 2 1 1 nn aan n 2 3 证明 11 2 1 2 1 n a nn 1 1ab 2 若函数在处可导 且 则 f x1x 1 1 f 0 1 1 2sin 2 1 3tan lim x fxfxfx x 3 设不定积分 2 2 2 1 1 xax dx xx 的结果中不含反正切函数 则 a 4 2 1 lim k n n k n k n e nne 5 函数 22 uxyz 22 在点处沿曲面 1 1 1 M 2 2zxy 在点M处的外法线方向的方向导数n M u n 6 2 11 1 y x dx e dy 7 设连续 且 f x 0 0f 222 t F tzf xydxdydz 其中 222 0 t 1xytz 则 2 0 lim t F t t 8 设当0 时 22 C ydxxdy I 2 xyxy 其中为有向圆周C 22 2 1 xy 与 n 为同阶无穷小 则 n 9 设曲面为 则 222 4xyz 22 xydS 10 1 2 1 2 k k kkk 二 设在闭区间 0上具有二阶导数 且在开区间内达到最小值 又 f x a 0 a 0 fxM xa 证明 0 ff aMa 三 证明 22 22 00 sincos 11 xx dxdx xx 四 设具有连续导函数 计算 f u 11 xx Ifdydzfdzdxzdxdy yyxy 其中是所围立体的外侧 222 6 8yxzyxz 2 五 已知 2 2 0 0 cos t t f x y dxxydyt 有一阶连续偏导数 求 f x y f x y 六 已知方程的两边乘以便成为全微分方程 试求出可导函数 并解此微分方程 223 6 8 0yx ydxxx y dy 3 y f x f x 七 根据经验 一架水平飞行的飞机 其降落曲线为一条三次抛物线 如图 已知飞机的飞行高度为 飞 机的着陆点为原点 且在整个降落过程中 飞机的水平速度始终保持着常数u 出于安全考虑 飞机垂 直方向的加速度绝对值不得超过 h O 10 g 此处为重力加速度 g 1 若飞机从 0 xx 处开始下降 试确定其降落曲线 2 求开始下降点 0 x所能允许的最小值 以下两题乙组同学不做以下两题乙组同学不做 八 设函数具有二阶连续偏导数 且 zf x y 0 f y 证明 对任意常数 为一直线的 充分必要条件是 C f x yC 2 2 20 yxxxyxyyyx fff f fff 九 设函数 1 0 k n n z ke n 1 求和的值 0 1 zz 2 z 2 试证当取正整数时 亦为正整数 k z k 第十四届北京市大学生 非数学专业 数学竞赛第十四届北京市大学生 非数学专业 数学竞赛 本科丙组试题本科丙组试题 2002 年 10 月 13 日 上午 9 00 11 30 准考证号 姓名 学校 注意 本试题共七题注意 本试题共七题 一 填空题 每空 2 分 满分 20 分 1 2 1 0 lim cos x x x 2 设 4 3 1 2 1 2 2 1 2 xax x f xxx x 在1x 处连续 则 a 3 若函数在 f x1x 处可导 且 则 1 1 f 0 1 12sin 2 1 3tan lim x fxfxfx x 4 设不定积分 2 2 2 1 1 xax dx xx 的结果中不含反正切函数 则 a 5 20022 20022002 0 sin sincos x dx xx 6 2 1 lim k n n k n k n e nne 7 2 11 1 y x dx e dy 8 设实数 则当a 0a 时 积分 2 3 1 1 a a dx x 之值最大 9 2 2 2 0 lim x x t x e t e dt x 10 圆 222 0 xRyrrR 知 n a有下界 综上所述 由单调有界必有极限 可知数列 n a收敛 三 解 设 切 平 面 上 的 点 为 X Y Z 则 平 面 的 方 程 为1 22 xXyY zZ 从 而 22 2 1 22 x y z xy z 由的方程S 22 1 22 xy z 得 22 2 4 x y z xy 以及 22 2 1 22 zx x xy 22 2 1 22 zy y xy 2 2 22 22 4 d1d dd d 2 1 22 xyzz Sx y xy xy x y 所以 22 22224 00 1 d dd 1 2 22228 D xyr Ix yrdr rr 四 解 由 ux fr xr 故 222 22 uxr frfr xrr 2 3 x 由 对 称 性 同 理 可 得 2222 3 y 22 uyr frfr yrr 2222 223 uzrz frfr zrr 代入方程 得 2 0frfr r 这是 可降阶的高阶微分方程 故令 得 frp r 20rpp 解得 1 2 C p r 则 1 2 C fr r 积分得 1 2 C f rC r 代入初始条件得 1 1f r r 五 证 利用球坐标 则 sincos sinsin cos uf x y zf rrr 令 y xz f ff t xyz 则 xyz ftx fty ftz 于是 sin sincos sin sin sincos sin 0 xy u f rf rtxrtyrtxy xy 222 cos cossin cossin cossin cossinsin cossin cos xyz u f rf rf rtr 2 sin cossincos 0tr 故u仅为r的函数 六 证 由 0 lim x f x a x 得 0 0 0 ffa 又由在 f x0 x 的某个邻域内有一阶连续导数 及 知 存 在 0 0fa 0 使 得 在 0 上 0fx 于 是 存 在 使 得N 11 0 1 nN fff nn 111 0 0ffff nnn 1 n 即 1 lim 0 0 1 n f n fa n 故 1 1 n f n 发散 七 解 设表示从开始下雪起到时刻t时的积雪深度 则由下雪的速度是恒定的 有 h t d d h C t 常数 设 x t为扫雪机从开始下雪起到时刻t走过的距离 则由假定扫雪机每小时扫去积雪的体积为常数 有扫 雪机前进的速度与积雪深度成反比 即 d d xk th 其中k为常数 设T为开始下雪到扫雪机启动工作这段时 间 则当时 当 1 时 tT 0 x tT 2x tT 2 时 3x 于是由 d d h C t 解得 1 hCtC 因时 故0t 0h 1 0C 从而 把它代入hCt d d xk th 于是 d d xAk A ttC 为常数 分离变量 后积分 得ln xAtB B 为任意常数 把tT 时 0 x tT 1 时 2x t 2 时 T 3x 代 入有 解得 ln0 ln 1 2 ln 2 3 ATB ATB ATB 51 0 618 2 T 小时 约等于 37 分 5 秒 即雪是从上午 7 点 22 分 55 秒开始下的 八 证 由于 d d max b b a a a x b fxx fx x f xf x 故只需证 00 44 max b a x b a fx dxf xf xxa baba b 对在和 f x 0 a x 0 x b分别用拉格朗日中值 定理有 01 0 f xf afxa 0 02 f bf xfbx 则 22 11 21 d d d b a fxxfxxfxxff 00 0 0000 f xf xba f x bxxabxxa 而 2 00 4 ba bxxa 因此 0 4 d b a fxxf x ba 九 证明 设 这里 1 21 021 kn n k fxCC xCx k 0121 1 1 1 2 kki knk CkaCaCa i 1k i 由罗尔定理 在函数的两个零点之间其导数在某点为零 因此 1 k fx 有1nk 相异的实根 而 k fx 有个实根 且nk k fx的根位于 1 k fx 的每两个相邻根之间 假设同号 不失一般性可设 从而 则 1 kk aa 111 0 0 kk aa 02 0C C 1 k fx 在点0 x 左方 减 右方增 而为极小值 1 0 0 0 0 0 kk ffC 若 k fx无其它根 则到处有 因而 1 1 0 0 0 kk fxfC 1 k fx 也无实根 矛盾 若 0 x是 k fx的与0 x 相邻的根 则在 0 与 0 x之间的区间上 这与 1 0 0 k fxC 1 k fx 在 此区间上存在根相矛盾 第十三届北京市大学生数学竞赛本科甲 乙组试题答案第十三届北京市大学生数学竞赛本科甲 乙组试题答案 一 填空题 1 2 2 1 2 3 3 8 4 3 5 10 39 17 2 6 44 1 x x 7 2 8 222 4111 15abc 9 10 42xz 0 1 m m 二 作辅助函数或 则在 0 1 上满足罗尔定理 的条件 且或 则由罗尔定理的结论知存在 x F xf xfx e x F xf xfx e F x x F xfxf x e x F xf xfx e 0 1 使得 0F 即 ff 三 1 当0 4 x 时 1 0tan1 0tantan nn xxx 44 1 1 00 0tandtand nn n ax xx n x a 故 n a单调递减有下界 从而收敛 2 144 4 222 2 00 0 tan1 tantandtan tan1 d 11 n nnn nn x aaxx xxxx nn 3 由 n a单 调 递 减 及 2 有 2 1 2 1 nnn aaa n 即 有 1 2 1 n a n 故 11 2 1 2 1 n a nn 四 解 设三边的长分别为 从所作的垂线分别为 a b cP x y z 的面积为 于是令ABC S 2f x y zxyz axbyczS 设 2 F x y zxyzaxbyczS 令 解得 0 0 0 2 x y z Fyza Fxzb Fxyc axbyczS 22 33 SS xyz ab 2 3 S c 由问题的实际意义 f确有最大值 故当到长为P 22 33 SS xyz ab 2 3 S c 时 三垂线长的乘积达到最大 五 解 由 3 3 1 1 lim0 2 n nn n n 可 见R 收 敛 区 间 为 又 3 111 1 2 1 n nnnn 得 3 0 1 1 n n n n x n 3 0 1 n n n x n 2 x 2 2 n n x n 2 n n x n 2 1 n n x n 2 x 2 2 2 2 n n x x n 2 n n x n 1 2 1 1 n n x xn 2 2 1 e e1 e1 22 xxx xx xx x x 2 11 e 1 0 x xx xx 显然 当时 和为 0 因此 0 x 2 3 0 11 e 1 0 1 1 0 0 x n n n xxn xxx n x 六 解 以球心为原点建立空间直角坐标系 使点位于轴的 利用球面坐标及余弦定理 球 体内任一点 0 Pz 0 0 0 Pr0 P r 到的距离 0 P 22 000 2cosPPrrrr 则该物质的质量 2222 0 1 d xyzR Mv PP 2 2 22 000 00 sin dd 2cos R d rr rrrr 22 00 0 00 4 2cosd R rrrrrr r 3 2 000 44 3 R R r dr rr 七 解 以时飞机的位置作为坐标原点 以飞机飞行的方向作为轴 建立空间直角坐标系 设ta0t x 时飞机的位置在 考虑此时能听到飞机声的范围 在时间 0内任意时刻 飞机作为一个主 声源 都在发出球面波 这个球面波到s时刻的波前半径为 0 0 A va as 0 v as 球心位置即为时刻飞机的位置vs 故波前方程为 s 2 2222 0 xvsyzvas 0 sa 由于在t时声音不会超出这些球面 所以这个球面族所充斥的区域就是所能听到飞机的区域 而在球 面族之外 则听不到飞机的声音 a 为了消去参数 式两边对s求偏导 得s 2 0 v xvsvas 解得 2 0 22 0 vxv a s vv 于是 2 0 22 0 v vax xvs vv 22 x 0 v va as vv 代入 得 2 22 0 22 0 v yzx va vv 2 这是一个以为 顶点 轴为对称轴的圆锥面 即我们所求的马赫锥方程 0 0 A va x 八 证 设 由于 01 01 Dx yxy e1 f xfy f xf y 故 11 00 ededed d f xfyf xfy D xyx 1111 y 1111 00000000 d 1 ddd ddd d1xf xf yyxyf xxyxf yy 另一方法 11 00 ededed d f xfyf xfy D xyx y 11 d deed d2d d1 22 fyf xf xfyfyf x DDD ex yx yx y 九 解 1 级数 1 1 3 1 2 n n n 1 3 1 1 lim1 22 n n n n 故级数收敛 但 1 1 1 3 1 limlim 2 3 1 n n n nn n u u 不 存在 2 22 1 1 1 nn n nnnn limlim1 1 n n nn n vn un 注 意 到 2 1 n nn 收 敛 而 222 1 1 1 1 1 11 1 nnn n nnnn nn nnn 2 1n 发散 第十三届北京市大学生数学竞赛本科丙组试题答案第十三届北京市大学生数学竞赛本科丙组试题答案 一 填空题 1 2 2 3 2 ln3 4 22 11 4 ab 5 2 3 f ttftt ft 6 1 e 2 7 3 8 44 1 x x 9 2 10 1 m m 二 同甲 乙组第二题试题答案 三 设这两类产品分别用 x y单位 则由题意即求函数在条件 2 34L x yxy 2 xyA 下的最大值 利用拉格朗日乘数法求得 0 0 xy 43 77 xA yA 是唯一驻点 但是 2 4384 7749 LAAA 故当 22 0 4 0 3LAA L AA 0 xyA 时 才能使总收入增量最大为 2 4A 四 同甲 乙组第三题试题答案 五 同甲 乙组第四题试题答案 六 同甲 乙组第五题试题答案 七 同甲 乙组第八题试题答案 第十四届北京市大学生数学竞赛本科甲 乙组试题答案第十四届北京市大学生数学竞赛本科甲 乙组试题答案 一 填空题 1 ab 2 9 3 4 1 arctane 4 5 1 3 6 e 1 7 3 8 2 9 128 3 10 1 2 二 由题设知存在 使为的最小值 从而 0 c a f c f x 0fc 对导函数在 0与 分 别用拉格朗日中值定理 得 fx c c a 11 0 0 0f cfffcc 22 f af cf afa c ca 四 解 设 是所围的区域 它在面上的投影为 xoz 22 1xz 由高斯公式得 11 d d d xx Iffz x yyy xyz x y z 22 11 1 d d dd d d xx ffx y zx y z yyyy 利用柱坐标可以算得 2 2 21 8 0 0 6 d d d r r Ir y r 五 解 由cos 得 y yfx y sin f x yyC x 而 2 2 0 0 sin dcos d t t yC xxxy yt 即 2 2 00 dcos d tt C xxty yt 2 0 dsin t C xxttt 22 2 两边求导得 于是得 22 2sin2cosC ttttt 22 sin2sin2cosf x yyxxxx 六 解 设 由 425334 6 8 P x yyx yf x Q x yxyx yf x QP xy 得 324334324 83 8 245 yx yf xxyx yfxyx yf x 消去得 3 y 23 16 8 2 0f xxfxyx f xx fx 于是有 2 1 d 2 2 d f x xfxf xx f xC x f xx 0 且全微分方程为 42523342 11 6 d 8 dxx y C xxxyx yC xy 42523342 0 0 6 d 8 d x y u x yxx y x xxyx y x y 3342345 00 1 0d 8 d2 5 yx 5 xxyx y x yx yx y 故微分方程的通解为 3455 10 x yx yC 七 解 1 设 降 落 路 线 OA的 方 程 为 32 yaxbxcxd 则 由及 得 0 0 0 0y y 00 0y xh y x 22 00 23 0 hh cdab xx 于是 OA的方程为 323 222 0000 232 3 hhh yxxx xxxx 2 x 2 因为垂直方向的速度大小为 22 22 0000 66 dydy dxh xdxuh x xx dtdx dtxxdtxx 所以垂直方向的加速度大小为 22 22 00 62 1 d yddy dxhux dtdx dtdtxx 由题设有 2 2 0 6 10 hug x 即 0 60h xu g 所以允许下降点 0 x的最小值为 60h u g 八 证 必要性显然 因为当为直线时 f x yC ff xy 均为常数 故0 xxyyxy fff 从而等式 成立 充分性 因为 故由隐函数求导公式得0 y f d 0 d xy y ff x 两边对再求导得 x 2 2 dddd dddd xxxyyxyyy yyy fffff xxxx 0 y 代入 d d x y fy xf 即有 2 2 22 2 d 0 d xxyyyx xxy yy f fff y ff ffx 由条件可知 2 2 d 0 d y x 即为线性 函数 故方程为一直线 yy x f x yC 九 解 1 11 1 0 1 0 ee e1 n x x n x x z n 11 1 0 1 1 ee e 1 n x x n x nx zx n 2 11 1 0 1 0 ee e 2 n x x n x n x zx x n 2 用数学归纳法 当时 1k 1 0 e e n xx n nx xP x n 当时 2k 2 12 0 e e n xx n n x x P xP x n 当时 kk 1 0 e e kn xx kk n n x x PxP x n 其中 是正整数系数多项式 故是正整数 而 由 0111 1 kkk P xP xx P xx PxPx k P x 1 k P 0 1 e k k n n P n 得是正整数 z k 第十四届北京市大学生数学竞赛本科丙组试题答案第十四届北京市大学生数学竞赛本科丙组试题答案 一 填空题 1 1 2 e 2 2 3 9 4 1 5 4 6 arctane 4 7 e 1 8 3 3 4 9 1 2 10 22 2Rr 二 设 00 xy为曲线上的任意一点 则 00 2xy 曲线方程两边对求导 得x 11 0 22 y xy 解出 y y x 则曲线在点 00 xy处的切线斜率 0 0 y k x 切线方程为 0 00 0 y yyxx x 令 得切线的横截距为0y 000 xx y 令0 x 得切线的纵截距为 00 yx y 0 所以切线的横截距与 纵截距之和为令 得切线的横截距为0y 000 xx y 00 yx y 0 2 00 2xy 三 由 1 4 qp 得4pq 因 而 总 收 入 函 数 4 R qpqqq 且 总 利 润 22 4 2 6L qR qC qqqqqqq 0 因 时 L q有最大值 由 2 60L qq 解得唯一驻点 3 q 且由 2 0Lq n F 21 12121 2222 n nnnnn FFFFFF 1n n 另一方面 由 12 2 n FF 得 21 1 2 nn FF 因而 21 11121 13333 22222 n nnnnn FFFFFF 1n 即有 11 3 2 2 nn n F 2 由 1 知 1 12 3 n n F 可见 0 1 n n F 收敛 而 11 ln 1 ln2 n Fn 可见 0 1 ln n n F 发散 第十五届北京市大学生 非数学专业 数学竞赛第十五届北京市大学生 非数学专业 数学竞赛 本科甲 乙组试题本科甲 乙组试题 2004 年 10 月 10 日 上午 9 00 11 30 准考证号 姓名 学校 注意 本考题共九题注意 本考题共九题 甲组九题全做 乙组只做前七题甲组九题全做 乙组只做前七题 一 填空题 每题 2 分 满分 20 分 1 在的附近与函数的差为0 x secf xx 2 x的高阶无穷小的二次多项式为 解 应填 2 1 1 2 x 因为 0 1 0 0 0 1fff 由泰勒公式知 2 1 1 2 f xx 2 设曲线与在原点相切 则极限 yf x siny x 2 lim n nf n 解 应填2 因为 0 0 sin00 0 sin 1 x ffx 由导 数 的定 义知 2 lim n nf n 2 0 2 lim2 0 2 2 n ff n f n 3 设 sincos2 1 cos 1 sinsin 1 xyyy zf x y xy x 则 0 1 z y 解 应填 因为1 11 0 0 1 1 0 1 limlim1 1 1 1 sin 1 y yy fyfy f yyy 4 设有连续导数且 f x 0 lim0 x f x a x 又 2 0 x F xxt f t dt 当时与0 x F x n x是同阶无穷 小 则 n 2 00 xx F xxf t dttf t d 0 x t 注意到 f xax 解 应填 2 因为 00 000 2 2 2 2 0 limlimlim0 0 xx xxx xf t dtf t dt f xf xf xf xfxf 22 0 2 x F xxf t dtx f xxf xxf xax 故2n 5 设二阶线性微分方程 yp x yq x yf x 有三个特解 1 x ye 2 2 x x yee 3 x yee x 则该 方程为 11 22 x yyye 1 解 应填 因 为是 对 应 的 齐 次 方 程 的 解 代 入 齐 次 方 程 可 求得 213 yy yy 11 22 p xq x 再将代入原方程可得 1 y x f xe 6 设可导函数 xx t 由方程所确定 其中可导函数 sin 0 x t t tu du 0u 且 0 0 1 则 0 x 解 应填 因为将代入方程 可得3 0t 0 0 x 在方程两边对t求导 得cos 0tx tx tt 于 是得 在此方程两边对t求导 得 0 2 x 2 sin 0tx t xtx t x tt 于是可得 0 3 x 7 设 是全平面 则 sin 02 0 xx f x 其他 D D f x f yx dxdy 解 应填 因为仅在区域 2 1 cos2 f x f yx 1 2 0Dxyxx2 内非零 D f x f yx dxdy 1 22 2 0 sin sin 1 cos2 x Dx f x f yx dxdydxxyx dy j8 设向量 且二元可微分函数在点处有34 43uij vi f x yP10 17 PP ff uv 则 P df 解 应填10 因为15dxdy 34 6 55 P fff uxy 43 17 55 P fff vxy 解得 10 P f x 15 P f y 所以 P df 10 15dxdy 9 幂级数 1 1 1ln 1 n n n n x的收敛域为 解 应填 1 因为当时 1 0 x ln 1 1 1 2 x x x 所以 1 1 2 1 limlim1 1 1 2 n nn n an r a n 易知1x 时级数收敛 1x 时级数发散 10 设连续非负函数满足 则 1 f x fxx 的值 解 令 1 x t 0 222 0 lnln 1 xt Idxdt xaat 令 u at a 0 2 2222 00 lnlnlnln ln 1 1 ttua IdtdtduIa atataua 所以ln 2 Ia a 三 10 分 已知方程log b a xx 存在实根 常数 求应满足的条件 1 0ab a b 解 设 log b a f xxx 1ln ln b bxa fx xa 驻点 1 0 1 ln b x ba 当 0 0 xx f x 0 xx 时 0fx 单减 f x 0 f x是最大值 又 所以 即有 0 0 lim lim xx f x 0 0f x ln ln 1 0ln ln lnln ba ba baba 1 所以应满足 a b 1 0lna be 四 10 分 设 0121 71 1 2 1 2 21 nn aaaaa n n 证明当1x 时幂级数收敛 并求 其和函数 0 n n n a x S x 解 1 2 limlim1 1 1 n nn n an r an 所以当1x 所确定 则 dy dx 解 应填 2 2sin y ex 方程两边对求导 x 2 2 sin 0 y xx e y x 解出 2 2sin y ye x 3 已知级数 1 11 sin n nn 收敛 则常数 的取值范围为 解 应填 1 3 因为 3 111 sin 6nn n 所以 1 3 4 由拉格朗日中值定理有 其中0 1 xx exe x 1 x 其他 Da是常数 是全平面 则二重积分 D f x f yx dxdy 解 应填 因为 2 4a f x f yx 仅在区域 1 2 0Dxyxx2 内非零 D f x f yx dxdy 11 22 4 DD f x f yx dxdya dxdya 3 3 6 0 1 lim sin 2 x x ex x 8 解 应填 1 128 因为原式 sin xx 32 322 6657 00 11331 limlim 2 262128 xx xx exx ex xx 1 9 33 3f x yxyxy 的极小值为 解 应填驻点为和在点没有极值 在点有极小值1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 10 设则 12 1aa 21 1 nnn aaa n 12 n n n a 解 应填 2 因为 122 2111 111 1111 2 222222 nnnn nnnn nnnn aaaa ss 1 22 111 2 224 s 由此解得 二 设在 内满足 2s f x f xf xx 且在 0 上 x f xe 求 3 2 f x dx 2 3 x 时 2 0 x 解 当 2 2 2 x f xf xxf xxxex 则 所以 3 2 f x dx 3 22 2 2 4 x exdxe 1 三 已知 2 2 00 sin tt s xeds ytsds 求 2 2 d y dx 解 2 t dx e dt 0 22 00 sin sinsin tt t s u t ytsd 2 u duu du s 2 22 sin sin t dydy tt e dtdx 2 2 d y dx 222 222 sin 2 sincos ttt t eetett 2 万元 每件产品均需消耗某种原料2000公斤12000公斤 文两种产品各生产多 限用高等数学的方法 解 求函数在 四 设某工厂生产甲 乙两种产品 产量分别为x件和y件 利润函数为 22 61642L x yxxyy 已知生产这两种产品时 现有该原料 少件时总利润最大 最大利润为多少 22 61642L x yxxyy 06xy 下的最大值 解出 L x y的惟一驻点为且 设 令解得唯一可能的极值点 3 2 0326 求应满足的条件 解 设 a b1 0 1 0 log b a f xxx 1ln ln b bxa fx xa 驻点 1 ln b x ba 当 0 0 xx f x 0 xx 时 0fx f x单减 0 f x是最大值 又 所以即有 0 0 lim lim xx f x 0 0f x ln ln 1 0ln ln 1 ln ba ba aba 所以应满足 a b 1 0lna lnbbe 七 设 0121 71 1 2 1 2 21 nn aaaaa n n 证明当1x 时幂级数收敛 并求其和 函数 解 0 n n n a x S x 1 2 limlim1 1 1 n nn n an r an 所以当1x 1x 2 22 64bc 解得6 24 8abc 六 10 分 设曲面 222 222 1 xyz abc 上的点 x y z处的切平面为 计算曲面积分 1dS 其中 是 坐标原点到 的距离 解 切平面方程为 222 1 xXyYzZ abc 故 22 444 1 2 xyz abc 设为中的部分 为在 1 0z xy D 1 xoy平面上的投影 则 1dS 1 222 444 2 xyz dS abc 2222 44222 22 22 1 1 2 1 xy D xyxy abcab cd xy ab xdy 而 2 21 3 4 2 2 222 00 22 2 cos 3 1 1 xy D x abrb a dxdyddr aa xyr ab 2 21 3 4 2 2 222 00 22 2 sin 3 1 1 xy D y abra b dxdyddr bb xyr ab 22 21 222 2 22 22 00 22 1 1 12 1 3 1 xy D xy ab cab dxdydrr dr cc xy ab 所以 1dS 222 2224111 2 3333 baab cabc abcabc 2 七 10 分 设函数在 0上连续且单调增加 证明不等式 f x 1 11 00 2 f x dxxf x dx 证明 在 0上有 设 1 xyf xf y 0 01 01Dxy 则 D xyf xf y dxdy 0 而 DD xyf xf y dxdyxf xyf yxf yyf x dxdy 11 00 2 xf x dxf x dx 所以 11 00 2 f x dxxf x dx 或者 令 1111 0000 Ixdxf x dxdx xf x dx 则 1 2 D Ixf yyf xxf xyf y dxdy 1 2 D xyf yf x dxdy0 以下两题乙组同学不做以下两题乙组同学不做 八 证明方程有且仅有三个实根 2 2xx 1 证明 令 显然 又 2 21 x f xx 0 1 0ff 2 10 5 60ff 且连续 连续函 数的零点定理知在 2 5 内至少存在一个零点 从而至少存在三个零点 f x f x f x 若有四个或四个以上的零点 则由罗尔定理知至少存在一个零点 这是不可能的 f x 3 2 ln 2 x fx 故至多有三个零点 f x 综上所述有且仅有三个零点 f x 九 10 分 1 举例说明存在通项趋于零但发散的交错级数 2 举例说明存在收敛的正项级数 但 1 n n a 1 n ao n 此处 1 o n 是当时比n 1 n 高阶的无穷小 解 1 设 22 1 1 1 11 1 nn n nn n nnn 由于 2 1 1 n n n n 收敛 2 1 1 n n 发散 所以 22 1 1 1 11 1 nn n nn n nnn 发散 2 定义 当是整数的平方时 n an 1 n a n 当不是整数的平方时 n 2 1 n a n 所以 1 n ao n 而的部分和 1 n n a 2 1 1 2 n n k S k 所以 1 n n a 收敛 第十六届北京市大学生数学竞赛本科丙组试题第十六届北京市大学生数学竞赛本科丙组试题 2005 年 10 月 16 日 上午 9 00 11 30 准考证号 姓名 学校 一 填空题 每题 3 分 满分 30 分 1 设函数满足 yy x 2 1 x yxyx ye 且 0 1 y 若 2 0 lim x y xx a x 则 a 解 应填 1 由题设 于是 0 0 1yy 0 2 y 所以 2 00 11 limlim 0 1 22 xx y xxy x ay xx 2 已知 x eb f x xa xb 在处为无穷间断点 在xe 1x 处为可去间断点 则 b 解 应填e 由题意知必有1 abe 或 1ae b 当时 1 ab e 1 lim lim 1 xxe e f xf x e 1 当时 ae b 1 lim lim xxe f xf x 3 设满足 zf x y 2z xy x y 且 2 0 0 f xxfyy 则 f x y 解 应填 222 1 2 x yxyxy 由题设有 2 22 11 0 11 222 x zy 2 xyC xzx yxyC x dxC x y 22 12 0 0 0 x f xxC x dxC x 22 0 0 0fyyCyy C 4 已知函数 1 22 0 31 f xxxfx d x 则 f x 解 应 填 2 33 1xx 或 2 3 31 2 xx 令 1 0 Af x dx 则 2 31f xxx A 于 是 2222 961 1 2 fxxAxxAx 方程两端积分可得 2 2 323 3 AAAA 或 3 2 A 5 设 则 22 r Dxyr 2 22 2 0 1 limcos r xy r D exy d r xdy 解 应填 由积分中值定理 r D 使得 2222 2 cos cos r xy D exy dxdye r 于是原式 22 0 limcos r e 6 已知 0 1 limln 14 211 cos x x f x x 则 3 0 lim x f x x 解 应填2l 因为 n2 3 000 2 1 2 limln 1limlimlim4 1 211 cos 21 1 cos ln2 ln2 2 xx xxx f xf xf xf x xx xx 0 x x 故 3 0 lim2ln2 x f x x 7 设 5 1 x f xxe 则 10 1 f 解 应填 1 10 9 8 76e 1 30240e 5 1 x f xxe 51115 0 1 1 1 n xn n xeeex n 10 5 1 1 1 10 5 f e 于是 10 1 f 1 10 9 8 76e 1 30240e 8 sin 2 4 2 00 1 xt d u dudt dx 解 应填 4 cos1 sinxx sin 2 4 2 00 1 xt d u dudt dx sin 4 0 1 x d u du dx 4 cos1 sinxx 9 若 f x fx x 且 则 1 fa 2 f 解 应填2 a 因为 1 ln lnln f xfx fxf xxC xf xx f xCx 由得C 所以 1 fa a 2 2fa 10 设或 则级数0 x 1x 1 1 1 12 ln 1 12 1 n nxnx nxnx 的和为 解 应填ln 2 因为 1 1 1 1 2 ln 1 1 2 1 n nxnx nxnx 1 1 1 11 lnln limlnln2 1 2 1 1 21 2 n n nxnxnx nxnxnx 二 10 分 设可导 且 f x 32 cos4 sin6cosx fx dxxxxxxC 求 f x 解 因为 32 cos4 sin6cosx fx dxxxxxxC 所以 32 2sin2 cossinx fxxxxxx 32 2sin2cossin xxx fx xxx 所以 32 2sin2cossin xxx f xdxdxdx xxx 222 sincossinsincosxxxxx dxdxC xxxxx 三 10 分 设函数 11 11 yf x xx 2 作函数图形并填写下表 解 单增区间 0 1 2 单减区间 0 1 2 最大值 4 3 最小值 无 极大值 4 3 极小值 1 拐点 无 四 10 分 设是 上的连续非负函数 且 f x 4 0 sin x f xf xt dt x求在区间 f x 0 上 的平均值 解 令xtu 则 00 xx f xt dtf u du 记 0 x F xf u d u 则 4 sinF x F xx 两端积分得 24 0 0 13 sin 28 Fxxdx 即 3 2 F 从而 f x在区间 0 上的平均值为 0 13 2 f x dx 五 10 分 证明方程 2 2xx1 有且仅有三个实根 证明 令 显然 又 2 21 x f xx 0 1 0ff 2 10 5 60ff 且连续 连续函 数的零点定理知在 2 5 内至少存在一个零点 从而至少存在三个零点 f x f x f x 若有四个或四个以上的零点 则由罗尔定理知至少存在一