八年级数学上册 2.5 全等三角形课件 （新版）湘教版.ppt

2 5全等三角形 如图是两组形状 大小完全相同的图形 用透明纸描出每组中的一个图形 并剪下来与另一个图形放在一起 它们完全重合吗 1 2 1 2 我发现它们可以完全重合 我们把能够完全重合的两个图形叫作全等图形 像上面能够完全重合的三角形叫 b 全等三角形 互相重合的顶点叫做对应顶点 互相重合的边叫做对应边 互相重合的角叫做对应角 记做 abc a b c 读做 abc全等于 a b c 全等用符号 表示 读作 全等于 在表示两个三角形全等时 通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上 全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应角相等 我们知道 能够完全重合的两条线段是相等的 能够完全重合的两个角是相等的 由此得到 例如 例1如图 已知 abc dcb ab 3 db 4 a 60 1 写出 abc和 dcb的对应边和对应角 2 求ac dc的长及 d的度数 解 1 ab与dc ac与db bc与cb是对应边 a与 d abc与 dcb acb与 dbc是对应角 2 ac与db ab与dc是全等三角形的对应边 ac db 4 dc ab 3 a与 d是全等三角形的对应角 d a 60 思考 如果已知两个三角形有两边一角对应相等时 应分为几种情形讨论 边 角 边 边 边 角 角夹在两条边的中间 形成两边夹一角 角不夹在两边的中间 形成两边一对角 边 角 边 角夹在两条边的中间 形成两边夹一角 做一做 已知两条线段和一个角 以这两条线段为边 以这个角为这两条边的夹角 画一个三角形 45 6cm 3cm 120 步骤 1 画一线段ab 使它等于4cm 2 画 mab 45 3 在射线am上截取ac 3cm 4 连结bc abc即为所求 a b m c 4cm 45 3cm 请同学们把画好的三角形剪下来 并和同桌进行比较 两人的三角形全等吗 小组长把本组剪好的三角形收齐并进行比较 所有的三角形全等吗 由此得到判定两个三角形全等的基本事实 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 通常可简写成 边角边 或 sas 注意 边角边定理中的角是指两边的夹角 用几何语言表达为 在 abc与 def中 ab de b ebc ef abc def sas 例2已知 如图 ab和cd相交于o 且ao bo co do 求证 aco bdo aco bdo sas 1 如图 将两根钢条aa 和bb 的中点o连在一起 使钢条可以绕点o自由转动 就可做成测量工件内槽宽度的工具 卡钳 只要量出a b 的长 就得出工件内槽的宽ab 这是根据什么道理呢 解 abo a b o ab a b 2 如图 ad bc ad bc 问 adc和 cba是全等三角形吗 为什么 解 ad bc adc cba dac bca 又ad bc ac公共 3 已知 如图 ab ac 点e f分别是ac ab的中点 求证 be cf 解 ab ac 且e f分别是ac ab中点 abe acf af ae 又 a公共 be cf 如图 在 abc和中 如果bc b b c c 你能通过平移 旋转和轴反射等变换使 abc的像与重合吗 那么 abc与全等吗 探究 类似于基本事实 sas 的探究 同样地 我们可以通过平移 旋转和轴反射等变换使 abc的像与 a b c 重合 因此 abc a b c 由此得到判定两个三角形全等的基本事实 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 通常可简写成 角边角 或 asa 例3已知 如图 点a f e c在同一条直线上 ab dc ab cd b d 求证 abe cdf 证明 ab dc a c 在 abe和 cdf中 abe cdf asa 例4如图 为测量河宽ab 小军从河岸的a点沿着和ab垂直的方向走到c点 并在ac的中点e处立一根标杆 然后从c点沿着与ac垂直的方向走到d点 使d e b恰好在一条直线上 于是小军说 cd的长就是河的宽 你能说出这个道理吗 图3 35 b e c d a c 90 ae ce aeb ced 对顶角相等 aeb ced asa ab cd 全等三角形的对应边相等 因此 cd的长就是河的宽度 1 如图 工人师傅不小心把一块三角形玻璃打碎成三块 现要到玻璃店重新配一块与原来一样的三角形玻璃 只允许带其中的一块玻璃碎片去 请问应带哪块玻璃碎片去 为什么 2 已知 如图 abc cf 分别是 acb和的平分线 求证 证明 abc a b c a a acb a c b ac a c 证明 cf c f 又cf c f 分别是 acb和 a c b 的平分线 acf a c f acf a c f 在 abc和中 a a b b c c 又 b b abc a b c asa 由此得到判定两个三角形全等的定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 通常可简写成 角角边 或 aas 例5已知 如图 b d 1 2 求证 abc adc 证明 1 2 acb acd 同角的补角相等 在 abc和 adc中 abc adc aas 例6已知 如图 点b f c e在同一条直线上 ac fd a d bf ec 求证 abc def 证明 ac fd acb dfe bf ec bf fc ec fc 即bc ef 在 abc和 def中 abc def aas 1 已知 如图 1 2 ad ae 求证 adc aeb adc aeb aas 2 已知 在 abc中 abc acb bd ac于点d ce ab于点e 求证 bd ce 证明由题意可知 bec和 bdc均为直角三角形 在rt bec和rt cdb中 abc acb bc bc rt bec rt cdb aas bec cdb 90 如图 在 abc和中 如果 那么 abc与全等吗 如果能够说明 a a 那么就可以由 边角边 得出 abc a b c 将 abc作平移 旋转和轴反射等变换 使bc的像与重合 并使点a的像与点在的两旁 abc在上述变换下的像为 由上述变换性质可知 abc 则 连接 1 2 3 4 从而 1 3 2 4 即 在和中 sas abc 由此可以得到判定两个三角形全等的基本事实 三边分别相等的两个三角形全等 通常可简写成 边边边 或 sss 例7已知 如图 ab cd bc da 求证 b d abc cda sss b d 例8已知 如图 在 abc中 ab ac 点d e在bc上 且ad ae be cd 求证 abd ace 证明 be cd be de cd de 即bd ce 在 abd和 ace中 abd ace sss 由 边边边 可知 只要三角形三边的长度确定 那么这个三角形的形状和大小也就固定了 三角形的这个性质叫作三角形的稳定性 三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用 如日常生活中的定位锁 房屋的人字梁屋顶等都采用三角形结构 其道理就是运用三角形的稳定性 根据下列条件 分别画 abc和 a b c 1 b b 45 满足上述条件画出的 abc和 a b c 一定全等吗 由此你能得出什么结论 满足条件的两个三角形不一定全等 由此得出 两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等 2 a a 80 b b 30 c c 70 满足上述条件画出的 abc和一定全等吗 由此你能得出什么结论 满足条件的两个三角形不一定全等 由此得出 三角分别相等的两个三角形不一定全等 例9已知 如图 ac与bd相交于点o 且ab dc ac db 求证 a d 证明连接bc 在 abc和 dcb中 abc dcb sss a d 例10某地在山区修建高速公路时需挖通一条隧道 为估测这条隧道的长度 如图 需测出这座山a b间的距离 结合所学知识 你能给出什么好方法吗 解选择某一合适的地点o 使得从o点能测出ao与bo的长度 这样就构造出两个三角形 连接ao并延长至a 使 连接bo并延长至b 使 连接 o a b 在 aob和中 aob sas