立体几何复习小结.doc

一、棱锥、棱柱：（一）棱柱1定义：如果一个多面体有两个面互相 ，而其余每相邻两个面的交线互相 ，这样的多面体叫做棱柱，两个互相平行的面叫做棱柱的 ，其余各面叫做棱柱的 ，两侧面的公共边叫做棱柱的 ，两个底面所在平面的公垂线段，叫做棱柱的 2性质： 侧棱 ，侧面是 ； 两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的 多边形； 过不相邻的两条侧棱的截面是 四边形3分类： 按底面边数可分为 ； 按侧棱与底面是否垂直可分为：棱柱 4特殊的四棱柱：四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体5长方体对角线的性质：长方体一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的 （二）棱锥1定义：如果一个多面体的一个面是 ，其余各面是有一个公共顶点的 ，那么这个多面体叫做棱锥，有公共顶点的各三角形，叫做棱锥的 ；余下的那个多边形，叫做棱锥的 两个相邻侧面的公共边，叫做棱锥的 ，各侧面的公共顶点，叫做棱锥的 ；由顶点到底面所在平面的垂线段，叫做棱锥的 2性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面 ，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的 3正棱锥的定义：如果一个棱锥的底面是 多边形，且顶点在底面的射影是底面的 ，这样的棱锥叫做正棱锥4正棱锥的性质： 正棱锥各侧棱 ，各侧面都是 的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高 （它叫做正棱锥的 ）； 正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个 三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影组成一个 三角形【小结归纳】柱体和锥体是高考立体几何命题的重要载体，因此，在学习时要注意以下三点1要准确理解棱柱、棱锥的有关概念，弄清楚直棱柱、正棱锥概念的内涵和外延2要从底面、侧面、棱(特别是侧棱)和截面(对角面及平行于底面的截面)四个方面掌握几何性质，能应用这些性质研究线面关系3在解正棱锥问题时，要注意利用四个直角三角形，其中分别含有九个元素(侧棱、高、侧棱与斜高在底面上的射影、侧棱与侧面与底面所成角、边心距以及底面边的一半)中的三个，已知两个可求另一个二、球：1球：与定点的距离 或 定长的点的集合2球的性质(1) 用一个平面去截一个球，截面是 (2)球心和截面圆心的连线 于截面(3) 球心到截面的距离与球半径及截面的半径有以下关系： (4) 球面被经过球心的平面截得的圆叫 被不经过球心的平面截得的圆叫 (5) 在球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧长，这个弧长叫 3球的表面积公式和体积公式：设球的半径为R，则球的表面积S ；球的体积V 【小结归纳】1因为“球”是“圆”在空间概念上的延伸，所以研究球的性质时，应注意与圆的性质类比2球的轴截面是大圆，它含有球的全部元素，所以有关球的计算，可作出球的一个大圆，化“球”为“圆”来解决问题3球心与小圆圆心的连线，垂直于小圆所在的平面，球的内部结构的计算也由此展开4计算球面上A、B两点的球面距离是一个难点，其关键是利用“AB既是小圆的弦，又是大圆的弦”这一事实，其一般步骤是：(1) 根据已知条件求出小圆的半径r和大圆的半径R，以及所对小圆圆心角；(2) 在小圆中，由r和圆心角求出AB；(3) 在大圆中，由AB和R求出大圆的圆心角；(4) 由圆心角和R，求出大圆弧长AB (即球面上A、B两点的距离)一、平面的基本性质：1公理1：如果一条直线上的_在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内用符号表示为：_2公理2：如果_，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的_用符号表示为：l且Pl3公理3：经过不在同一条直线上的三点，_公理3也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面 (1)推论1经过_，有且只有一个平面(2)推论2经过_，有且只有一个平面(3)推论3经过_，有且只有一个平面平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。（1）.证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点在线上，线在面内 ，推出点在面内）， 这样可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。（2）.证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。（3）.证共面问题一般先根据一部分条件确定一个平面，然后再证明其余的也在这个平面内，或者用同一法证明两平面重合一、填空题1下列命题：书桌面是平面；8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；有一个平面的长是50 m，宽是20 m；平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念其中正确命题的个数为_2若点M在直线b上，b在平面内，则M、b、之间的关系用符号可记作_3已知平面与平面、都相交，则这三个平面可能的交线有_条4已知、为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是_(填序号)Aa，A，Ba，Ba；M，M，N，NMN；A，AA；A、B、M，A、B、M，且A、B、M不共线、重合5空间中可以确定一个平面的条件是_(填序号)两条直线； 一点和一直线；一个三角形； 三个点6空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有_个7把下列符号叙述所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上(1)AD/，a_(2)a，PD/且PD/_(3)a，aA_(4)a，c，b，abcO_8已知m，a，b，abA，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为_9下列四个命题：两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；经过空间任意三点有且只有一个平面；过两平行直线有且只有一个平面；在空间两两相交的三条直线必共面其中正确命题的序号是_二、解答题10如图，直角梯形ABDC中，ABCD，ABCD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由11如图所示，四边形ABCD中，已知ABCD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上能力提升12空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，证明三条直线必相交于一点13如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点求证：(1)C1、O、M三点共线；(2)E、C、D1、F四点共面；(3)CE、D1F、DA三线共点二、空间直线：1空间两条直线的位置关系为 、 、 2（1）相交直线 一个公共点，平行直线 没有公共点， （2）异面直线：不同在任 平面，没有公共点 （3） 两异面直线所成的角：直线a、b是异面直线，经过空间一点O分别引直线a a，b b，把直线a和b所成的 或 叫做两条异面直线a、b所成的角，其范围是 3公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 4等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两角 【小结归纳】1两异面直线所成角的作法： 平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平 行线，常常利用中位线或成比例线段引平行线； 补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的是容易作出两条异面直线所成的角2 求两条异面直线所成角的步骤：(1)找出或作出有关角的图形；(2)证明它符合定义；(3)求角3 证明两条直线异面的常用方法：反证法、定义法(排除相交或平行) 三、直线和平面平行：1直线和平面的位置关系 、 、 直线在平面内，有 公共点直线和平面相交，有 公共点直线和平面平行，有 公共点直线与平面平行、直线与平面相交称为直线在平面外2直线和平面平行的判定定理如果平面外 和这个平面内 平行，那么这条直线和这个平面平行(记忆口诀：线线平行 线面平行)3直线和平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面 ，经过 平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行(记忆口诀：线面平行 线线平行)【小结归纳】1证明直线和平面平行的方法有：(1)依定义采用反证法；(2)判定定理；(3)面面平行性质； (4)向量法 2辅助线(面)是解、证有关线面问题的关键，要充分发挥在化空间问题为平面问题的转化作用四、平面和平面平行：1两个平面的位置关系： 2两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条 直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行(记忆口诀：线面平行，则面面平行)3、两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它所有的 平行（记忆口诀：面面平行，则线线平行)4两个平行平面距离：和两个平行平面同时 的直线，叫做两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分叫做两个平面的 ，两个平行面的公垂线段的 ，叫做两个平行平面的距离 作用： 【小结归纳】1判定两个平面平行的方法：(1)定义法；(2)判定定理 2正确运用两平面平行的性质 3注意线线平行，线面平行，面面平行的相互转化：线线线面面面 例1 下面说法正确的是（ ） A. 直线平行于平面内的无数条直线，则； B. 若直线在平面外，则； C. 若直线，直线，则； D. 与两条异面直线都平行的平面有无穷多个 例2 下列说法中正确的是（ ） 若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；若一个平面内的两条内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行。 A. B. C. D. 【附加练习】M、N、P为三个不重合的平面，a、b、c为三条不同直线，则下列命题中，不正确的是（） A B CD1、如右图所示，已知P、Q是正方体的面和面ABCD的中心证明：PQ平面 2已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，如图所示，求证：平面AB1D1/平面BDC13. 如图，E、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD的中点，平面过EH分别交BC、CD于F、G求证：EH/FG. 4. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1,AA1=2,M点是BC的中点，N点是AA1的中点. 求证：MN平面A1CD五、直线和平面垂直：1直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面的 直线垂直，那么这条直线和这个平面互相垂直2直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的 直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面3直线和平面垂直性质：若a，b则 ；若a，b则 ；若a，a则 过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条 它们的作用： 【小结归纳】线面垂直的判定方法：(1) 线面垂直的定义；(2)判定定理；(3) 面面垂直的性质；(4) 面面平行的性质：若，a则a 。六、两个平面垂直：1.二面角：从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角 二面角的平面角：以二面角的棱上 一点为端点，在两个面内分别作 棱的两条射线，这两条 射线所成的角叫做二面角的平面角，其范围是 二面角的表示： 二面角的画法： 2 两个平面垂直的定义：如果两个平面相交所成二面角为 二面角，则这两个平面互相垂直 作用： 3 两个平面垂直的判定：如果一个平面 有一条直线 另一个平面，则这两个平面互相垂直 作用： 4 两个平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面 的垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面 作用： 【小结归纳】 1平面角的作法： 定义法； 三垂线法； 垂面法 2二面角计算，一般是作出平面角后，通过解三角形求出其大小3.在证明两平面垂直时，一般方法是从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助