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文科立体几何大题复习一解答题（共12小题）1如图1，在正方形ABCD中，点，E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，点G，R分别在线段DH，HB上，且将AED，CFD，BEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，B，C重合于点P，如图2所示（1）求证：GR平面PEF；（2）若正方形ABCD的边长为4，求三棱锥PDEF的内切球的半径2如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD是菱形，BAD=60，AB=2，PD=，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点（）证明：平面EAC平面PBD；（）若PD平面EAC，求三棱锥PEAD的体积3如图，在四棱锥中PABCD，AB=BC=CD=DA，BAD=60，AQ=QD，PAD是正三角形（1）求证：ADPB；（2）已知点M是线段PC上，MC=PM，且PA平面MQB，求实数的值4如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点（）求证：ACSD；（）若SD平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由5如图所示，ABC所在的平面与菱形BCDE所在的平面垂直，且ABBC，AB=BC=2，BCD=60，点M为BE的中点，点N在线段AC上（）若=，且DNAC，求的值；（）在（）的条件下，求三棱锥BDMN的体积6如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC，且侧面BB1C1C是菱形，B1BC=60（）求证：AB1BC；（）若ABAC，AB1=BB1，且该三棱柱的体积为2，求AB的长7如图1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中点，将ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥D1ABCE，其中平面D1AE平面ABCE（1）证明：BE平面D1AE；（2）设F为CD1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使得MF平面D1AE，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由8如图，已知多面体ABCDEF中，ABD、ADE均为正三角形，平面ADE平面ABCD，ABCDEF，AD：EF：CD=2：3：4（）求证：BD平面BFC；（）若AD=2，求该多面体的体积9如图，在四棱锥中PABCD，底面ABCD为边长为的正方形，PABD（）求证：PB=PD；（）若E，F分别为PC，AB的中点，EF平面PCD，求三棱锥的DACE体积10如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面ABCD（）证明：平面AEC平面BED；（）若ABC=120，AEEC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积11如图，四边形ABCD是正方形，DE平面ABCD，AFDE，AF=ED=1（）求二面角EACD的正切值；（）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM平面BEF，并证明你的结论12如图，在四棱锥PABCD中，AB平面BCP，CDAB，AB=BC=CP=BP=2，CD=1（1）求点B到平面DCP的距离；（2）点M为线段AB上一点（含端点），设直线MP与平面DCP所成角为，求sin的取值范围文科立体几何大题复习参考答案与试题解析一解答题（共12小题）1如图1，在正方形ABCD中，点，E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，点G，R分别在线段DH，HB上，且将AED，CFD，BEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，B，C重合于点P，如图2所示（1）求证：GR平面PEF；（2）若正方形ABCD的边长为4，求三棱锥PDEF的内切球的半径【解答】证明：（）在正方形ABCD中，A、B、C均为直角，在三棱锥PDEF中，PE，PF，PD三条线段两两垂直，PD平面PEF，=，即，在PDH中，RGPD，GR平面PEF解：（）正方形ABCD边长为4，由题意PE=PF=2，PD=4，EF=2，DF=2，SPEF=2，SPFD=SDPE=4，=6，设三棱锥PDEF的内切球半径为r，则三棱锥的体积：=，解得r=，三棱锥PDEF的内切球的半径为2如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD是菱形，BAD=60，AB=2，PD=，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点（）证明：平面EAC平面PBD；（）若PD平面EAC，求三棱锥PEAD的体积【解答】（）证明：PD平面ABCD，AC平面ABCD，ACPD四边形ABCD是菱形，ACBD，又PDBD=D，AC平面PBD而AC平面EAC，平面EAC平面PBD（）解：PD平面EAC，平面EAC平面PBD=OE，PDOE，O是BD中点，E是PB中点取AD中点H，连结BH，四边形ABCD是菱形，BAD=60，BHAD，又BHPD，ADPD=D，BH平面PAD，=3如图，在四棱锥中PABCD，AB=BC=CD=DA，BAD=60，AQ=QD，PAD是正三角形（1）求证：ADPB；（2）已知点M是线段PC上，MC=PM，且PA平面MQB，求实数的值【解答】证明：（1）如图，连结BD，由题意知四边形ABCD为菱形，BAD=60，ABD为正三角形，又AQ=QD，Q为AD的中点，ADBQ，PAD是正三角形，Q为AD中点，ADPQ，又BQPQ=Q，AD平面PQB，又PB平面PQB，ADPB解：（2）连结AC，交BQ于N，连结MN，AQBC，PN平面MQB，PA平面PAC，平面MQB平面PAC=MN，根据线面平行的性质定理得MNPA，综上，得，MC=2PM，MC=PM，实数的值为24如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点（）求证：ACSD；（）若SD平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由【解答】解：（）连BD，设AC交BD于O，由题意SOAC，在正方形ABCD中，ACBD，所以AC面SBD，所以ACSD（）若SD平面PAC，则SDOP，设正方形ABCD的边长为a，则SD=，OD=，则OD2=PDSD，可得PD=，故可在SP上取一点N，使PN=PD，过N作PC的平行线与SC的交点即为E，连BN在BDN中知BNPO，又由于NEPC，故平面BEN面PAC，得BE面PAC，由于SN：NP=2：1，故SE：EC=2：15如图所示，ABC所在的平面与菱形BCDE所在的平面垂直，且ABBC，AB=BC=2，BCD=60，点M为BE的中点，点N在线段AC上（）若=，且DNAC，求的值；（）在（）的条件下，求三棱锥BDMN的体积【解答】解：（）取BC的中点O，连接ON，OD，四边形BCDE为菱形，BCD=60，DOBC，ABC所在的平面与菱形BCDE所在平面垂直，DO平面ABC，AC平面ABC，DOAC，又DNAC，且DNDO=D，AC平面DON，ON平面DON，ONAC，由O为BC的中点，AB=BC，可得，即=3；（）由平面ABC平面BCDE，ABBC，可得AB平面BCDE，由，可得点N到平面BCDE的距离为，由菱形BCDE中，BCD=60，点M为BE的中点，可得DMBE，且，BDM的面积，三棱锥NBDM的体积又VNBDM=VBDMN，三棱锥BDMN的体积为6如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC，且侧面BB1C1C是菱形，B1BC=60（）求证：AB1BC；（）若ABAC，AB1=BB1，且该三棱柱的体积为2，求AB的长【解答】解：（I）取BC中点M，连结AM，B1M，AB=AC，M是BC的中点，AMBC，侧面BB1C1C是菱形，B1BC=60，B1MBC，又AM平面AB1M，B1M平面AB1M，AMB1M=M，BC平面AB1M，AB1平面AB1M，BCAB1（II）设AB=x，则AC=x，BC=x，M是BC的中点，AM=，BB1=，B1M=，又AB1=BB1，AB1=，AB12=B1M2+AM2，B1MAM由（I）知B1MBC，AM平面ABC，BC平面ABC，AMBC=M，B1M平面ABC，V=，x=2，即AB=27如图1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中点，将ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥D1ABCE，其中平面D1AE平面ABCE（1）证明：BE平面D1AE；（2）设F为CD1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使得MF平面D1AE，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【解答】（1）证明：连接BE，ABCD为矩形且AD=DE=EC=2，AE=BE=2，AB=4，AE2+BE2=AB2，BEAE，又D1AE平面ABCE，平面D1AE平面ABCE=AE，BE平面D1AE（2）=取D1E中点N，连接AN，FN，FNEC，ECAB，FNAB，且FN=AB，M，F，N，A共面，若MF平面AD1E，则MFANAMFN为平行四边形，AM=FN=8如图，已知多面体ABCDEF中，ABD、ADE均为正三角形，平面ADE平面ABCD，ABCDEF，AD：EF：CD=2：3：4（）求证：BD平面BFC；（）若AD=2，求该多面体的体积【解答】解：（）因为ABCD，所以ADC=120，ABD为正三角形，所以BDC=60设AD=a，因为AD：CD=2：4=1：2，所以CD=2a，在BDC中，由余弦定理，得，所以BD2+BC2=CD2，所以BDBC取AD的中点O，连接EO，因为ADE为正三角形，所以EOAD，因为平面ADE平面ABCD，所以EO平面ABCD取BC的中点G，连接FG，OG，则，且EFOG，所以四边形OEFG为平行四边形，所以FGEO，所以FG平面ABCD，所以FGBD因为FGBC=G，所以BD平面BFC（）过G作直线MNAD，延长AB与MN交于点M，MN与CD交于点N，连接FM，FN因为G为BC的中点，所以MG=OA且MGOA，所以四边形AOGM为平行四边形，所以AM=OG同理DN=OG，所以AM=OG=DN=EF=3又ABCD，所以AMDN，所以AMDNEF，所以多面体MNFADE为三棱柱过M作MHAD于H点，因为平面ADE平面ABCD，所以MH平面ADE，所以线段MH的长即三棱柱MNFADE的高，在AMH中，所以三棱柱MNFADE的体积为因为三棱锥FBMG与FCNG的体积相等，所以所求多面体的体积为9如图，在四棱锥中PABCD，底面ABCD为边长为的正方形，PABD（）求证：PB=PD；（）若E，F分别为PC，AB的中点，EF平面PCD，求三棱锥的DACE体积【解答】解：（）连接AC交BD于点O，底面ABCD是正方形，ACBD且O为BD的中点又PABD，PAAC=A，BD平面PAC，又PO平面PAC，BDPO又BO=DO，RtPBORtPDO，PB=PD（）取PD的中点Q，连接AQ，EQ，则EQCD，又AF，AFEQ为平行四边形，EFAQ，EF平面PCD，AQ平面PCD，PD平面PCD，AQPD，Q是PD的中点，AP=AD=AQ平面PCD，CD平面PCD，AQCD，又ADCD，又AQAD=A，CD平面PADCDPA，又BDPA，CDBD=D，PA平面ABCD故三棱锥DACE的体积为10如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面ABCD（）证明：平面AEC平面BED；（）若ABC=120，AEEC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积【解答】证明：（）四边形ABCD为菱形，ACBD，BE平面ABCD，ACBE，则AC平面BED，AC平面AEC，平面AEC平面BED；解：（）设AB=x，在菱形ABCD中，由ABC=120，得AG=GC=x，GB=GD=，BE平面ABCD，BEBG，则EBG为直角三角形，EG=AC=AG=x，则BE=x，三棱锥EACD的体积V=，解得x=2，即AB=2，ABC=120，AC2=AB2+BC22ABBCcosABC=4+42=12，即AC=，在三个直角三角形EBA，EBG，EBC中，斜边AE=EC=ED，AEEC，EAC为等腰三角形，则AE2+EC2=AC2=12，即2AE2=12，AE2=6，则AE=，从而得AE=EC=ED=，EAC的面积S=3，在等腰三角形EAD中，过E作EFAD于F，则AE=，AF=，则EF=，EAD的面积和ECD的面积均为S=，故该三棱锥的侧面积为3+211如图，四边形ABCD是正方形，DE平面ABCD，AFDE，AF=ED=1（）求二面角EACD的正切值；（）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM平面BEF，并证明你的结论【解答】（本小题满分12分）解：（）设ACBD=O，连结OE，由ACOD，ACDE，ODDE=D，得ACOE，二面角EACD的平面角为EOD，AF=ED=1，tanEOD=，二面角EACD的正切值为（）时，AM平面BEF，理由如下：作MNED，则，AFDE，DE=3AF，AMNF是平行四边形，AMFN，AM平面BEF，FN平面BEF，AM平