【全程复习方略】高中数学 2.3.2.2双曲线方程及性质的应用课时作业 新人教A版选修21 (1).doc

双曲线方程及性质的应用(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014重庆高二检测)已知双曲线x2-y2=2,过定点p(2,0)作直线l与双曲线有且只有一个交点,则这样的直线l的条数为()a.1b.2c.3d.4【解析】选b.因为点p(2,0)在双曲线含焦点的区域内,故只有当直线l与渐近线平行时才会与双曲线只有一个交点,故这样的直线只有两条.【变式训练】过双曲线x2-y28=1的右焦点作直线与双曲线交于a,b两点,若|ab|=16,这样的直线有()a.一条b.两条c.三条d.四条【解析】选c.过右焦点且垂直于x轴的弦长为16,因为|ab|=16,所以当l与双曲线的两交点都在右支上时只有一条.又因为实轴长为2,162,所以当l与双曲线的两交点在左、右两支上时应该有两条,共三条.2.(2014长春高二检测)已知双曲线e的中心在原点,f(3,0)是e的焦点,过f的直线l与e相交于a,b两点,且ab中点为n(-12,-15),则e的方程为()a.x23-y26=1b.x24-y25=1c.x26-y23=1d.x25-y24=1【解析】选b.由已知条件易得直线l的斜率k=-15-0-12-3=1,设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),a(x1,y1),b(x2,y2),则x12a2-y12b2=1,x22a2-y22b2=1,两式相减并结合x1+x2=-24,y1+y2=-30得y1-y2x1-x2=4b25a2,从而4b25a2=1,又因为a2+b2=c2=9,故a2=4,b2=5,所以e的方程为x24-y25=1.【拓展延伸】解决与双曲线弦的中点有关问题的两种方法(1)根与系数的关系法:联立直线方程和双曲线方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.(2)点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,将端点坐标分别代入双曲线方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系,可求斜率k=y1-y2x1-x2.这是解决与中点有关问题的简便而有效的方法.求弦中点轨迹问题,此方法依然有效.3.(2014郑州高二检测)双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别是f1,f2,过f1作倾斜角为30的直线交双曲线右支于m点,若mf2x轴,则双曲线的离心率为()a.6b.3c.4d.33【解题指南】将x=c代入双曲线方程求出点m的坐标,通过解直角三角形列出三参数a,b,c的关系,求出离心率的值.【解析】选b.将x=c代入双曲线的方程得y=b2a,即mc,b2a,在mf1f2中,tan30=b2a2c,即c2-a22ac=33,解得e=ca=3.4.f1,f2是双曲线x23-y2=1的两个焦点,过右焦点f2作倾斜角为4的弦ab,则f1ab的面积为()a.6b.2c.233d.433【解析】选b.由双曲线x23-y2=1,得a2=3,b2=1,c2=a2+b2=4,所以c=2,f1(-2,0),f2(2,0),直线ab:y=x-2.由y=x-2,x23-y2=1得2x2-12x+15=0.设a(x1,y1),b(x2,y2),则x1+x2=6,x1x2=152,所以|ab|=2|x1-x2|=2(x1+x2)2-4x1x2=23.又f1到直线ab:x-y-2=0的距离为:d=|-2-2|2=22,所以sf1ab=12d|ab|=122223=26.5.(2014攀枝花高二检测)p是双曲线x29-y216=1右支上的一点,m,n分别是圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1上的点,则|pm|-|pn|的最大值为()a.9b.8c.7d.6【解析】选a.由双曲线x29-y216=1,知a2=9,b2=16,所以c2=25,所以c=5.因此双曲线左、右焦点分别是f1(-5,0),f2(5,0),由圆的方程知,两圆的圆心分别为左、右焦点,由双曲线的定义知|pf1|-|pf2|=2a=6,结合图形当m为pf1延长线与圆交点时pm最长,当n为pf2与圆交点时pn最短,此时|pm|-|pn|最大,故最大值为6+2+1=9.6.(2014天津高二检测)已知双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),过左焦点f1作斜率为33的直线交双曲线的右支于点p,且y轴平分线段f1p,则双曲线的离心率为()a.3b.5+1c.2d.2+3【解析】选a.由双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0),得左焦点f1(-c,0),则直线方程为y=33(x+c).又pf1的中点在y轴上,故p点横坐标为xp=c,代入直线y=33(x+c),得yp=233c,又点p在双曲线上,故c2a2-43c2b2=1,即c4-103a2c2+a4=0,所以e4-103e2+1=0,解得e=3或e=33(舍).二、填空题(每小题4分,共12分)7.过点a(6,1)作直线与双曲线x2-4y2=16相交于两点b,c,且a为线段bc的中点,则直线的方程为.【解题指南】根据直线经过点a(6,1),设出直线方程y-1=k(x-6);根据点a(6,1)为线段bc的中点,应用中点坐标公式,确定b,c的坐标关系;应用“点差法”确定直线的斜率.【解析】依题意可得直线的斜率存在,设为k(k0),则直线的方程为y-1=k(x-6).设b(x1,y1),c(x2,y2),因为点a(6,1)为线段bc的中点,所以x1+x2=12,y1+y2=2.因为点b,c在双曲线x2-4y2=16上,所以x12-4y12=16,x22-4y22=16,由-得:(x2-x1)(x2+x1)-4(y2-y1)(y2+y1)=0,所以k=y2-y1x2-x1=x2+x14(y2+y1)=1242=32,所以经检验,直线的方程为y-1=32(x-6),即3x-2y-16=0.答案:3x-2y-16=08.(2014福州高二检测)设双曲线x29-y216=1的右顶点为a,右焦点为f.过点f且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点b,则afb的面积为.【解题指南】由双曲线的方程可得a,b的值,进而可得c的值,得到a,f两点的坐标.因此可设bf的方程为y=43(x-5),与双曲线的渐近线方程联立,得到点b的坐标,即可算出afb的面积.【解析】根据题意,得a2=9,b2=16,所以c=a2+b2=5,且a(3,0),f(5,0).因为双曲线x29-y216=1的渐近线方程为y=43x.所以直线bf的方程为y=43(x-5).若直线bf的方程为y=43(x-5),与渐近线y=-43x交于点b52,-103,此时safb=12|af|yb|=122103=103;若直线bf的方程为y=-43(x-5),与渐近线y=43x交于点b52,103.此时safb=12|af|yb|=122103=103.因此,afb的面积为103.答案:1039.(2014景德镇高二检测)已知双曲线c:x2a2-y2b2=1(a0,b0),若存在过右焦点f的直线与双曲线c相交于a,b两点,且af=3bf,则双曲线离心率的最小值为.【解析】因为过右焦点的直线与双曲线c相交于a,b两点且af=3bf,故直线与双曲线相交只能是如图所示的情况,即a点在双曲线的左支,b点在右支,设a(x1,y1),b(x2,y2),右焦点f(c,0),因为af=3bf,所以c-x1=3(c-x2),3x2-x1=2c,由图可知,x1-a,x2a,所以-x1a,3x23a,故3x2-x14a,即2c4a,ca2,即e2,所以离心率的最小值为2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014遵义高二检测)设双曲线c:x2a2-y2=1(a0)与直线l:x+y=1交于两个不同的点a,b,求双曲线c的离心率e的取值范围.【解析】由c与l相交于两个不同的点,可知方程组x2a2-y2=1,x+y=1有两组不同的解,消去y,并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0,所以1-a20,4a4+8a2(1-a2)0,解得0a62,且e2,即双曲线c的离心率e的取值范围为62,2(2,+).【举一反三】本题若加上条件“设直线l与y轴交于点p,且pa=512pb”.求a的值.【解析】设a(x1,y1),b(x2,y2),且p(0,1),因为pa=512pb,所以(x1,y1-1)=512(x2,y2-1),得x1=512x2.由于x1,x2是方程的两个根,所以x1+x2=-2a21-a2,x1x2=-2a21-a2,即1712x2=-2a21-a2,512x22=-2a21-a2,消去x2,得-2a21-a2=28960,解得a=1713.11.(2014荆州高二检测)双曲线c的中点在原点,右焦点为f233,0,渐近线方程为y=3x.(1)求双曲线c的方程.(2)设直线l:y=kx+1与双曲线交于a,b两点,问:当k为何值时,以ab为直径的圆过原点?【解题指南】(1)设出双曲线方程x2a2-y2b2=1,由条件建立关于a,b的方程组求解.(2)只需根据oaob,即x1x2+y1y2=0求出k的值.【解析】(1)设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1,由焦点坐标得c=233,渐近线方程为y=bax=3x,结合c2=a2+b2得a2=13,b2=1x213-y2=1.(2)由y=kx+1,3x2-y2=1,得(3-k2)x2-2kx-2=0,由0,且3-k20,得-6k0)的中心和左焦点,点p为双曲线右支上的一点,并且p点与右焦点f2的连线垂直x轴,则线段op的长为()a.133b.393c.73d.213【解析】选b.由条件知a2+1=4,因为a0,所以a=3,又pf2x轴,把x=2代入x23-y2=1得y2=13.所以|op|=22+13=393.【举一反三】若本题条件不变时,点p是右支上任意一点,求opf1p的取值范围.【解析】设p(x0,y0),由题目可知x023-y02=1,且x03,又f1(-2,0),所以opf1p=(x0,y0)(x0+2,y0)=x02+2x0+y02=x02+2x0+x023-1=43x02+2x0-1=43x0+342-74.因为x03,所以x0=3时,opf1p最小,其值为3+23.即opf1p3+23,+).2.(2014兰州高二检测)直线y=kx+2与双曲线x2-y2=2有且只有一个交点,那么k的值是()a.k=1b.k=3c.k=1或k=3d.k=2【解析】选c.联立直线y=kx+2与双曲线x2-y2=2,消元,得:(1-k2)x2-4kx-6=0,当1-k2=0时,k=1,此时方程只有一解;当1-k20时,要满足题意,=16k2+24(1-k2)=0,即k=3.综上知:k的值是k=1或k=3.3.(2014温州高二检测)f是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一个焦点,过f作直线l与一条渐近线平行,直线l与双曲线交于点m,与y轴交于点n,若fm=12mn,则双曲线的离心率为()a.2b.3c.5d.10【解析】选b.不妨设f为右焦点,则f(c,0),直线l与直线y=bax平行,则l方程为:y=ba(x-c),设l与双曲线的交点m坐标为(x1,y1),与y轴交点坐标为n(0,y0),则fm=(x1-c,y1),mn=(-x1,y0-y1).由fm=12mn,得x1=23c,代入直线l方程得y1=-bc3a.又m在双曲线上,故23c2a2-bc3a2b2=1,解得c2=3a2,所以e=3.【变式训练】已知点f1,f2是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,过f2且垂直于x轴的直线与双曲线交于a,b两点,若abf1是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是()a.(2+1,+)b.(1,3)c.(1,1+2)d.(3,+)【解析】选c.设f2(c,0),将x=c代入双曲线方程,得y=b2a,令ac,b2a,bc,-b2a,由abf1是锐角三角形,可得tanaf1f2=b2a2c1,故b22ac,所以c2-2ac-a20,两边同除以a2可得e2-2e-10,可解得1-2e1,故1e0).对于,联立x29-y216=1,y=x+1,消y得7x2-18x-153=0,因为=(-18)2-47(-153)0,所以y=x+1是“单曲型直线”.对于,联立x29-y216=1,y=2,消y得x2=454,所以y=2是“单曲型直线”.对于,联立x29-y216=1,y=43x,整理得0=1,不成立,所以y=43x不是“单曲型直线”.对于,联立x29-y216=1,y=2x+1,消y得20x2+36x+153=0,因为=362-4201530,b0),则两条渐近线方程分别为l1:y=bax,l2:y=-bax.因为|oa|=2|fa|,所以ba=|fa|oa|=12,即c2-a2a=12,所以e=52.答案:526.(2014莆田高二检测)已知直线x=3与双曲线c:x29-y24=1的渐近线交于e1,e2两点,记oe1=e1,oe2=e2,任取双曲线上的点p,若op=ae1+be2(a,br),则下列关于a,b的表述:4ab=1;0a2+b20,b0),如图,b是右顶点,f是右焦点,点a在x轴正半轴上,且满足:|oa|,|ob|,|of|成等比数列,过f作双曲线c在第一、三象限的渐近线的垂线l,垂足为p.(1)求证:paop=pafp.(2)若l与双曲线c的左右两支分别相交于点e,d,求双曲线离心率e的取值范围.【解析】(1)双曲线的渐近线为y=bax,f(c,0),所以直线l的斜率为:-ab,所以直线l:y=-ab(x-c).由y=-ab(x-c),y=bax,得pa2c,abc,因为|oa|,|ob|,|of|成等比数列,所以xac=a2,所以xa=a2c,aa2c,0,pa=0,-abc,op=a2c,abc,fp=-b2c,abc所以paop=-a2b2c2,pafp=-a2b2c2,则paop=pafp.(2)由y=-ab(x-c),b2x2-a2y2=a2b