【全程复习方略】高中数学 3.2.2空间向量与垂直关系课时作业 新人教A版选修21 (1).doc

空间向量与垂直关系(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.若平面,的法向量分别为n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),则()a.b.c.,相交但不垂直d.以上均不正确【解析】选c.因为n1n2=2(-3)+(-3)1+5(-4)0,所以n1与n2不垂直,又2-3-315-4,所以与相交但不垂直.2.(2014青岛高二检测)如图所示,在正方体abcd-a1b1c1d1中,o是底面正方形abcd的中心,m是d1d的中点,n是a1b1的中点,则直线no,am的位置关系是()a.平行b.相交c.异面垂直d.异面不垂直【解析】选c.建立坐标系如图,设正方体的棱长为2,则a(2,0,0),m(0,0,1),o(1,1,0),n(2,1,2),no=(-1,0,-2),am=(-2,0,1),noam=0,则直线no,am的位置关系是异面垂直.3.(2014丹东高二检测)已知平面内有一个点a(2,-1,2),的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点p中,在平面内的是()a.(1,-1,1)b.1,3,32c.1,-3,-32d.-1,3,-32【解析】选b.对于选项a,pa=(1,0,1),则pan=(1,0,1)(3,1,2)=50,故排除a;对于选项b,pa=1,-4,12,则pan=1,-4,12(3,1,2)=0,故b正确,验证可知c,d均不满足pan=0.4.在正方体abcd-a1b1c1d1中,若e为a1c1的中点,则直线ce垂直于()a.acb.bdc.a1dd.a1a【解析】选b.如图所示,建立直角坐标系dxyz,设ab=1,则d(0,0,0),a(1,0,0),b(1,1,0),c(0,1,0),a1(1,0,1),e(12,12,1),所以ce=(12,-12,1),ac=(-1,1,0),bd=(-1,-1,0),a1d=(-1,0,-1),a1a=(0,0,-1),所以cebd=0,所以cebd,即cebd.5.(2014桂林高二检测)如图所示,正方体abcd-a1b1c1d1中,e,f分别在a1d,ac上,且a1e=23a1d,af=13ac,则()a.ef至多与a1d,ac之一垂直b.efa1d,efacc.ef与bd1相交d.ef与bd1异面【解析】选b.以d点为坐标原点,以da,dc,dd1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则a1(1,0,1),d(0,0,0),a(1,0,0),c(0,1,0),e13,0,13,f23,13,0,b(1,1,0), d1(0,0,1),a1d=(-1,0,-1),ac=(-1,1,0),ef=13,13,-13,bd1=(-1,-1,1),ef=-13bd1,a1def=acef=0,从而efbd1,efa1d,efac.6.下列命题中,正确命题的个数为()若n1,n2分别是平面,的法向量,则n1n2;若n1,n2分别是平面,的法向量,则n1n2=0;若n是平面的法向量,a与共面,则na=0;若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直.a.1b.2c.3d.4【解析】选c.命题中平面,可能平行,也可能重合;结合平面法向量的概念,易知命题正确.二、填空题(每小题4分,共12分)7.若向量a=(-1,2,-4),b=(2,-2,3)是平面内的两个不共线的向量,直线l的一个方向向量m=(2,3,1),则l与的位置关系是(填“垂直”“平行”“相交但不垂直”).【解析】ma=(2,3,1)(-1,2,-4)=-2+6-4=0,mb=(2,3,1)(2,-2,3)=4-6+3=10.所以l与相交但不垂直.答案:相交但不垂直8.已知点a,b,c的坐标分别为(0,1,0),(-1,0,1),(2,1,1),点p的坐标为(x,0,z),若paab,paac,则点p的坐标为.【解析】因为ab=(-1,-1,1),ac=(2,0,1),pa=(-x,1,-z),由paab=0, paac=0,得x-1-z=0,-2x-z=0,则x=13,z=-23,所以p13,0,-23.答案:13,0,-239.(2014长春高二检测)已知点p是平行四边形abcd所在的平面外一点,如果ab=(2,-1,-4),ad=(4,2,0),ap=(-1,2,-1).对于结论:apab;apad;ap是平面abcd的法向量;apbd.其中正确的是.【解析】由于apab=-12+(-1)2+(-4)(-1)=0,apad=4(-1)+22+0(-1)=0,所以正确.答案:三、解答题(每小题10分,共20分) 10.(2014广州高二检测)用向量方法证明:如果两个相交平面与第三个平面垂直,则它们的交线也与第三个平面垂直.【解析】已知:如图,=l,.求证:l.证明:设平面,的法向量分别为a,b,c,直线l的方向向量为e,则ae=0,be=0.因为a,b与e不共面,故存在实数x,y,z,使c=xa+yb+ze.因为ac,bc,所以即因为与相交,所以a与b不共线,所以所以方程组有惟一解x=0,y=0,所以c=ze,即ce,从而有l.11.(2014上海高二检测)如图,长方体abcd-a1b1c1d1中,ab=aa1=1,bc=2,m是ad中点,n是b1c1中点.(1)求证:na1cm.(2)求证:平面a1mcn平面a1bd1.【证明】以d为原点,建立空间直角坐标系dxyz.所以b(2,1,0),a1(2,0,1),d1(0,0,1),c(0,1,0),m22,0,0,n22,1,1.(1)na1=22,-1,0,cm=22,-1,0.所以na1=cm,所以na1cm.(2)方法一:d1b=(2,1,-1),mn=(0,1,1),cm=22,-1,0,所以d1bmn=0+1-1=0,d1bcm=1-1+0=0,所以d1bmn,d1bcm,又mncm=m,所以d1b平面a1mcn,又d1b平面a1bd1,所以平面a1mcn平面a1bd1.方法二:d1a1=(2,0,0),d1b=(2,1,-1),mn=(0,1,1),cm=22,-1,0.设平面a1mcn的法向量为n=(x,y,z),所以取n=(2,1,-1).设平面a1bd1的法向量为m=(x1,y1,z1),所以取m=(0,1,1),因为nm=(2,1,-1)(0,1,1)=0+1-1=0,所以nm,所以平面a1mcn平面a1bd1.【变式训练】在正三棱锥p-abc中,三条侧棱两两互相垂直,g是pab的重心,e,f分别为bc,pb上的点,且beec=pffb=12.求证:平面gef平面pbc.【证明】如图,以三棱锥的顶点p为原点,以pa,pb,pc所在直线分别作为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.令pa=pb=pc=3,则a(3,0,0),b(0,3,0),c(0,0,3),e(0,2,1),f(0,1,0),g(1,1,0),p(0,0,0),于是pa=(3,0,0),fg=(1,0,0),故pa=3fg,所以pafg.而pa平面pbc,所以fg平面pbc.又fg平面efg,所以平面efg平面pbc.【一题多解】如解析建立的空间直角坐标系,则e(0,2,1),f(0,1,0),g(1,1,0).所以ef=(0,-1,-1),eg=(1,-1,-1).设平面efg的法向量是n=(x,y,z),则有nef,neg.所以y+z=0,x-y-z=0.令y=1,得z=-1,x=0,即n=(0,1,-1).显然pa=(3,0,0)是平面pbc的一个法向量.又npa=0,所以npa,即平面pbc的法向量与平面gef的法向量互相垂直,所以平面gef平面pbc.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.已知a(3,0,-1),b(0,-2,-6),c(2,4,-2),则abc是()a.等边三角形b.等腰三角形c.直角三角形d.等腰直角三角形【解析】选c.ab=(-3,-2,-5),ac=(-1,4,-1),则abac=-3(-1)-24+5=0.所以abac,故abc为直角三角形.又|ab|ac|故选c.2.平面的一个法向量n=(0,1,-1),如果直线l平面,则直线l的单位方向向量s=()a.(0,1,-1)b.0,22,-22c.(0,2,-2)d.(0,2,-2)【解析】选b.直线l的方向向量平行于平面的法向量,故直线l的单位方向向量是s=0,22,-22.3.如图,四边形abcd为正方形,pd平面abcd,pdqa,qa=ab=12pd,则平面pqc与平面dcq的位置关系为()a.平行b.垂直c.相交但不垂直d.位置关系不确定【解析】选b.如图,以d为坐标原点,线段da的长为单位长度,射线da为x轴的正半轴建立空间直角坐标系dxyz.依题意有q(1,1,0),c(0,0,1),p(0,2,0).则dq=(1,1,0),dc=(0,0,1),pq=(1,-1,0).因为pqdq=0,pqdc=0.所以pqdq,pqdc.所以pq平面dcq.又pq平面pqc,所以平面pqc平面dcq.4.如图,以等腰直角三角形斜边bc上的高ad为折痕,把abd和acd折成互相垂直的两个平面后,某学生得出如下四个结论,abac0;abdc;bdac;平面adc的法向量和平面abc的法向量互相垂直.其中正确的个数是()a.1b.2c.3d.4【解析】选b.建立以d为坐标原点,以db,dc,da所在直线为x,y,z轴的空间坐标系,设斜边bc=2,则b(1,0,0),c(0,1,0),a(0,0,1)则ab=(1,0,-1),ac=(0,1,-1),dc=(0,1,0), bd=(-1,0,0)从而有abac=0+0+1=1,故错误,abdc=0,故正确,bdac=0,故正确,易知平面adc的一个法向量为向量bd=(-1,0,0),平面abc的法向量设为n=(x,y,z),由abn=x-z=0,acn=y-z=0,令y=1,则x=1,z=1,故n=(1,1,1),bdn=-1,故错误.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014上海高二检测)在空间直角坐标系oxyz中,已知点p(2cosx+1, 2cos2x+2,0)和点q(cosx,-1,3),其中x0,.若直线op与直线oq垂直,则x的值为.【解析】由题意得opoq.所以cosx(2cosx+1)-(2cos2x+2)=0.所以2cos2x-cosx=0.所以cosx=0或cosx=12.又x0,所以x=2或x=3.答案:2或36.(2014南京高二检测)已知向量b=(-2,1,1),点a(-3,-1,4),b(-2,-2,2).若在直线ab上,存在一点e,使得oeb(o为原点)则e点的坐标为.【解题指南】先设点e在ab上的位置,利用垂直关系建立与e点坐标有关的方程,求出点e.【解析】oe=oa+ae=oa+tab=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t),因oeb,则oeb=0,所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=95,因此存在点e,使得oeb,此时e点的坐标为-65,-145,25.答案:-65,-145,25三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014银川高二检测)已知正方体abcd-abcd中,点m,n分别在面对角线ad和面对角线bd上,并且amad=bnbd.求证:mnad.【证明】设正方体棱长为1,amad=bnbd=,ab=a,ad=b,aa=c,则mn=an-am= ab+bn-am=ab+bd-ad=a+(b-a)-(b+c)=(1-)a-c且ab=0,ac=0,bc=0,所以admn=b(1-)a-c=(1-)ba-bc=0,所以admn,所以mnad.【变式训练】在正方体abcd-a1b1c1d1中,p为dd1的中点,m为四边形abcd的中心.求证:对a1b1上任一点n,都有mnap.【证明】建立如图所示的空间直角坐标系dxyz,设正方体的棱长为1,则a(1,0,0),p0,0,12, m12,12,0,n(1,y,1).所以ap=-1,0,12,mn=12,y-12,1.所以apmn=(-1)12+0y-12+121=0,所以apmn,即对a1b1上任意一点n都有mnap.8.(2014广州高二检测)如图所示的长方体abcd-a1b1c1d1中,底面abcd是边长为2的正方形,o为ac与bd的交点,bb1=2,m是线段b1d1的中点.(1)求证:bm平面d1ac.(2)求证:d1o平面ab1c.【证明】(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则点o(1,1,0),d1(0,0,2),所以od1=(-1,-1,2),又点b(2,2,0),m(1,1,2),所以bm=(-1,-1,2),所以od1=bm,又因为od1与bm不共线,所以od1bm.又od1平面d1ac,bm平面d1ac,所以bm平面d1ac.(2)连接ob1.因为od1ob1=(-1,-1,2)(1,1,2)=0,od1ac= (-1,-1,2)(-2,2,0)=0,所以od1ob1,od1ac,即od1ob1,od1ac,又ob1ac=o,所以d1o平面ab1c.【变式训练】如图所示,在正方体abcd-a1b1c1d1中,e,f分别是bb1,d1b1的中点.求证:ef平面b1ac.【解题指南】思路一:efab1,efb1c得ef平面b1ac;思路二:求平面b1ac的法向量n证明efn从而ef平面b1ac.【证明】设ab=a,aa1=b,ad=c,则ef=eb1+b1f=12(bb1+b1d1)=12(aa1+bd