【全程复习方略】高中数学 3.2.3空间向量与空间角课时作业 新人教A版选修21 (1).doc

空间向量与空间角(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.在矩形abcd中,ab=1,bc=2,pa平面abcd,pa=1,则pc与平面abcd所成角是()a.30b.45c.60d.90【解析】选a.建立如图所示的空间直角坐标系,则p(0,0,1),c(1,2,0),pc=(1,2,-1),平面abcd的一个法向量为n=(0,0,1),所以cos=-12,所以=120,所以斜线pc与平面abcd的法向量所在直线所成角为60,所以斜线pc与平面abcd所成角为30.2.(2014重庆高二检测)设abcd,abef都是边长为1的正方形,fa平面abcd,则异面直线ac与bf所成的角等于()a.45b.30c.90d.60【解析】选d.以b为原点,ba所在直线为x轴,bc所在直线为y轴,be所在直线为z轴建立空间直角坐标系,则a(1,0,0),c(0,1,0),f(1,0,1),所以ac=(-1,1,0),bf=(1,0,1).所以cos=-12.所以=120.所以ac与bf所成的角为60.3.把正方形abcd沿对角线ac折起成直二面角,点e,f分别是ad,bc的中点,o是正方形中心,则折起后,eof的大小为()a.3b.2c.23d.43【解析】选c.oe=12(oa+od),of=12(ob+oc),所以oeof=14(oaob+oaoc+odob+odoc)=-14|oa|2.又|oe|=|of|=22|oa|,所以cos=-14|oa|212|oa|2=-12.所以eof=23.4.在直角坐标系中,已知a(2,3),b(-2,-3),沿x轴把直角坐标系折成平面角为的二面角a-ox-b,使aob=90,则cos为()a.-19b.19c.49d.-49【解析】选c.过a,b分别作x轴垂线,垂足分别为a,b.则aa=3,bb=3,ab=4,oa=ob=13,折后aob=90,所以ab=oa2+ob2=26.由ab=aa+ab+bb,得|ab|2=|aa|2+|ab|2+|bb|2+2|aa|bb|cos(-).所以26=9+16+9+233cos(-),所以cos=49.5.(2014天津高二检测)在正方体abcd-a1b1c1d1中,e是c1c的中点,则直线be与平面b1bd所成的角的正弦值为()a.-105b.105c.-155d.155【解析】选b.建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则d(0,0,0),b(2,2,0),b1(2,2,2),e(0,2,1).所以bd=(-2,-2,0),bb1=(0,0,2),be=(-2,0,1).设平面b1bd的法向量为n=(x,y,z).因为nbd,nbb1,所以-2x-2y=0,2z=0.所以x=-y,z=0.令y=1,则n=(-1,1,0).所以cos= =105,设直线be与平面b1bd所成角为,则sin=|cos|=105.6.如图,平面abcd平面abef,四边形abcd是正方形,四边形abef是矩形,且af=12ad=a,g是ef的中点,则gb与平面agc所成角的正弦值为()a.66b.33c.63d.23【解析】选c.如图,以a为原点建立空间直角坐标系,则a(0,0,0),b(0,2a,0),c(0,2a,2a),g(a,a,0), f(a,0,0),ag=(a,a,0),ac=(0,2a,2a),bg=(a,-a,0),bc=(0,0,2a),设平面agc的法向量为n1=(x1,y1,1),由ax1+ay1=0,2ay1+2a=0x1=1,y1=-1n1=(1,-1,1).sin=2a2a3=63.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014唐山高二检测)平面的一个法向量为(1,0,-1),平面的一个法向量为(0,-1,1),则平面与平面所成二面角的大小为.【解析】设u=(1,0,-1),v=(0,-1,1),平面与平面所成二面角为,则cos=|cos|=|-122|=12.所以=3或23.答案:3或238.正方体abcd-a1b1c1d1中,e,f分别是a1d1,a1c1的中点,则异面直线ae与cf所成角的余弦值为 .【解析】设正方体棱长为2,分别取da,dc,dd1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系,则a(2,0,0),c(0,2,0),e(1,0,2),f(1,1,2),则ae=(-1,0,2),cf=(1,-1,2),所以|ae|=5,|cf|=6.aecf=-1+0+4=3.又aecf=|ae|cf|cos=30cos,所以cos=3010,所以所求角的余弦值为3010.答案:3010【变式训练】已知在棱长为a的正方体abcd-abcd中,e是bc的中点.则直线ac与de所成角的余弦值为.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则a(0,0,a),c(a,a,0),d(0,a,0), ea,a2,0,ac=(a,a,-a),de=a,-a2,0,所以cos=acde|ac|de|=1515.即直线ac与de所成角的余弦值为1515.答案:15159.(2014福州高二检测)在三棱锥p-abc中,pa平面abc,bac=90,d,e,f分别是棱ab,bc,cp的中点,ab=ac=1,pa=2,则直线pa与平面def所成角的正弦值为.【解析】以a为原点,ab,ac,ap所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,由ab=ac=1,pa=2,得a(0,0,0),b(1,0,0),c(0,1,0),p(0,0,2), d12,0,0, e12,12,0,f0,12,1,所以ap=(0,0,2),de=0,12,0,df=-12,12,1,设平面def的法向量n=(x,y,z).则由得y=0,x=2z,取z=1,则n=(2,0,1),设pa与平面def所成角为,则sin=55.答案:55【变式训练】在正方体abcd-a1b1c1d1中,直线bc1与平面a1bd所成角的余弦值是.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,设棱长为1,则b(1,1,0),c1(0,1,1),a1(1,0,1),d(0,0,0),bc1=(-1,0,1), a1d=(-1,0,-1),bd=(-1,-1,0),设平面a1bd的一个法向量为n=(1,x,y),设平面a1bd与bc1所成的角为,na1d,nbd,所以na1d=0,nbd=0,所以-1-y=0,-1-x=0,解得x=-1,y=-1.所以n=(1,-1,-1),则cos=-63,所以sin=63,所以cos=1-632=33.答案:33三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014临沂高二检测)四棱锥p-abcd中,底面abcd为矩形,pd底面abcd,ad=pd=2,cd=4,e,f分别为cd,pb的中点.(1)求证:ef平面pab.(2)求直线ae与平面pab所成的角.【解析】(1)建立如图所示空间直角坐标系dxyz,则e(0,-2,0),f(1,-2,1),p(0,0,2),a(2,0,0),b(2,-4,0),所以ef=(1,0,1),ab=(0,-4,0),pa=(2,0,-2),所以efab=(1,0,1)(0,-4,0)=0,efpa=(1,0,1)(2,0,-2)=0,所以efab,efpa,所以efab,efpa,因为ab平面pab,pa平面pab,abpa=a,所以ef平面pab.(2)ef=(1,0,1)是平面pab的一个法向量,设直线ae与平面pab所成的角为,因为ae=(-2,-2,0),所以sin=|efae|ef|ae|=|(1,0,1)(-2,-2,0)|222=12,所以直线ae与平面pab所成的角是30.【变式训练】在正方体abcd-a1b1c1d1中,e,f分别为aa1,ab的中点,求ef和平面acc1a1夹角的大小.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体棱长为2,则由e,f分别是aa1,ab的中点,得e(2,0,1),f(2,1,0).过f作fgac于g,则由正方体性质知fg平面acc1a1.连接eg,则eg与ef的夹角即为所求.又因为f是ab的中点,所以ag=14ac,所以g32,12,0.eg=-12,12,-1,ef=(0,1,-1),cos=egef|eg|ef|=32.所以=6,即ef与平面acc1a1的夹角为6.【一题多解】建系同上,ef=(0,1,-1),a1(2,0,2),a(2,0,0),c(0,2,0),a1a=(0,0,-2),ac=(-2,2,0).设平面acc1a1的法向量为n=(x,y,z),则即-2z=0,-2x+2y=0.令x=1,则y=1,所以n=(1,1,0),cos=nef|n|ef|=122=12.所以=3,则ef与平面acc1a1的夹角为6.11.在正方体abcd-a1b1c1d1中,e,f分别为棱d1c1,b1c1的中点,求平面efc与底面abcd所成二面角的正切值.【解析】以d为原点,da,dc,dd1为单位正交基底建立空间直角坐标系如图,则c(0,1,0),e0,12,1,f12,1,1.设平面cef的法向量为n=(x,y,z),则nce=0,ncf=0.因为ce=0,-12,1,cf=12,0,1,所以-12y+z=0,12x+z=0,所以y=2z,x=-2z.令z=1,则n=(-2,2,1).显然平面abcd的法向量e=(0,0,1),则cos=ne|n|e|=13.设二面角为,则cos=13,所以tan=22.【拓展延伸】向量法求解二面角时的注意点由于两条直线所成的角,线面角都是锐角或直角,因此可直接通过绝对值来表达,故可直接求出,而二面角的范围是0,有时比较难判断二面角是锐角还是钝角,因为不能仅仅由法向量夹角余弦的正负来判断,故这是求二面角的难点.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.已知向量m,n分别是直线l和平面的方向向量和法向量,若cos=-22,则l与所成的角为()a.30b.45c.135d.150【解析】选b.因为cos=-22,所以sin=|cos|=22.又因为直线与平面所成角满足090,所以=45.2.(2014长春高二检测)在长方体abcd-a1b1c1d1中,ab=2,bc=2,dd1=3,则ac与bd1所成角的余弦值为()a.0b.37070c.-37070d.7070【解析】选a.建立如图坐标系,则d1(0,0,3),b(2,2,0),a(2,0,0),c(0,2,0),所以bd1=(-2,-2,3),ac=(-2,2,0).所以cos=bd1ac|bd1|ac|=0.所以=90,所求角的余弦值为0.【变式训练】如图,已知正三棱柱abc-a1b1c1的各条棱长都相等,m是侧棱cc1的中点,则异面直线ab1和bm所成的角的大小是.【解析】不妨设棱长为2,则ab1=bb1-ba,bm=bc+12bb1,cos=(bb1-ba)bc+12bb1225=0,故异面直线ab1和bm所成角为90.答案:903.(2014哈尔滨高二检测)在正四棱锥s-abcd中,o为顶点在底面内的投影,p为侧棱sd的中点,且so=od,则直线bc与平面pac的夹角是()a.30b.45c.60d.75【解析】选a.如图,以o为坐标原点建立空间直角坐标系oxyz.设od=so=oa=ob=oc=a,则a(a,0,0),b(0,a,0),c(-a,0,0),p0,-a2,a2,则ca=(2a,0,0),ap=-a,-a2,a2,cb=(a,a,0),设平面pac的一个法向量为n,可取n=(0,1,1),则cos=a2a22=12,所以=60,所以直线bc与平面pac的夹角为90-60=30.4.(2014南宁高二检测)如图所示,已知点p为菱形abcd外一点,且pa平面abcd,pa=ad=ac,点f为pc的中点,则二面角c-bf-d的正切值为()a.36b.34c.33d.233【解析】选d.如图所示,连接bd,acbd=o,连接of.以o为原点,ob,oc,of所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系oxyz.设pa=ad=ac=1,则bd=3.所以b32,0,0,f0,0,12,c0,12,0,d-32,0,0.结合图形可知,oc=0,12,0且oc为面bof的一个法向量,由bc=-32,12,0,fb=32,0,-12,可求得平面bcf的一个法向量n=1,3,3.所以cos=217,sin=277,所以tan=233.二、填空题(每小题5分,共10分)5.正abc与正bcd所在平面垂直,则二面角a-bd-c的正弦值为.【解析】取bc中点o,连接ao,do,建立如图所示的坐标系:设bc=1,则a0,0,32,b0,-12,0,d32,0,0.所以oa=0,0,32,ba=0,12,32,bd=32,12,0.由于oa=0,0,32为平面bcd的一个法向量,设平面abd的法向量n=(x,y,z),则所以12y+32z=0,32x+12y=0,取x=1,则y=-3,z=1,所以n=(1,-3,1),所以cos=55,sin=255.答案:2556.(2014湛江高二检测)如图,在正三棱柱abc-a1b1c1中,若ab=2bb1,则ab1与c1b所成的角的大小为.【解题指南】根据正三棱柱的特点建立空间直角坐标系,再用向量法求异面直线所成的角.【解析】取ac的中点d,建立如图坐标系,设ab=a,则b32a,0,0,c10,a2,22a,a0,-a2,0,b132a,0,22a.所以ab1=32a,a2,22a,c1b=32a,-a2,-22a.所以cos=ab1c1b|ab1|c1b|=0.所以ab1与c1b所成的角为90.答案:90三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2013新课标全国卷)如图,三棱柱abc-a1b1c1中,ca=cb,ab=aa1,baa1=60.(1)证明aba1c.(2)若平面abc平面aa1b1b,ab=cb,求直线a1c与平面bb1c1c所成角的正弦值.【解题指南】(1)取ab的中点,利用线面垂直证明线线垂直.(2)利用面面垂直确定线面垂直,找出直线a1c与平面bb1c1c所成的角或建立空间直角坐标系求解.【解析】(1)取ab的中点o,连结oc,oa1,a1b.因为ca=cb,所以ocab.由于ab=aa1,baa1=60,故aa1b为等边三角形,所以oa1ab.因为ocoa1=o,所以ab平面oa1c.又a1c平面oa1c,故aba1c.(2)由(1)知,ocab,oa1ab,又平面abc平面aa1b1b,交线为ab,所以oc平面aa1b1b,故oa,oc,oa1两两相互垂直.以o为坐标原点,oa的方向为x轴的正方向,|oa|为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系oxyz,则有a(1,0,0),a1(0,3,0),c(0,0,3),b(-1,0,0).则bc=(1,0,3),bb1=aa1=(-1,3,0),a1c=(0,-3,3).设平面bb1c1c的法向量为n=(x,y,z),则有即x+3z=0,-x+3y=0,可取n=(3,1,-1).故cos= =-105.所以直线a1c与平面bb1c1c所成角的正弦值为105.【变式训练】(2013辽宁高考)如图,ab是圆的直径,pa垂直圆所在的平面,c是圆上的点.(1)求证:平面pac平面pbc.(2)若ab=2,ac=1,pa=1,求二面角c-pb-a的余弦值.【解题指南】利用条件证明线线垂直,进而证明线面垂直,由面面垂直的判定定理解决问题;借助前面的垂直关系,建立空间直角坐标系,利用向量法求二面角的余弦值.【解析】(1)由ab是圆的直径,得acbc;由pa垂直于圆所在的平面,得pa平面abc;由bc平面abc,得pabc;又paac=a,pa平面pac,ac平面pac,所以bc平面pac.又因为bc平面pbc,据面面垂直判定定理,平面pac平面pbc.(2)过点c作cmap,由(1)知cm平面abc.如图所示,以点c为坐标原点,分别以直线cb,ca,cm为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.在直角三角形abc中,ab=2,ac=1,所以bc=3,又pa=1,所以a(0,1,0),b(3,0,0),p(0,1,1).故cb=(3,0,0),cp=(0,1,1).设平面pbc的法向量为n1=(x1,y1,z1),则(x1,y1,z1)(3,0,0)=0,(x1,y1,z1)(0,1,1)=0.x1=0,y1+z1=0.不妨令y1=1,则z1=-1.故n1=(0,1,-1).设平面pab的法向量为n2=(x2,y2,z2),由同理可得n2=(1,3,0).于是cos=(0,1,-1)(1,3,0)02+12+(-1)212+(3)2+02=64.结合图形和题意,二面角c-pb-a的余弦值为64.8.(2014山东高考)如图,在四棱柱abcd-a1b1c1d1中,底面abcd是等腰梯形,dab=60,ab=2cd=2,m是线段ab的中点.(1)求证:c1m平面a1add1.(2)若cd1垂直于平面abcd且cd1=3,求平面c1d1m和平面abcd所成的角(锐角)的余弦值.【解题指南】(1)本题考查了线面平行的证法,可利用线线平行来证明线面平行.(2)本题可利用空间几何知识求解二面角,也可以利用向量法来求解.【解析】(1)连接ad1,因为abcd-a1b1c1d1为四棱柱,所以cdc1d1,cd=c1d1,又因为m为ab的中点,ab=2cd=2,所以am=1,所以cdam,cd=am,所以amc1d1,am=c1d1,所以四边形amc1d1为平行四边形,所以ad1mc1,又因为c1m平面a1add1,ad1平面a1add1,所以c1m平面a1add1.(2)方法一:因为aba1b1,a1b1c1d1,所以平面d1c1m与abc1d1共面,作cnab,连接d1n,则d1nc即为所求二面角的平面角.在abcd中,dc=1,ab=2,dab=60,所以cn=32,在rtd1cn中,cd1=3,cn=32,所以d1n=152,cosd1nc=cnd1n=55.方法二:作cpab于p点,以c为原点,cd为x轴,cp为y轴,cd1为z轴建立空间直角坐标系,所以c1(-1,0,3),d1(0,0,3),m12,32,0,所以c1d1=(1,0,0),d1m=12,32,-3,设平面c1d1m的法向量为n1=(x1,y1,z1),所以x1=0,12x