椭圆的简单几何性质.doc

椭圆的简单几何性质 高二数学备课组 耿志新一、复习回顾上节知识点：1、椭圆的定义；2、椭圆的标准方程；3、求椭圆方程的几种方法：待定系数法、定义法、相关点法。二、讲授新课：1、观察思考：观察椭圆（），想一想我们应该从哪些方面关注椭圆的哪些方面的几何性质，研究哪些问题。我们从整体上把握几何图形，这就是范围、对称性；其次是研究它的顶点、扁平程度等等。2、教师引导，学生合作研究师：解析几何要解决的两类问题是：（1）由已知条件，求出表示曲线的方程；（2）通过曲线的方程，研究曲线的性质。第一个问题我们已经解决，下面我们用椭圆的标准方程来研究椭圆的简单几何性质。从数的角度（也就是方程）来验证我们刚才从直观（也就是形）得来的结论。（一）范围：引导学生得出在解析几何中讨论曲线的范围，就是确定方程中两个变量x,y的取值范围。用多种方法探究，汇报研究成果并用实物投影展示或到黑板板书。学生1：由利用两个实数的平方和为1，结合不等式知识得且，则有。那么它的范围就是直线所围成的区域。老师：很好，谁还有不同意见？学生2：利用三角换元，令。由正弦函数有界可得范围。老师：这个想法也不错，谁还有不同见解？学生3：从中解出，利用可得y的取值范围，同样可得x的取值范围。师：这种想法也很好，谁还有不同方法？此时学生陷入深思中，教师及时点拨，前面我们学习过函数的定义域、值域，这对你研究椭圆的范围有何启示呢？学生纷纷议论，有的开始动笔推导，有的几个人一起在商量。老师：谁研究出来了，或哪个小组研究出来了？请到前面给大家讲一讲。学生4：（在黑板上展示）由则，可通过求这个函数的定义域、值域得范围。老师：是函数吗？学生4：（思考后说）不是。老师：怎样处理呢？学生4：把和分别看作是一个函数。老师：正确。往下怎样研究呢？学生4：先求函数的定义域、值域。利用前面学习过的代数函数求定义域、值域的方法，可得，同样得中，于是得到范围。老师：好。前面我们研究了椭圆的对称性，谁能简化学生4的推导过程呢？学生5：老师，我想只需求的定义域、值域即可，然后利用对称性可得范围。老师：很好。通过前面的探讨，我们知道椭圆是有范围的，即，它围在一个矩形框内。（二、）对称性老师：前面我们已经观察到椭圆有对称性。我们先来回顾一下对称的概念和关于x轴、y轴、原点都对称的点的坐标的关系。学生6：若一条曲线沿一条直线对折起来重合，那么我们说这条曲线关于这条直线成轴对称图形，这条直线称为它的对称轴。若一条曲线沿一个点旋转和原来的曲线重合，那么我们说它关于这个点成中心对称图形，这个点是它的对称中心。老师：那么关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标之间又有什么样关系呢？学生6：设P（x，y），则P点关于x轴、y轴和坐标原点的对称点分别是（x，-y）、（-x，y）、（-x，-y）若曲线关于x轴对称，则P点关于x轴对称点也在曲线上，即（x，-y）满足方程。同理可以推出另外两种情况。老师：那么下面同学们一起归纳出方程要满足什么条件才具有这些对称性。学生7：结论：以-x代x，方程不变，则曲线关于y轴对称；以-y代y，方程不变，则曲线关于x轴对称；同时以-x代x、以-y代 y，方程不变，则曲线关于原点对称。老师：非常正确。那么椭圆是否也具有这种对称性，你能根据方程得到结论吗？此时学生能快速判断，得出结论。同时让学生明白，图形对称性的本质是构成图形的点的对称性，从方程来判断也就是抓住了点的对称性形成的结论。（三）顶点老师：我们现在已经知道了椭圆的范围，它在一个矩形围成的区域内，那么怎样才能比较准确地画出椭圆呢？它是否存在一些关键点呢？学生沉默。老师提示，类比正余弦曲线中的五点法做图中有五个关键点，那椭圆上是否也有呢？此时学生纷纷指出有，有些学生说是椭圆最边上的点，有些学生说是与坐标轴的交点，那么到底是该怎样描述呢 ？此时我又黑板上画出焦点不在坐标轴上的椭圆，提问，此时还不能说是与坐标轴的交点呢？此时学生大呼上当，才知道准确定义应该是椭圆与对称轴的交点。这样我才正式给出义，这样的关键点叫做椭圆的顶点。我们把椭圆与对称轴的交点称为椭圆的顶点。老师：你能根据方程求得四个交点的坐标吗？（计算机给出图形，椭圆与x轴的交点分别是A1、A2，与y轴的交点分别是B1、B2学生8：分别令x=0，y=0，得A1（-，0）、A2（，0）、B1（0，-）、B2（0，）。老师：得出顶点的概念之后，再来看我们能否找出椭圆中那条最长的弦。学生马上指出为A1、A2，那我们给它取一个什么名字呢？学生9：长轴。老师：那么椭圆中有没有最短的弦呢？学生马上指出是B1、B2，我马上反问，那么这是不是椭圆中最短的弦呢？学生才发现上当。我又马上提出，那该怎样描述B1、B2呢？学生这才找出应该是过中心的弦中最短的那条弦叫短轴。长轴与短轴两个概念明确之后，老师再进一步结合图形指出长轴长、短轴长、长半轴长、短半轴长，点明方程中、的几何意义。（四）离心率展示几何画板，取椭圆的长轴长不变，拖动两焦点改变它们之间的距离，再画椭圆，由学生观察出椭圆形状的变化。老师：在刚才的演示中，我们发现在椭圆长轴长不变的前提下，两个焦点离开中心的程度不一样，可以用一个什么名词来描述呢？学生在老师的启发下而提出离心率这一概念，进而得出可以用来表示离心率。老师：那么离心率这一概念的引入到底是用来刻划椭圆的哪一个几何性质呢？再一次演示几何画板。学生发现不变时，c变大，即离心率变大时，椭圆越扁；c变小即离心率变小时，椭圆越圆。学生10：离心率是用来刻划椭圆的扁平程度的一个量。离心率越大，椭圆越扁，离心率越小，椭圆越圆。老师：进一步拓展，除了用可以来刻划椭圆的扁平程度，还可以用什么来刻划呢？学生指出也可以，老师再问，那是否也可以呢？它们分别是怎样来刻划的呢？留给大家课后思考。3、例题讲解：例：求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率，并用描点法画出它的图形。分析：把椭圆方程写成标准形式，求出基本元素a、b、c即可求出所需答案。解：把椭圆的方程化为标准方程。可知此椭圆的焦点在x轴上，且长半轴长a=3，短半轴长b=2；又得半焦距c=。因此，椭圆的长轴长2a=6，短轴长2b=4，两个焦点的坐标分别是（），（）；四个顶点的坐标分别是（-3，0）、（3，0）（0，-2）、（0，2）。为画此椭圆的图形，将椭圆方程变形为y=。由y=，可求出椭圆在第一象限内一些点的坐标（x，y），列表如下：x0051152253y21971891731491110描点再用光滑曲线顺次连接这些点，得到椭圆在第一象限的图形；然后利用椭圆的对称性画出整个椭圆。方法点拨：已知椭圆的方程讨论其性质时，应先将方程画为标准形式，找准a与b，才能正确的写出焦点坐标和顶点坐标等。三、巩固与应用 （1）利用本节所学的知识，说出椭圆的简单几何性质。 （2）椭圆的长轴是短轴的2倍，则k=_。 （3）如果一个椭圆短轴上的一个顶点与两个焦点构成一个正三角形，求椭圆的离心率。四、 反思与小结 教师引导学生从知识、思想方法和研究问题的方法三个方面进行总结。 师：通过这节课的学习，你学到了什么？体验到了什么？掌握了什么？ 学生讨论、反思。 师生合作： （1）知识总结：教师设计关于性质的表格，学生填表，并总结：记住这些性质的关键是抓住两条线（对称轴），一个框（范围），七个点（一个中心、两个焦点、四个顶点）和用e刻画圆扁。 （2）思想方法总结：本节课主要利用了数形结合的思想和类比化归的思想研究性质的平时学习中要注意数学思想方法的运用。（3）掌握利用曲线方程研究曲线性质的基本方法，即通过研究曲线的对称性、顶点、范围、离心率等，这样就可以从整体上把握曲线了。五、 作业 （1）根据本节课的学习，结合你的体会，写一篇题为魅力无限的椭圆的短文，格式不限。（2）P49：第4、5、6题。椭圆的简单几何性质耿志新太谷县第二中学2011.6.22椭圆的简单几何性质 （说课稿）教材分析：椭圆的简单几何性质是人教版选修2-1的内容。本课是在学生学习了椭圆的定义、标准方程的基础上，根据方程研究曲线的性质。先引导学生观察椭圆-几何直观，了解应该关注椭圆的哪些方面的性质，然后再引导学生考虑方程的各种特征对应着椭圆的哪些几何特征，逐渐让学生掌握研究曲线的几何性质的方法。这样由形到数，由数到形，通过对曲线的范围、対称性及特殊点的讨论，从整体上把握曲线形状、大小、和位置。对于学生来说，利用曲线方程研究曲线性质这是第一次，因此它在教学中起到承上启下的作用，教学中教师要注意引导、点拨。教学目标： （1）知识目标：A、通过对椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，并正确地画出它的图形；B、领会每一个几何性质的内涵，并学会运用它们解决一些简单问题。（2）能力目标：A、培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力；B、运用数形结合思想解决实际问题的能力。（3）情感目标：A、培养学生的创新意识和创新思维，培养学生的合作意识；B、通过数与形的辨证统一，对学生进行辩证唯物主义教育；C、通过对椭圆对称美的感受，激发学生对美好事物的追求。教学重点和难点：重点：椭圆的简单几何性质及其探究过程。难点：利用曲线方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率是用来刻画椭圆的扁平程度的给出过程。教学设计：借助多媒体辅助手段，先给出三个直观的椭圆，创设问题情景，让学生从形的角度先对椭圆的几何性质有一个整体的把握，引导学生观察、分析、猜测、论证，然后再重点从数的角度也就是方程组织讨论，合作交流，启发学生积极思维，不断探索后汇报研究成果，得到结论后总结，及时进行反馈应用和反思总结。教学过程:两个重要环节：第一“环节”：导入新课：利用多媒体打出三个焦点在X轴上的椭圆，引导学生从直观上观察椭圆，想一想我们应该关注椭圆的哪些方面的性质，研究哪些问题，如何研究，引导学生从整体上把握几何图形，这就是范围、对称性；其次是研究它的顶点（与对称轴的交点）、扁平程度（离心率）等等。第二“环节”：导出性质：引导学生根据椭圆的标准方程研究椭圆的简单几何性质，为了有序地讨论性质，可以先引导学生分析得出以下结论：方程中变量x、y的取值范围曲线的范围方程形式上的对称性曲线的对称性x=0或y=0时方程的解曲线与对称轴的交点（椭圆的顶点）a,b,c相对的大小变化曲线的几何形状变化趋势（椭圆的离心率）再逐条分析。一个发散思维训练：对于求椭圆的范围，我们通过对多种方法的探求，训练学习的发散思维，既总结了由方程求变量范围的几种方法，同时又解决了本节课的问题，让学生达到了双收的目的，同时明白确定曲线范围的另一个目的，是用描点法画曲线时就可以不取曲线范围以外的点了。两个整合：在讲椭圆对称性时用了flash动画，形象客观地让学生在形上很好的把握对称性。在讲椭圆离心率时，用了几何画板，充分的发挥了他的优越性，在观察比值变化时，看形的变化。而整个环节用pp片串接，简单实用。 三个重点突破：重点突破一：顶点的的概念：通过提问要想画出椭圆的草图，是否有一些关键点，要求学生类比正余弦曲线中的五步法作图，其中有五个关键点，从而引导学生观察椭圆中是否也有。学生观察到之后，再引导他们归纳顶点的概念。在归纳中学生可能由开始的顶点是椭圆的最边上的点、是椭圆与坐标轴的交点等不规范或不准确的概念慢慢过渡到顶点是椭圆与对称轴的交点这一准确定义。通过这一过程让学生对顶点这一概念有一个深刻的认识。重点突破二、长轴与短轴的概念：通过由学生去找椭圆中最长的弦和最短的弦来引出长轴和短轴的概念。重点突破三、离心率概念的形成以及离心率刻画椭圆的什么几何性质展示几何画板，取椭圆的长轴长为10不变，拖动两焦点改变它们之间的距离，再画椭圆，由学生观察出椭圆形状的变化。再提出在椭圆长轴长不变的前提下，两个焦点离开中心的程度，可以用一个什么名词来描述呢？从而提出离心率这一概念。最后再引出用来表示离心率。通过几何画板演示让学生理解离心率是用来刻划椭圆的扁平程度这一几何性质的一个量。评椭圆的简单几何性质是圆锥曲线中研究几何性质的第一节课，也是第一次利用曲线方程研究曲线的性质，这节课对于后面学好双曲线、抛物线的几何性质有至关重要的作用。我听了耿志新老师的示范课椭圆的简单几何性质给我留下了很深的印象。课堂上，杨老师清晰的教学思路、严谨的教学方法、严密的教学逻辑、活跃的课堂气氛，层层推进，步步诱导，将教学推向了一个又一个的高潮，充分展示了数学课堂教学的无穷魅力。第一，教师的教学理念符合数学新课程改革的要求是课堂要凸现知识的形成过程，新教材的每一节教材上都设有思考探究，就是要求教师引导学生弄清知识的来龙去脉，杨老师这个方面做得非常好，知识有生成过程比较自然、到位，特别是顶点的概念、长轴短轴的概念的引出非常好，还有对于离心率的引出以及几何画板的演示，给了学生思考和学习的空间，让他们自然深刻地学到了知识而不是让这些知识无中生有地产生，强硬地加给他们的。第二，课堂气氛好，学生互动较多，达到了师生之间与课堂之间的一个融合，完全是一个教师主导下的学生的一个学习探究过程，学生的一个思维训练过程，一个思维培养的无形的过程。对于一堂数学课，课堂上如果比较沉闷，无法培养思维的敏捷性，如果太过于活跃，又无法培养思维的深刻性，所以我们需要在这两者之间找一个融合点往往会比较困难，有些老师流于形式会过于活跃有些课堂过于追求完备，就会过于刻板。而杨老师的课给人的感觉是既活跃又严谨，课堂上又能做到随意发挥，讲究课堂的个性，不刻意去追求完美，反而达到完美达到精致的效果。一气呵成，听来水到渠成！第三，课堂容量较大，对几何画板的操作比较熟练，能充分利用多媒体技术，却不流于形式。整个课堂节奏较快，有意识培养学生的思维速度。对于提高学生的应对能力反应能力都在课堂中予以贯穿。同时从整堂课来看，杨老师在课前花了大量的功夫，才有可能有这么流畅的课堂。教学艺术的追求是永无止境的。一个真正优秀的数学教师，应该是一个思想者，一个智慧者，一个永远站在哲学角度思考问题的辩证维物主义者，一个充分爱心大爱无痕的有心人！只有凭借自身过硬的业务素质的支撑，才可能把一个充满智慧充满灵气的数学课堂奉献给学生装，才能使枯燥的数学课堂一改往日的沉闷，真正成为撞击学生心灵撞击学生智慧的有用武器，真正成为培养新时代有创新意识有创新精神的课堂摇篮！让我们携起手来，共同反思，在教学中不断进步不断成长，为我们的共同目标努力！ 测试题1、椭圆的长轴长、短轴长、离心率依次是（ ）A、5、3、0、8 B、10、6、0、8C、5、3、0、6 D、10、6、0、62、椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（ ）A、 B、 C、 D、3、若椭圆经过原点，且焦点为F1（1，0）、F2（3，0），则其离心率为（ ）A、 B、 C、 D、4、已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A、 B、 C、 D、5已知点（3，2）在椭圆上，则（ ）A、点（-3，-2）不在椭圆上B、点（3，-2）不在椭圆上C、点（3，-2）在椭圆上D、无法判断点（-3，-2）、（3，-2）、（3，-2）是否在椭圆上6、设椭圆的短轴为B1B2，F1为椭圆的左焦点，则B1F1B2等于（ ）A、 B、 C、 D、7、若直线y=kx+1与椭圆总有公共点，则m的取值范围是（ ）A、m1 B、C、 D、8、某椭圆中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是_。9、椭圆的一个焦点将长轴分为3：2两段，则椭圆的离心率是_。10、求适合下列条件的椭圆的标准方程；长轴长的短轴长的3倍，且过点（3，-1）；椭圆过点（3，0），离心率e=。结一、本堂课的成功之处我在课堂之前透彻地理解教材，努力尝试挖掘性质的内涵，不停留在只是把知识传授给学生即可这一表面，而是力图弄清楚每一项性质的来龙去脉