【全程复习方略】高考数学二轮复习 专题辅导与训练 专题四 数列.doc

【全程复习方略】2015高考数学二轮复习 专题辅导与训练 专题四 数列 (120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2014杭州模拟)已知q是等比数列an的公比,则“q1”是“数列an是递增数列”的()a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件【解析】选d.等比数列an中,若a11,则数列an是递减数列;若0q2+2-4=0.7.已知数列an,若点(n,an)(nn*)在经过点a(8,4)的定直线l上,则数列an的前15项和s15=()a.12b.32c.60d.120【解析】选c.方法一:因为点(n,an)在定直线l上,所以an为等差数列,由条件知(8,a8)在直线l上,l经过(8,4),所以a8=4,所以s15=15a8=60.方法二:可设定直线为y-4=k(x-8),知an-4=k(n-8),得an=k(n-8)+4,则an是等差数列,s15=15(a1+a15)2=15a8=154=60.8.已知函数y=f(x)(xr),数列an的通项公式是an=f(n)(nn*),那么“函数y=f(x)在1,+)上递增”是“数列an是递增数列”的()a.充分而不必要条件b.必要而不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件【解析】选a.若f(x)在1,+)上为增函数,则对任意nn*,有f(n)f(n+1),所以anan+1,所以an为递增数列,反之an为递增数列时,未必有f(x)在1,+)上单调递增.9.数列an的通项公式是关于x的不等式x2-xnx(nn*)的解集中的整数个数,则数列an的前n项和sn=()a.n2b.n(n+1)c.n(n+1)2d.(n+1)(n+2)【解析】选c.因为x2-(n+1)x0,所以0x0,b0,若2是4a与2b的等比中项,则2a+1b的最小值为.【解析】由条件知:4a2b=(2)2,所以22a+b=21,所以2a+b=1,所以2a+1b=2a+1b(2a+b)=5+2ba+2ab5+22ba2ab=9,等号在2ba=2ab,2a+b=1,即a=b=13时成立.答案:912.(2014杭州模拟)在等差数列an中,若a2012+a2016=120,则2a2013-a2012的值为.【解析】设公差为d,因为a2012+a2016=120,所以a2014=60,所以2a2013-a2012=a2013+a2013-a2012=a2013+d=a2014=60.答案:6013.二次函数y=kx2(x0)的图象在点(an,an2)处的切线与x轴交点的横坐标为an+1,n为正整数,a1=13,则s5=.【解析】因为点(a1,a12)即13,19是图象上的点,所以k=1.由y=2kx得切线方程为y-an2=2kan(x-an),所以an+1=an-an2k=1-12an=12an,所以an是以a1=13为首项,以12为公比的等比数列,所以s5=131-1251-12=231-125.答案:231-12514.设等比数列an的前n项和为tn(nn*),已知am-1am+1-2am=0,且t2m-1=128,则m=.【解析】因为am-1am+1-2am=am2-2am=0且am0,所以am=2,又t2m-1=am2m-1=22m-1=128=27,所以2m-1=7,所以m=4.答案:415.无穷数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,的首项是1,随后两项都是2,接下去三项都是3,以此类推,记该数列为an,若an-1=13,an=14,则n=.【解析】把数列an如下分组:(1)(2,2)(3,3,3)(4,4,4,4),则an-1在第13组内,且是最后一个,an在第14组内且是第1个,因为前13组共有1+2+3+13=13142=91个数,所以第14组的第1个数为数列an的第92项,即n=92.答案:9216.(2014浙江五校联考)设等比数列an的前n项和为sn,若a2014=3s2013+2,a2013=3s2012+2,则公比q=.【解析】由已知得a2014=3(s2012+a2013)+2=3a2 013-23+a2 013+2=a2013-2+3a2013+2=4a2013,所以公比q=a2 014a2 013=4.答案:417.已知正数数列an满足(a1+a2+an)2=a13+a23+an3.则其通项公式为.【解析】由a1+a2+an=sn知,当n2时,sn-12=a13+a23+an-13,所以sn2-sn-12=(sn+sn-1)(sn-sn-1)=an3.因为an0,所以sn+sn-1=an2,所以当n3时,sn-1+sn-2=an-12,两式相减得an+an-1=(an-an-1)(an+an-1).因为an为正数数列,所以an+an-10,所以an-an-1=1.又s12=a12=a13,a10,所以a1=1.s22=(a1+a2)2=a13+a23.由a20得a2=2,所以,当n2时,有an-an-1=1,所以,数列an是以1为首项,公差为1的等差数列.所以an=n.答案:an=n三、解答题(本大题共5小题,共72分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)18.(14分)(2014湖州模拟)已知数列an是等差数列,bn是等比数列,且a1=11,b1=1,a2+b2=11,a3+b3=11.(1)求数列an和bn的通项公式.(2)求数列|an-bn|前12项的和s12.【解析】(1)设an的公差为d,bn的公比为q,则由a3+b3=a2+b2=a1可得11+2d+q2=11,11+d+q=11.可求得:d=-2,q=2,从而an=-2n+13,bn=2n-1(nn*).(2)|an-bn|=|13-2n-2n-1|=13-2n-2n-1,n3,2n-1+2n-13,n4.s12=(11-1)+(9-2)+(7-4)-(5-8)-(-11-211)=20+(8+16+211)-5+3+(-11)=4135.19.(14分)设数列an的前n项和为sn,已知a1=5,an+1=sn+3n(nn*).(1)令bn=sn-3n,求证:数列bn是等比数列.(2)令cn=1log2bn+1log2bn+2,设tn是数列cn的前n项和,求满足不等式tn2 0124 028的n的最小值.【解析】(1)b1=s1-3=20,sn+1-sn=sn+3n,即sn+1=2sn+3n,bn+1bn=sn+1-3n+1sn-3n=2sn-3n+1+3nsn-3n=20,所以数列bn是等比数列.(2)由(1)知bn=2n,则cn=1log2bn+1log2bn+2=1(n+1)(n+2)=1n+1-1n+2,tn=12-1n+2,由tn=12-1n+22 0124 028,n2012,即nmin=2013.【加固训练】已知数列an,点p(ai,ai+1)(i=1,2,n)在直线y=2x+k上,数列bn满足条件:b1=2,bn=an+1-an(nn*).(1)求数列bn的通项公式.(2)若cn=bnlog21bn,sn=c1+c2+cn,求2n+1-sn60n+2成立的正整数n的最小值.【解析】(1)依题意:an+1=2an+k,所以bn=2an+k-an=an+k,所以bn+1=an+1+k=2an+k+k=2(an+k)=2bn,又因为b1=2,而bn+1bn=2,所以数列bn是以2为首项,2为公比的等比数列.即得bn=22n-1=2n(nn*),为数列bn的通项公式.(2)由cn=bnlog21bn=2nlog212n=-n2n.-sn=-(c1+c2+cn)=12+222+323+n2n,所以-2sn=122+223+324+(n-1)2n+n2n+1,上两式相减得sn=2+22+23+2n-n2n+1=2(1-2n)1-2-n2n+1=2n+1-n2n+1-2,由2n+1-sn60n+2,即得n2n+160n,所以2n+160,又当n4时,2n+125=3260.故使2n+1-sn60n+2成立的正整数n的最小值为5.20.(14分)在等差数列an中,已知a3=5,a1+a2+a7=49.(1)求an.(2)若bn=1anan+1(nn*),设数列bn的前n项和为sn,试比较an+2与16sn的大小.【解析】(1)由题意得:a1+2d=5,7a1+21d=49,解得a1=1,d=2,所以an=2n-1.(2)因为bn=1anan+1,所以bn=1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1,所以sn=b1+b2+bn=121-13+13-15+12n-1-12n+1=n2n+1,所以an+2-16sn=2n+3-16n2n+1=(2n-1)(2n-3)2n+1,所以当n=1时,an+216sn.21.(15分)(2014浦江模拟)已知数列an的前n项和sn=n2+n2,等比数列bn满足b1b2=2b3,且b1,b2+2,b3成等差数列.(1)求数列an和bn的通项公式.(2)设cn=anbn,tn为数列cn的前n项和,求tn的取值范围.【解析】(1)当n2时,an=sn-sn-1=n(n+1)2-(n-1)n2=n,n=1时,a1=1,所以an=n.设数列bn的公比为q,则b12q=2b1q2,2(b1q+2)=b1+b1q2,所以2(2q2+2)=2q(1+q2),所以q=2,b1=4,所以bn=2n+1.(2)cn=n2n+1,所以tn=122+223+n-12n+n2n+1,2tn=1222+2223+2(n-1)2n+2n2n+1,由错位相减法得tn=1-n+22n+1,因为tn+1-tn=1-n+32n+2-1-n+22n+1=n+12n+20,t1=1-34=14,所以14tn1.【加固训