数学大师的风采——记陈省身先生讲授《微积分及其应用》.pdf

2 高 等数学 研 究 STU DI ES I N C0LLEGE M AT HEM A TI CS Vo 1 5 NO 4 De c 2 002 目图 数 学 大 师 的风 采 一 记 陈省 身先 生讲授 微 积分 及 其 应 用 白承 铭 南开数学研 究所 天津 3 0 0 0 7 1 2 0 0 1年 1 O月 l 1日下午 南 开数学研 究所大讲 演厅 内座无 虚席 世界 著名数 学 家陈省 身先生 要给大 家来 上基 础课 了 4时整 我们 尊敬 的陈先生不顾 已经 九十高龄 坐着轮 椅准时来 到讲 演厅 开始 给大家讲 授 微 积分及其应用 的第一讲 这 次活 动 是 在 陈 先 生 本 人 倡 导 下 由 南 开 大 学 天 津 大 学 刘 徽 应 用 数 学 中 心 举 办 的 应 用 数 学 系列 课 程 的 第 一 门课 程 并 由 陈先 生 亲 自主讲 陈先 生 要 给 大 学 本 科 生 上基 础 课 的 消息 传 开 后 不仅在南开大学 和天津大学 而且在整个天津地 区的高 校都产生 了很 大的震动 许 多学校的学生甚 至 很 多 教 师 纷 纷 要 求 听 课 但 是 由 于 演 讲 厅 条 件 所 限 所 以只 能 采 取 限制 名 额 的 办 法 最 终 听 众 是 以南 开大学和 天津 大学两 校 的大二 大三学 生为主 并 有少量 天津市其 他高校 的学 生和青年教 师 即使 这 样 每 次 仍 然 有 很 多没 有 报 上 名 的 学 生 站 在 过 道 和 走 廊 里 听 陈 先 生 的演 讲 大 家 的热 情 可 见 一 斑 同 时 陈 先 生 的 报 告 也 吸 引 了 很 多 教 师 参 加 甚 至 还 有 在 南 开 大 学 访 问 的 外 籍 学 者 如 美 国 B r o wn大 学 的 B wu n o Ha r r i s教 授 就 一 次 不 落 地 听 完 了全 部 演 讲 陈先生 曾经计 划讲 微 积分及其应用 八次 但是期 间因身体不适住 院两周 到 l 1月 3 O日的最 后 一 次 1 2月 初 已 经 先 期 安 排 了其 他 课 程 共 讲 了 六 次 陈 先 生 在 住 院 期 间 仍 然 念 念 不 忘 他 的 课 程 和学 生 他一 出院 就赶 快备课 并准时 出现在讲 台上 他的这种敬业 精神使所有人都 非常感 动 并 且 也 给 年 轻 人 树 立 了 良好 的 榜 样 大 师 给 学 生 们 上 基 础 课 不 仅 仅 为 学 生 们 带 去 了对 基 础 知 识 更 为 深 刻的理解 更 为我们 的大学 教育带来 了新鲜风气 教 师们 也从 中学 到如何 真正地为人师表 微积分课程本身 作为大学生基础课 并不是很难 难 的是 如何 看待微积分里众 多的命题和定理 以及为什 么要有它们 想 弄懂这些 就必须 站在 一定的高度来 观察 分析 这不仅 要对微 积分本 身有 很深 的理 解 还需 要对更 深一步 的知识有很好 的把握 陈先生 就是 这样 的一位数 学老师 陈先 生讲 得深入 浅 出 引人人胜 他用 非常简洁 的语 言 形象 的说 明给大 家讲授 了微积 分学 的基 本定 理 以及 在微分 几何上 的应 用 同时他那 严谨却不枯燥 风趣 中又一丝不 苟 的讲课 风格 更告 诉我们 数学大 师是 如何 授课 的 听过 陈先生课 的人 都领悟到他在谈笑风生 之间 已经将深 奥的数学知识 中精辟 的 传 授给 了大 家 所 有 人都感 到获 益匪 浅 这 可 以从 听课 的学生 们交 上来 的读 书报告 中清楚 地看 出 来 有学生说 大师就是大 师 讲得就是好 很通俗 很好懂 为 了使更多 的人 能够 了解 陈先生演讲 的内容 我作为 陈先 生的助教 根据陈先 生演讲 录音进行 了整理 在下 面简要地作一介 绍 由于本 人水平 有限 错误在所 难免 仅供大家参考 陈先生认 为 微 积 分 的范 围很广 因为 时 间关 系 这个 课程 只能讲个 大 概 尤其 是 介绍 整个 的有 一 些意 义 的 问 题 应该提一 提微积 分整个 的影响或者是在 哪些 方面 向前发 展 了 可 以说 微积 分 向前 发展大 概 有两个最重要 的方面 一个是在几何 的应用 另一个是 复数 陈先生着重讲 的是微积分学 的基本定 理 以及 在微分几 何 上的应 用 他的演讲 主要包括 微分 和 积分 1讲 指 数与对 数 函数 1讲 收稿 日期 2 0 0 2 0 7 一 l l 维普资讯 第 5卷第 4期 白承铭 数 学大 师 的风采 3 曲线 论 1讲 和 曲面论 与 Ga u s s B o n n e t 公式 3 讲 以下介 绍的第一讲 微 分和 积分 是 陈 先生 演讲 的记录稿 微 分 与积 分 I 微 积 分 的起 源 牛 顿 与 莱 布 尼 兹 讲 到 微 积 分 最 要 紧 的 两 个 人 是 牛 顿 I s s a c Ne wt o n 1 6 4 2 1 7 2 7 跟 莱 布 尼 兹 Go t t p i e d L e i b n i z 1 6 4 6 1 7 1 6 微积 分就 是他们发 现 的 关 于牛顿 有兴趣 的是 他做 这个工 作是 在学 生 的时候 也许 比你 们 的岁数还要小 那个时候 也就是 1 7世纪那个 时候 欧洲瘟疫很厉 害 欧洲 死 了很多人 他在英 国剑桥大学 因为瘟疫 的关系 学 校放假 了 他就 回家在家里做关于微积分 的这 些工作 莱布 尼兹 是一个 各方 面都非常优秀 的人 数学是 他的兴趣的一部分 他的兴趣到宗教 法律各方 面都有 他们 两人之间有 点争论 是因为争论谁 是微 积分的发现者 这个争论 是不幸 的 也没有 什么意义 实 质上是莱布 尼兹头一个发 表关于微 积分论文 的人 他的论文在 1 6 8 4年发 表 牛顿做 这个 工作早 于 莱 布 尼 兹 而 莱 布 尼 兹 发 表 论 文 早 于 牛 顿 牛 顿 有 了这 个 工 作 后 没 有 发 表 什 么 任 何 的 东 西 而 莱 布 尼兹 不但发表 了这些东 西 同时还 引用 了一些符号 也许我们 现在还 在用 那 么后 来两个 人有 一个 争 论 大 概 都 是 跟 数 学 没有 关 系 的人 在那 里 造 成 的 情 况 这 不 是 一 个 什 么 有 意 思 的 事 情 微 积 分 基 本 定 理 微 积 分 是 数 学 里 头很 重 要 的 方 面 至 于 什 么 是 微 积分 呢 我 想 微 分 的 发 现 跟 笛 卡 儿 发 现 坐 标 非 常有关 系 因为笛卡儿发现坐 标之后 数 学主要 的 目的就是研究 函数 研究 两组数 的关 系 有 种种的 关 系 我们知道 函数有种种 有线性 的 非线性 的 三角函数等种种 函数 那 么要怎样地研究 函数的 性 质 我们 都知道 函数可 以用 曲线来 表示 如 一厂 z 这条 曲线 在这条 曲线 的每 点 如果它是可 以微 分 的话 那 么它 在 每 点 有 个 切 线 微 分 就 是 把 这个 曲 线 用 它 的 切 线 来 研 究 它 的 性 质 所 以 也 等 于 说 它 是 把 函 数 线 性 化 线 性 化 之 后 可 以加 减 乘 除 可 以计 算 因此 可 以得 到 数 出来 数 学 要 是 能 够 得 到 数 出 来 总 是 很 要 紧 的 所 以微 分 大 概 是说 用 曲 线 的 切 线 来 研 究 曲线 的性 质 积分来得 早了 因为 积分实际上大致讲起来 它是要计算面积 那么假使平 面上有 一个 区域 由 曲线来做为边界 它的面积有多大 圆周 的面积有 多大 这里的问题是积分 的开 始 也是 积分重要 的 目的 因此 实 际上 积分 的发 展在微分 之前 积分 当时也没有一 定 的定义 积分 就是有 个极 限 的观 念 曲线所 围成 的区域 一般想 法子用直 线来逼近 使得逼近 的曲线趋于你 的边界 的时候 就 有个极 限 就是这个 区域 的面积 所 以 总而言之 积分 的发展在微分之前 中间这两个 问题好象 没有关系 但是 其实这关 系非常的密切 积分 差不多是微分 的反运算 比方说 假使你求 这条 直线 跟两条垂线 所成 区域的面积 这两条 垂线 一 个是 a 一个 是 s z 你要去算 这个 区域 的面积 是个定 积分 r I f x d x 读作 z 定积分从 口一 z 这是当年莱布尼兹的符号 这个积分的符号记成这样 因 为积分总是代表一个和 I 代表和 s u m 假设面积一边由 n的直线作边界 另一边是任意的3 7 你把 z这条 直线移 动的话 就得 到一个 z的函数 这个 函数 我 叫它 A x 就是我 图上 的面积 图从 略 是个 积分 所 以它是一个 数 目 与 z有关 所以是 z的函数 这个 函数跟曲线方程 Y一 这个 函数有密切关系 为什么有密切的关系呢 很简单地看看 假如求 A l f x d x的微分 求它 的 微 分 嘛 就 是说 求 s z 9 x所 围 成 的 这 个 小 区域 的 面 积 现 在 如 果 你 拿 艿 除 的话 我 想 很 容 易 看 出来 了 这个 极 限 就 是 f x 所 以很 容 易 看 出来 A x 这 个 函数 的微 分 就 是 厂 因 此 d A x 厂 z 1 1 d x 维普资讯 4 高 等数 学研 究 2 0 0 2年 1 2月 这就是微分同积分的基本的关系 这个关系说 A z 是一个积分 求它的微分时候 就得 厂 z 这个 一 般地 叫做微 积分 的基本定 理 我从前在南 开念微积分 的时候 始终不 懂为 什么这 是一个 微积分 的 基本 定 理 因 为 一 般 地把 这 个 关 系 式 写 成 I f x d x l 一 I f x d x 1 2 形状 左边 积分是个不定 积分 i n d e f i n i t e i n t e g r a 1 不定 积分是个 函数 左式 是 函数在 b的值减去 函 数在 a的值 等 于这个 定积分 d e f i n i t e i n t e g r a 1 所 以从这个关 系知道 要求积 分 的话 只需 要求一 个 函数 它 的微 分 是 已 知 的 就 是 厂 即微 分 是 已知 的 所 以 这 样 微 分 跟 积 分 连 起 来 了 互 相 的 积分等于微 分的反运算 有了 厂 要找一个 函数 它的微分等于 厂 z 是个 反运算 因此 微 积分 有 密切的关系 多 元微 积 分 上面讲 的是一个 变数 的微 积分 下 面要讲高 维的 多变数 的 多变数 的话 有新 的现 象 是什么 样 的呢 我想对 于多变数 的 我们 先不看别 的 先看两个 变数 的情形 z跟 Y 那 么我们知道 这个时 候 微 分 的 观 念 的推 广 是 偏 微 分 等 于 跟 Y分 开 求 微 分 积分 的观 念 推广 是 重 积 分 二 重 积 分 d o u b l e i n t e g r a 1 是在 2维 的情形 在高维 的情形 是多重 的 先看 2维 2维的情形就有 了区域 我们 叫它 那 么它 的边 界叫它 y 所 以积分 的一个 自然推广 是一个 2重 积分 普 通积分 把 z分 成小 段 然后 取 小 段 再 乘 上 这 个 函数 求 一 个 和 在 2重 积 分 的时 候 方 法 也 是 把 区 域 分 成 小 块 然 后 取 每 一 小 块 的面 积 在其 上 函数值 乘上它的面 积 然后 求它 的和 很不得 了的 假使 函数好 的话 无论 你如 何圈 你 的区域 极 限是一样 的 所 以这 极限就是 2重 积分 一 I l f x y d x d y 1 3 在 2维 的时候 甚 至高维 的时候 一个重 要 的现 象是 我们现 在有 2个 变数 z Y 换变 数怎 么 样 所 以我现 在换 变数 换 变数当然是在微积分里 是很重要 的一个办法 因为很 多的问题是看你 的 变数是否选择 得当 有 时换 变数 问题 就立刻简单化 了 就 可以解 决了 现在我换 变数 三 c 1 4 其 中 z Y 是另外一组坐标 我们 发现一个事 实 在高维 的时候 微分 的乘法 我们写 成 d x八 这 是一个乘法 怎么乘 呢 d x八 在 微积分上是最微妙 的观点 什么叫微分 什么 是 d x 这个是 困 扰 了数学 家几百年 的事 怎 么样定微分 的定义 跟究竟什 么是 d x 这个 很麻烦 可 以做到 很满 意 不 过把它讲 清楚需要有 一定 的时 间 所 以我马马虎虎说有 一个 d x 在 d x 这种微 分之 间要 建立乘 法 八 什么 叫 d x人 这个 问题更复杂 了 你如果 d x d y本 身是什么都不清楚 乘 了 以后是什 么东 西更是一个很 微妙 困难 的问题 在这方 面有一个 大的进步 就是引进外代数 和外 微分 假 定 d x八 这 个 乘 法 是 反 对 称 d x 八 dy 一 一 dy 八 d x 1 5 这个 问题就清楚 简单 了 因为乘法 如果是反对称 的话 当然 d x八d x 0 事实上 因为 d x八d x d x八d x 所 以 d x八d x O 在 反对称 的乘法 之下 把 d x八 看 成变数 因为乘法 是 反对 称的 d x z 一0 所 以就没有高 次 的东 西 了 这 样得到 的代数叫做外代数 这个代数很妙 的 有一个立 刻的结论 换 变数公式 为 dx 八 dy 一 dx 八 d y 1 6 假使 我们 的微分用 的是偏微分 所 以 下转第 8页 维普资讯 8 高 等 数学研 究 2 0 0 2年 1 2月 数 问题 的需 要 更 重 要 的 是 它 的 几何 背 景 的 需 要 5 加 强几何变换和 变换 群理论的教学 空间 的变换的概 念在射影几 何学 中体现 得最显 著 射 影几何学应 该说起 源于绘 画 和建筑学 中 的透 视 学 是 人 类 在 观 察 世 界 时 把 3维 的物 体 用 平 面 图形 表 示 的 经 验 和 规 律 的总 结 这 里 面 蕴涵 着 图形 的变换理 论 后 来 欧拉首先 注意到仿射 变换 的意 义 克 莱因在 1 8 7 2年提 出 了著名 的 爱 尔兰 根 纲领 他认 为每一 种几何都 由一种变换 群所 刻 画 每一种 几何学要做 的实 际上 就是 寻求 图形在 该变换 群 的作 用下保 持不 变 的性质 一个几 何 的子几 何是 在原变 换群 的子群作 用下 的不 变量 例 如 射 影 几 何 学 射 影 变 换 群 一 仿 射 几何 学 仿 射 变 换 群 一 欧 氏 几何 学 刚 体 运 动 群 在 这 里 箭 头所指 的是 前者的子几何 虽然并 不是所有 的几何学都 能够纳入 克莱因的分类 方案之 中 例如现代 的代 数几何学 和微分 几何学 但 是克莱因的观点 给大部分几何学提供 了一个系统 的分类 方法 而且 提 示 了许 多 可 供 研 究 的 问题 尤 其 是 在 当代 李 群 的理 论 已 经广 泛 地用 于 几 何 学 和 物 理 学 乃 至工 程 科 学 的 研 究 许 多 几 何 空 间 的结 构 都 容 许 一 定 的 变 换 群 的 作 用 它 们 的 变 换 理 论 是 重 要 的 研 究 课 题 这 些 问题 的提 出 与 克 莱 因 的思 想 有 关 群及其子 群的结构 和分类是代数 学 中的 问题 而几何 学 中的变换 群为抽象 的群论 提供 了重要 的 例 证 并 且 为 群 论 的抽 象 研 究 提 出 不 少 课 题 另 外 几 何 变 换 理 论 与 日常 生 活 生 产 科 研 都 有 密 切 的关 系 因 此 在 学 几 何 的 时候 必 须 把 几 何 变换 理 论 作 为 重要 的 内容 之 一 未 完 待 续 上 接 第 4页 d x d d d y一 1 7 现在 用 外 乘 法 一 乘 八 d x d y 八 d y 0 而 八 因 为乘 法 是反 对 称 的 所 以 是 刚 好 乘 以 x x Y Y一 Y 的雅可 比 这个符号是雅 可 比 是 四个偏 微分所 成的行 列 式 所 以 八 一 八 1 8 这个 刚巧是我们 重积分换 变数 的一个 关系 我们 知道重 积分 要是换 变