【全程复习方略】高中数学 2.3.2 离散型随机变量的方差课时提升作业（十六）新人教A版选修23.doc

课时提升作业(十六)离散型随机变量的方差一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014广州高二检测)在某电视台举办的“麦霸”歌手大奖赛上,五位歌手的分数如下:9.4,9.4,9.6,9.4,9.7,则五位歌手得分的期望与方差分别为()a.9.4,0.484b.9.4,0.016c.9.5,0.04d.9.5,0.016【解题指南】先求出五位歌手的平均得分,得到五位歌手得分的期望;再由方差计算公式求解五位歌手得分的方差.【解析】选d.五位歌手得分的期望=15(9.4+9.4+9.6+9.4+9.7)=9.5.五位歌手得分的方差=15(9.4-9.5)2+(9.4-9.5)2+(9.6-9.5)2+(9.4-9.5)2+(9.7-9.5)2=0.016.2.某厂一批产品的合格率是98%,检验单位从中有放回地随机抽取10件,则计算抽出的10件产品中正品数的方差是()a.0.89b.0.121c.0.169d.0.196【解析】选d.用x表示抽得的正品数,由于是有放回地随机抽取,所以x服从二项分布b(10,0.98),所以方差d(x)=100.980.02=0.196.3.设服从二项分布b(n,p)的随机变量x的期望和方差分别是2.4与1.44,则二项分布的参数n,p的值为()a.n=4,p=0.6b.n=6,p=0.4c.n=8,p=0.3d.n=24,p=0.1【解析】选b.xb(n,p),则e(x)=np.d(x)=np(1-p).即np=2.4,np(1-p)=1.44,则解出p=0.4,n=6,故选b.4.(2014石家庄高二检测)已知随机变量的分布列如表,则随机变量的方差d()的最大值为()012py0.4xa.0.72b.0.6c.0.24d.0.48【解题指南】根据三个变量对应的概率之和是1,写出y与x之间的关系,写出变量的期望和变量平方的期望,写出方差的表示式,表示式是一个关于x的二次函数,根据二次函数求最值可得答案.【解析】选b.由题意知y=0.6-x,因为e()=0.4+2x,所以e(2)=0.4+4x,d()=e(2)-(e()2=0.4+4x-(0.4+2x)2=-4x2+2.4x+0.24,当x=0.3时,d()max=0.6.故选b.5.设一随机试验的结果只有a和a,且p(a)=m,令随机变量x=1,a发生,0,a不发生,则x的方差d(x)=()a.mb.2m(1-m)c.1-md.m(1-m)【解题指南】根据随机试验的结果只有a和a,p(a)=m,随机变量x=1,a发生,0,a不发生,得到随机变量符合两点分布,根据两点分布的方差公式得到结果.【解析】选d.因为由题意知一随机试验的结果只有a和a,且p(a)=m,随机变量x=1,a发生,0,a不发生,所以x服从两点分布,所以d(x)=m(1-m).故选d.6.(2014大连高二检测)2014年元旦联欢会上有四位同学分别写了一张贺年卡,先集中起来,然后每人任意去拿一张,记自己拿到自己写的贺年卡的人数为x,则随机变量x的方差d(x)为()a.3b.2c.1d.12【解题指南】由题意可得:x可能取到的数值为0,1,2,4,分别计算出其发生的概率,进而可得x的分布列.根据x的分布列与期望、方差的公式可得答案.【解析】选c.由题意可得:x可能取到的数值为0,1,2,4.四张贺卡四人来取,总的取法有4321=24种,四人所抽取的都不是自己所写的贺卡的种数为3(111+211)=9,四人所抽取的都不是自己所写的贺卡的概率是924=38,所以p(x=0)=924=38,同理p(x=1)=824=13,p(x=2)=624=14,p(x=4)=124.所有x的分布列为:x0124p381314124由表可得:e()=038+113+214+4124=1,所以d()=(1-0)238+(1-1)213+(1-2)214+(1-4)2124=1.故选c.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2013上海高考)设非零常数d是等差数列x1,x2,x3,x19的公差,随机变量等可能地取值x1,x2,x3,x19,则方差d()=.【解析】e()=x10,d()=d219(92+82+12+02+12+92)=30d2.答案:30d28.已知随机变量x的分布列如下表所示:x-102pabc若e(x)=0,d(x)=1,则abc=.【解题指南】根据所给的离散型随机变量的分布列,利用三个概率之和等于1,期望值和方差,得到三个方程,解方程组求出a,b,c,即可求出abc的值.【解析】由分布列得a+b+c=1,由期望e(x)=0得-a+2c=0,由d(x)=1得a(-1-0)2+b(0-0)2+c(2-0)2=1,即a+4c=1,由得a=13,b=12,c=16,所以abc=136.答案:1369.(2014扬州高二检测)设一次试验成功的概率为p,进行100次独立重复试验,当p=时,成功次数的标准差的值最大,其最大值为.【解析】由独立重复试验的方差公式可以得到d()=np(1-p)np+1-p22=n4,等号在p=q=12时成立,所以d()max=1001212=25,d()max=25=5.答案:125三、解答题(每小题10分,共20分)10.某学校为高二年级开展第二外语选修课,要求每位同学最多可以选报两门课程.已知有75%的同学选报法语课,有60%的同学选报日语课.假设每个人对课程的选报是相互独立的,且各人的选报相互之间没有影响.(1)任选1名同学,求其选报过第二外语的概率.(2)任选3名同学,记为3人中选报过第二外语的人数,求的分布列、期望和方差.【解析】设事件a:选报法语课;事件b:选报日语课.由题设知,事件a与b相互独立,且p(a)=0.75,p(b)=0.6.(1)方法一:任选1名同学,该同学一门课程都没选报的概率是p1=p(ab)=p(a)p(b)=0.250.4=0.1.所以该人选报过第二外语的概率是p2=1-p1=1-0.1=0.9.方法二:任选1名同学,该同学只选报一门课程的概率是p3=p(ab)+p(ab)=0.750.4+0.250.6=0.45,该人选报两门课程的概率是p4=p(ab)=0.750.6=0.45.所以该同学选报过第二外语的概率是p5=p3+p4=0.45+0.45=0.9.(2)因为每个人的选报是相互独立的,所以3人中选报过第二外语的人数服从二项分布b(3,0.9),p(=k)=c3k0.9k0.13-k,k=0,1,2,3,即的分布列是0123p0.0010.0270.2430.729的期望是e()=10.027+20.243+30.729=2.7(或的期望是e()=30.9=2.7),的方差是d()=30.9(1-0.9)=0.27.【变式训练】把4个球随机地投入4个盒子中去,设表示空盒子的个数,求e(),d().【解析】每个球投入到每个盒子的可能性是相等的.总的投球方法数为44,空盒子的个数可能为0个,此时投球方法数为a44=4!,所以p(=0)=4!44=332;空盒子的个数为1时,此时投球方法数为c41c42a33,所以p(=1)=916.同样可分析p(=2)=c42c42+c42c43a2244=2164,p(=3)=c4144=164.所以的分布列为0123p3329162164164所以e()=8164,d()=1 695642.11.(2014惠州高二检测)一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球.(1)采取放回抽样方式,从中摸出两个球,求两球恰好颜色不同的概率.(2)采取不放回抽样方式,从中摸出两个球,求摸得白球的个数的期望和方差.【解析】(1)“有放回摸球”可看作独立重复试验,因为每次摸出一球得白球的概率为p=26=13.所以“有放回摸两次,颜色不同”的概率为c21131-13=49.(2)设摸得白球的个数为,依题意得:p(=0)=4635=25,p(=1)=4625+2645=815,p(=2)=2615=115,所以e()=025+1815+2115=23,d()=0-23225+1-232815+2-232115=1645.一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014烟台高二检测)设导弹发射的事故率为0.01,若发射10次,其出事故的次数为,则下列结论正确的是()a.e()=0.1b.d()=0.1c.p(=k)=0.01k0.9910-kd.p(=k)=c10k0.99k0.0110-k【解析】选a.由题意知本题是在相同的条件下发生的试验,发射的事故率都为0.01,故本题符合独立重复试验,即b(10,0.01),所以e()=100.01=0.1.故选a.2.设10x1x2x3d(2)b.d(1)=d(2)c.d(1)d(2).3.已知随机变量x的分布列为p(x=k)=13,k=1,2,3,则d(6x+5)等于()a.9b.4c.29d.24【解题指南】由p(x=k)=13,k=1,2,3,知e(x)=(1+2+3)13=2,由此求出d(x).然后由d(6x+5)=36d(x),能求出最终结果.【解析】选d.因为p(x=k)=13,k=1,2,3,所以e(x)=(1+2+3)13=2,d(x)=13(1-2)2+(2-2)2+(3-2)2=23.所以d(6x+5)=36d(x)=24.故选d.【变式训练】设随机变量满足e()=-1,d()=3,则e3(2-2)=()a.9b.6c.30d.36【解题指南】利用d()=e(2)-(e()2,e(k)=ke(),e(x+y)=e(x)+e(y),结合条件,即可求得e3(2-2)的值.【解析】选b.因为d()=e(2)-(e()2,e()=-1,d()=3,所以e(2)=3+(-1)2=4.再由性质:e(k)=ke(),e(x+y)=e(x)+e(y)得e3(2-2)=3e(2-2)=3e(2)+e(-2)=3(4-2)=6.故选b.4.(2014承德高二检测)某种种子每粒发芽的概率是90%,现播种该种子1000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为x,则x的数学期望与方差分别是()a.100,90b.100,180c.200,180d.200,360【解题指南】首先分析题目已知某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1000粒,即不发芽率为0.1,故没有发芽的种子数服从二项分布,即b(1000,0.1).又没发芽的补种2个,故补种的种子数记为x=2,根据二项分布的期望公式、方差公式,即可求出结果.【解析】选d.由题意可知播种了1000粒,没有发芽的种子数服从二项分布,即b(1000,0.1).而每粒需再补种2粒,补种的种子数记为x,故x=2,则e(x)=2e()=210000.1=200,故方差为d(x)=d(2)=22d()=4npq=410000.10.9=360.二、填空题(每小题4分,共8分)5.(2014哈尔滨高二检测)已知随机变量所有的取值为1,2,3,对应的概率依次为p1,p2,p1,若随机变量的方差d()=12,则p1+p2的值是.【解析】由分布列的性质可得2p1+p2=1,(*)由数学期望的计算公式可得e()=1p1+2p2+3p1=2(2p1+p2)=2.由方差的计算公式可得d()=(1-2)2p1+(2-2)2p2+(3-2)2p1=2p1=12,解得p1=14.把p1=14代入(*)得214+p2=1,解得p2=12.所以p1+p2=14+12=34.答案:346.某班从5名班干部(其中男生3人,女生2人)中选3人参加学校学生会的干部竞选.设所选3人中女生人数为,则随机变量的方差d()=.【解题指南】的所有可能取值为0,1,2,再根据题意分别求出其概率即可得到其分布列,进而求出其期望和方差.【解析】的所有可能取值为0,1,2,所以依题意得:p(=0)=c33c53=110,p(=1)=c32c21c53=35,p(=2)=c31c22c53=310,所以的分布列为012p11035310所以e()=0110+135+2310=65.d()=0-652110+1-65235+2-652310=925.答案:925三、解答题(每小题13分,共26分)7.有a,b两种钢筋,从中取等量样品检查它们的抗拉强度,指标如下:a110120125130135p0.10.20.40.10.2b100115125130145p0.10.20.40.10.2其中a,b分别表示a,b两种钢筋的抗拉强度.在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120,试比较a,b两种钢筋哪一种质量较好.【解析】先比较a与b的期望值,因为e(a)=1100.1+1200.2+1250.4+1300.1+1350.2=125,e(b)=1000.1+1150.2+1250.4+1300.1+1450.2=125.所以,它们的期望相同.再比较它们的方差.因为d(a)=(110-125)20.1+(120-125)20.2+(130-125)20.1+(135-125)20.2=50,d(b)=(100-125)20.1+(115-125)20.2+(130-125)20.