【全程复习方略】（山东专用）高中数学 8.7抛 物 线课时提能训练 理 新人教B版.doc

【全程复习方略】（山东专用）2013版高中数学 8.7抛 物 线课时提能训练 理 新人教b版 (45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分) 1.设抛物线y28x上一点p到y轴的距离是4，则点p到该抛物线焦点的距离是()(a)4 (b)6 (c)8 (d)122.以抛物线yx2的焦点为圆心，3为半径的圆与直线4x3y20相交所得的弦长为()(a) (b)2 (c)4 (d)83.(2012福州模拟)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，这样的直线共有()(a)1条 (b)2条 (c)3条 (d)4条4.(2012德州模拟)边长为1的等边三角形aob，o为坐标原点，abx轴，以o为顶点且过a、b的抛物线方程是()(a)y2x (b)y2x(c)y2x (d) y2x5.过抛物线y24x的焦点f，作抛物线的弦ab，a(x1，y1)，b(x2，y2)，若x1x26，则ab的长度是()(a)6 (b)7 (c)8 (d)96.已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于a、b两点，若线段ab的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()(a)x1 (b)x1(c)x2(d)x2二、填空题(每小题6分，共18分)7.(易错题)抛物线yx2的焦点与双曲线1的上焦点重合，则m.8.(2012淄博模拟)从抛物线y24x上一点p引抛物线准线的垂线，垂足为m，且|pm|5，设抛物线的焦点为f，则mpf的面积为.9.已知点p在直线xy50上，点q在抛物线y22x上，则|pq|的最小值等于.三、解答题(每小题15分，共30分)10.(2011江西高考)已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于a(x1，y1)，b(x2，y2)(x10)与圆c2：x2y2交于m、n两点，且mon120.(1)求抛物线c1的方程；(2)设直线l与圆c2相切.若直线l与抛物线c1也相切，求直线l的方程.若直线l与抛物线c1交于不同的a、b两点，求的取值范围.【探究创新】(16分)已知抛物线x22y的焦点为f，准线为l，过l上一点p作抛物线的两条切线，切点分别为a、b.某学习小组在研究讨论中提出如下三个猜想：(1)直线pa、pb恒垂直；(2)直线ab恒过焦点f；(3)等式2中的恒为常数.现请你一一进行论证.答案解析1.【解析】选b.点p到y轴的距离是4，延长使得和准线相交于点q，则|pq|等于点p到焦点的距离，而|pq|6，所以点p到该抛物线焦点的距离为6.【方法技巧】抛物线上有关距离的求解技巧抛物线上的点到焦点的距离与抛物线上的点到准线的距离经常相互转化：(1)若求点到焦点的距离，则可联想点到准线的距离；(2)若求点到准线的距离，则经常联想点到焦点的距离.解题时一定要注意.2.【解析】选c.因为抛物线yx2的标准方程为x24y，所以，焦点坐标为(0,1)，即圆心坐标为(0,1)，它到直线4x3y20的距离为d1，所以弦长为24.3.【解析】选c.作出图形，可知点(0,1)在抛物线y24x外.因此，过该点可作抛物线y24x的切线有两条，还能作一条与抛物线y24x的对称轴平行的直线，因此共有三条直线与抛物线只有一个交点.4.【解析】选c.设abx轴于点d，则|od|1cos30，|ad|1sin30，所以a(，)或a(，).由题意可设抛物线的方程为y22px.将点a的坐标代入即可得2p.故选c.5.【解析】选c.如图，分别过a、b作准线的垂线ag、bh，|ab|af|bf|，又|af|ag|x11，|bf|bh|x21，|ab|af|bf|x1x228.6.【解析】选b.方法一：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由题意知直线ab的方程为：yx，与y22px联立消去x整理得：y22pyp20，y1y22p，由题意知：y1y24，p2，抛物线的方程为y24x，其准线方程为x1，故选b.方法二：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由题意得y1y24，y2px1，y2px2，两式相减得：kab1，p2，抛物线的方程为y24x，其准线方程为x1.【方法技巧】弦中点问题的常用结论及求解技巧(1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，同时，要注意使用条件是0. (2)在椭圆1(ab0)中，以p(x0，y0)(y00)为中点的弦所在直线的斜率k.(3)在双曲线1(a0，b0)中，以p(x0，y0)(y00)为中点的弦所在直线的斜率k.(4)在抛物线y22px(p0)中，以p(x0，y0)(y00)为中点的弦所在直线的斜率k.7.【解析】因为抛物线yx2的标准方程为x216y，焦点坐标为(0,4)，又因为双曲线1的上焦点坐标为(0，)，依题意有：4，解得m13.答案：13【误区警示】本题易出现yx2的焦点为(0，)的错误，原因是对抛物线的标准方程记忆不准确.8.【解析】y24x的准线方程为x1.点p坐标为(4，4)，smpf|pm|yp|5410.答案：109.【解析】设与直线xy50平行且与抛物线y22x相切的直线方程是xym0，则由消去x得y22y2m0，令48m0，得m，因此|pq|的最小值等于直线xy50与xy0间的距离，即.答案：【方法技巧】求圆锥曲线上点到直线上点的距离最值问题的方法(1)一般转化为直线与该直线平行且与圆锥曲线相切的平行线间的距离求解；(2)也可在圆锥曲线上取一点(x0，y0)利用点到直线的距离公式，转化为求函数的最值.10.【解析】(1)抛物线y22px(p0)的焦点坐标为(，0)，所以直线ab过点(，0)，斜率为2，所以直线ab的方程是y2(x)，与抛物线方程y22px联立，消去y整理得：4x25pxp20，所以x1x2，由抛物线的定义得：|ab|x1x2p9，解得p4，因此抛物线方程为：y28x.(2)由p4及4x25pxp20得x25x40，解得：x11，x24，y12，y24，从而a(1，2)，b(4,4)，设c(x3，y3)，则有(x3，y3)，(1，2)(4,4)(14，24)，又因为，所以(x3，y3)(14，24)，即x314，y324，又因为y8x3，即(24)28(14)，即(21)241，解得0或2.【变式备选】动点p在x轴与直线l：y3之间的区域(含边界)上运动，且到点f(0,1)和直线l的距离之和为4.(1)求点p的轨迹c的方程；(2)过点q(0，1)作曲线c的切线，求所作的切线与曲线c所围成区域的面积.【解析】(1)设p(x，y)，根据题意，得3y4，化简，得yx2(y3). (2)设过q的切线方程为ykx1，代入抛物线方程，整理得x24kx40.由16k2160，解得k1.于是所求切线方程为yx1(亦可用导数求得切线方程).切点的坐标为(2,1)，(2,1).由对称性知所求的区域的面积为s2x2(x1)dx.11.【解析】(1)因为mon120，所以om与x轴正半轴成30角，所以点m的坐标为(，)，代入抛物线方程得()22p，求得p1，所以抛物线c1的方程为x22y.(2)由题意可设l：ykxb，即kxyb0，因为l与圆c2相切，所以，即9b216(k21)()设直线l与抛物线c1：x22y即yx2相切于点t(t，t2)，因为函数yx2的导数为yx，所以()由()、()解得或所以直线l的方程为y2x4或y2x4.由得x22kx2b0，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x22k，x1x22b，且由4k28b0得k22b0()由()、()可得，解得b或b4，所以x1x2y1y2(x1x2)2x1x2b22b，)，即的取值范围是，).【探究创新】【证明】(1)由x22y，得y，对其求导，得yx，设a(x1，)、b(x2，)，则直线pa、pb的斜率分别为kpax1，kpbx2，由点斜式得直线pa方程为yx1(xx1)，即yx1x，同理，直线pb方程为yx2x，由、两式得点p坐标为(，)，点p在准线y上，即x1x21.kpakpbx1x21，papb，猜想(1)是正确的.(2)直线ab的斜率k，由点斜式得直线ab方程为y(xx1)，将上式变形并注意到x1x21，得yx，显然，直线ab恒过焦点f(0，)，猜想(2)是正确的.(3)当abx轴时，根据抛物线的对称性知a(1，)、b(1，)或a(1，)、b(1，)，这时点p坐标为(0，).(1,0)(1,0)1，(0，1)，21，有1.下面证2必成立，(x1，)(0，)(x1，)，(x2，)(0，)(x2，)，x1x2(x1)(x1)x1x2(xxxx1)x1x2(x1x2)22x1x2(x1x2)211(1)22(1)(x1x2)211(x1x2)2.又(，)(0，)(，)(0，)(，1)，2(x1x2)21，故2，恒为1.猜想(3)也是正确的.【变式备选】已知抛物线y24x，过点m(0,2)的直线l与抛物线交于a、b两点，且直线l与x轴交于点c.(1)求证：|ma|，|mc|，|mb|成等比数列；(2)设， ，试问是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由.【解析】(1)由题意设直线l的方程为：ykx2(k0)，联立方程可得