2018_2019年高中数学第一章计数原理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学案新人教A版.docx

1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质教材研读预习教材P3235，思考以下问题1杨辉三角具有哪些特点？2二项式系数的性质有哪些？要点梳理1杨辉三角的特点(1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即CCC.2二项式系数的性质自我诊断判断(正确的打“”，错误的打“”)1杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列()2二项式展开式的二项式系数和为CCC.()3二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同()答案1.2.3.思考：杨辉三角的第n行数字规律与二项展开式有何联系？提示：杨辉三角的第n行数字规律是二项式(ab)n展开式的二项式系数，即(ab)nCanCan1b1CanrbrCbn. 如图在“杨辉三角”中，斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，记其前n项和为Sn，求S19的值解由图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，第17项是C，第18项是C，第19项是C.S19(CC)(CC)(CC)(CC)CCCCCCCCCCC1CC1C274.解决与杨辉三角有关的问题的一般思路(1)观察：对题目进行多角度观察，找出每一行的数与数之间，行与行之间的数的规律(2)表达：将发现的规律用数学式子表达(3)结论：由数学表达式得出结论【温馨提示】杨辉三角的作用(1)直观地看出或探究二项式系数的性质；(2)当二项式系数不大时，可借助它直接写出各项的二项式系数跟踪训练如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第_行中从左到右第14与第15个数的比为23.解析由杨辉三角知，第一行中的数是C，C；第2行中的数是C，C，C；第3行中的数是C，C，C，C，第n行中的数是C，C，C，C，设第n行中从左到右第14与第15个数的比为23，则CC23，解之得n34.答案34题型二求展开式的系数和思考：(ab)n的展开式的二次项系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：计算每一行的系数和，你能看出什么规律？提示：2,4,8,16,32,64，其系数和为2n. 若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0，求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6；(4)|a0|a1|a2|a7|.思路导引解决此类问题常用赋值法，对x赋特殊的值，从而求解解(1)令x0，则a01，令x1，则a7a6a1a027128.所以a1a2a7129.(2)令x1，则a7a6a5a4a3a2a1a0(4)7，由得：a1a3a5a7128(4)78256.(3)由得：a0a2a4a6128(4)78128.(4)解法一：(3x1)7展开式中a0，a2，a4，a6均小于零，a1，a3，a5，a7均大于零，|a0|a1|a2|a7|a1a3a5a7(a0a2a4a6)8256(8128)16384.解法二：|a0|a1|a2|a7|即为(13x)7展开式中各项的系数和，所以|a0|a1|a2|a7|(13)74716384.“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x0可得常数项，令x1可得所有项系数之和，令x1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差跟踪训练已知(13x)8a0a1xa7x7a8x8.求：(1)a0a1a8；(2)a0a2a4a6a8；(3)|a0|a1|a2|a8|.解(1)令x1，得a0a1a828256.(2)令x1，得a0a1a2a3a4a5a6a7a848.，得2(a0a2a4a6a8)2848，a0a2a4a6a8(2848)32896.(3)由于(13x)8CC(3x)C(3x)2C(3x)8a0a1xa2x2a8x8，故a0，a2，a4，a6，a80，a1，a3，a5，a70，|a0|a1|a2|a8|a0a1a2a3a84865536.思考：二项展开式中系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)，这种说法对吗？提示：错误二项展开式中项的系数与二项式系数是不同的，二项式系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)，但是项的系数的最大值与项其他数字因数的大小有关 已知f(x)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项思路导引令x1，求得各项系数和，而二项式系数之和为2n，依题意可解得n的值解(1)令x1，则二项式各项系数的和为f(1)(13)n4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n2n992.(2n)22n9920，(2n31)(2n32)0，2n31(舍)，或2n32，n5.由于n5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T3C(x)3(3x2)290x6，T4C(x)2(3x2)3270x.(2)展开式的通项公式为Tr1C3rx(52r)假设Tr1项系数最大，则有r.rN，r4.展开式中系数最大的项为T5C34x405x.(1)求二项式系数最大的项，要依据二项式系数的性质对(ab)n中的n进行讨论，n为奇数时中间两项的二项式系数最大；n为偶数时，中间一项的二项式系数最大(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的求展开式系数最大的项，如求(abx)n(a、bR展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法设展开式各项系数分别为A1，A2，An1，且第r1项系数最大，应用解出r来，即得系数最大的项跟踪训练在8的展开式中，(1)求二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项是第几项？解Tr1C()8rr(1)rC2rx.(1)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项，故T5C24x1120x6.(2)设第r1项系数的绝对值最大，则即整理得于是r5或6.故系数绝对值最大的项是第6项和第7项1.本节课的重点是二项式系数的性质及展开式的系数和问题，难点是二项式系数性质的应用2本节课要重点掌握的规律方法(1)与杨辉三角有关的问题，见典例1；(2)求展开式的系数和，见典例2；(3)展开式中的最大值问题，见典例3.3要重点关注以下几个易错点(1)若展开式的系数的绝对值与对应二项式系数相等，可转化为确定二项式系数的最值来解决(2)一般地，二项展开式f(x)