【全程复习方略】（山东专用）高中数学 7.8直线的方向向量与直线的向量方程、平面的法向量与平面的向量表示课时提能训练 理 新人教B版.doc

【全程复习方略】（山东专用）2013版高中数学 7.8直线的方向向量与直线的向量方程、平面的法向量与平面的向量表示课时提能训练 理 新人教b版 (45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分) 1.已知m(1,0,1)，n(0,1,1)，p(1,1,0)，则平面mnp的一个法向量是()(a)(1,0,0) (b)(0,1,0)(c)(0,0,1) (d)(1,1,1)2.在正方体abcda1b1c1d1中，若e为a1c1中点，则直线ce垂直于()(a)ac (b)bd (c)a1d (d)a1a3.已知正四棱柱abcda1b1c1d1中，aa12ab，e为aa1中点，则异面直线be与cd1所成角的余弦值为()(a) (b) (c) (d)4.如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别在a1d，ac上，且a1ea1d，afac，则()(a)ef至多与a1d，ac之一垂直(b)efa1d且efac(c)ef与bd1相交(d)ef与bd1异面5.(2012沈阳模拟)直角三角形abc的直角边ab在平面内，顶点c在外，且c在内的射影为c1(c1不在ab上)，则abc1是()(a)直角三角形 (b)锐角三角形(c)钝角三角形 (d)以上都有可能6.如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，棱长为a，m，n分别为a1b和ac上的点，a1man，则mn与平面bb1c1c的位置关系是()(a)相交 (b)平行 (c)垂直 (d)不能确定二、填空题(每小题6分，共18分)7.已知平面，的法向量分别是n1，n2，若，则n1与n2的关系是.8.设正四面体abcd的四个面bcd，acd，abd，abc的中心分别为o1，o2，o3，o4，则直线o1o2与o3o4所成角的大小为.9.(易错题)如图，正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，e、f分别是棱bc、dd1上的点，如果b1e平面abf，则ce与df的长度之和为.三、解答题(每小题15分，共30分)10.(2012威海模拟)如图所示的多面体是由底面为abcd的长方体被截面aefg所截而得，其中ab4，bc1，be3，cf4，若如图所示建立空间直角坐标系：(1)求和点g的坐标；(2)求异面直线ef与ad所成的角.11.(预测题)如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd为直角梯形，且adbc，abcpad90，侧面pad底面abcd.若paabbcad.(1)求证：cd平面pac；(2)侧棱pa上是否存在点e，使得be平面pcd？若存在，指出点e的位置并证明，若不存在，请说明理由.【探究创新】(16分)如图，直三棱柱abca1b1c1，底面abc中，cacb1，bca90，棱aa12，m、n分别是a1b1，a1a的中点，(1)求的模；(2)求cos，的值；(3)求证：a1bc1m；(4)求cb1与平面a1abb1所成的角的余弦值.答案解析1.【解析】选d.设平面mnp的一个法向量为n(x，y，z)，由已知得(1,1,0)，(1,0，1)，n，n，解得，取x1，则n(1,1,1).【方法技巧】平面的法向量的求法设出平面的一个法向量n(x，y，z)，利用其与该平面内的两个不共线向量垂直，即数量积为0，列出方程组.两个方程，三个未知数，此时给其中一个变量恰当赋值，求出该方程组的一个非零解，即得到这个法向量的坐标.注意，赋值不同得到法向量的坐标也不同，法向量的坐标不唯一.2.【解题指南】合理建立坐标系，分别求出选项中的线段对应的向量，即可求得结果.【解析】选b.以a为原点，ab、ad、aa1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则a(0,0,0)，c(1,1,0)，b(1,0,0)，d(0,1,0)，a1(0,0,1)，e(，1)，(，1)，(1,1,0)，(1,1,0)，(0,1，1)，(0,0，1)，显然00，即cebd.3.【解析】选c.建立如图所示空间直角坐标系，令aa12ab2，则e(1,0,1)，b(1,1,0)，c(0,1,0)，d1(0,0,2).(0，1,1)，(0，1,2).cos，.【变式备选】在正方体abcda1b1c1d1中，m为dd1的中点，o为底面abcd的中心，p为棱a1b1上任意一点，则直线op与直线am所成的角是()(a) (b) (c) (d)【解析】选d.建立坐标系，通过向量的坐标运算可知amop总成立，即am与op所成角为.4.【解析】选b.设ab1，以d为原点，da所在直线为x轴，dc所在直线为y轴，dd1所在直线为z轴建立空间直角坐标系.则d(0,0,0)，a1(1,0,1)，a(1,0,0)，c(0,1,0)，e(，0，)，f(，0)，b(1,1,0)，d1(0,0,1)，(1,0，1)，(1,1,0)，(，)，(1，1,1)，0，从而efbd1，efa1d，efac.5.【解题提示】画出图象，利用三垂线定理的逆定理求解.【解析】选a.如图，cc1平面，bc1为bc在平面内的射影.又ab，且abbc，abbc1即abc1为直角三角形.6.【解题指南】建立坐标系，判断与平面bb1c1c的法向量的关系.【解析】选b.分别以c1b1，c1d1，c1c所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.a1mana，m(a，a，)，n(a，a，a).(，0，a).又c1(0,0,0)，d1(0，a,0)，(0，a,0).0.是平面bb1c1c的一个法向量，且mn平面bb1c1c，mn平面bb1c1c.7.【解析】设a，在平面内作直线la，则由，得l，又n2，n2与直线l平行，l，n1l，n1n2.答案：垂直8.【解析】以o1为原点，o1c为x轴，o1a为z轴，建立如图所示的坐标系，设ab1，则b(，0)，d(，0)，c(，0,0)，a(0,0，)，o2(，)，o3(，0，)，o4(，)(，)，(，0)，00，o1o2o3o4，即o1o2与o3o4所成的角为.答案：9.【解析】以d1为坐标原点，d1a1、d1c1、d1d所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系d1xyz，设cea，dfb，则易知e(a,1,1)，b1(1,1,0)(a1,0,1)，又f(0,0,1b)，b(1,1,1)(1,1，b)，由于abb1e，故若b1e平面abf，只需(1,1，b)(a1,0,1)0ab1.答案：110.【解析】(1)由图可知：a(1,0,0)，b(1,4,0)，e(1,4,3)，f(0,4,4)，(1,0,1)，又，设g点坐标为(0,0，z)，则(1,0，z)(1,0,1)，z1，即g(0,0,1).(2)方法一：adbc，作ehbc且交cf于h点，则feh为所求角，fh431，ehbc1，feh45，即所求角为45.方法二：(1,0,0)，(1,0,1)，cos，ad和ef所成的角为45.11.【解题指南】第(1)问可以直接利用线面平行，垂直的相关定理方法进行判断，第(2)问可以猜想pa上的特殊点(例如中点位置)为e；也可以建立直角坐标系利用向量法进行证明、判断.【解析】方法一：(1)因为pad90，所以paad.又因为侧面pad底面abcd，且侧面pad底面abcdad，所以pa底面abcd.而cd底面abcd，所以pacd.在底面abcd中，因为abcbad90，abbcad，所以accdad，所以accd.又因为paaca，所以cd平面pac.(2)在pa上存在中点e，使得be平面pcd，证明如下：设pd的中点是f，连结be，ef，fc，则efad，且efad.由已知bcad.又bcad，所以bcef，且bcef，所以四边形befc为平行四边形，所以becf.因为be平面pcd，cf平面pcd，所以be平面pcd.方法二：因为pad90，所以paad.又因为侧面pad底面abcd，且侧面pad底面abcdad，所以pa底面abcd.又因为bad90，所以ab，ad，ap两两垂直.分别以ab，ad，ap所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图设ad2，则a(0,0,0)，b(1,0,0)，c(1,1,0)，d(0,2,0)，p(0,0,1).(1)(0,0,1)，(1,1,0)，(1,1,0)，所以0，0，所以apcd，accd.又因为apaca，所以cd平面pac.(2)在pa上存在中点e，使得be平面pcd，则e(0,0，)，(1,0，).设平面pcd的一个法向量是n(x，y，z)，则.因为(1,1,0)，(0,2，1)，所以.取x1，则n(1,1,2).所以n(1,1,2)(1,0，)0，所以n.因为be平面pcd，所以be平面pcd.【探究创新】【解析】如图，建立空间直角坐标系cxyz.(1)依题意得b(0,1,0)、n(1,0,1)，|.(2)依题意得a1(1,0,2)，c(0,0,0)，b1(0,1,2)(1，1,2)，(0,1,2)，3，|，|，cos，.(3)依题意，得c1(0,0,2)、m(，2)，(1,1，2)，(，0)，00，a1bc1m.(4)方法一：取ab中点o，连结co，b1o，则co平面a1