定值与定点问题学案(教师版).doc

定值与定点问题一、证明某一代数式为定值例1、金牌学案P51例2练习1、已知椭圆分别交于点.解：设。 由，而为定值。 利用辅助元练习2、已知抛物线x24y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且（0）过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M证明为定值.解：由已知条件，得F(0，1)，0设A(x1，y1)，B(x2，y2)由，即得(x1，1y)(x2，y21)，所以 将式两边平方并把y1x12，y2x22代入得y12y2 解、式得y1，y2，且有x1x2x224y24，抛物线方程为yx2，求导得yx所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是yx1(xx1)y1，yx2(xx2)y2，即yx1xx12，yx2xx22解出两条切线的交点M的坐标为(，)(，1) 所以(，2)(x2x1，y2y1)(x22x12)2(x22x12)0所以为定值，其值为0二、证明曲线过定点例2、设平面直角坐标系xoy中，设二次函数的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.求：（1）求实数b的取值范围；（2）求圆C的方程;（3）问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论.解:（）令0，得抛物线与轴交点是（0，b）；令，由题意b0 且0，解得b1 且b0（）设所求圆的一般方程为令0 得这与0 是同一个方程，故D2，F令0 得0，此方程有一个根为b，代入得出Eb1所以圆C 的方程为.（）圆C 必过定点（0，1）和（2，1）证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边0120（b1）b0，右边0，所以圆C 必过定点（0，1）同理可证圆C 必过定点（2，1）练习3、已知一动圆M,恒过点F，且总与直线相切.（）求动圆圆心M的轨迹C的方程；（）探究在曲线C上,是否存在异于原点的两点,当时,直线AB恒过定点?若存在,求出定点坐标;若不存在,说明理由.解：(1) 因为动圆M,过点F且与直线相切,所以圆心M到F的距离等于到直线的距离。所以,点M的轨迹是以F为焦点, 为准线的抛物线,且,所以所求的轨迹方程为；(2) 假设存在A,B在上,所以,直线AB的方程:,即 即AB的方程为:,即 即:，令,得，所以,无论为何值,直线AB过定点(4,0)练习4、如图,椭圆的两焦点，与短轴两端点，构成为,面积为的菱形。 （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆相交于、两点(、不是左右顶点),且以为直径的圆过椭圆右顶点求证:直线过定点,并求出该定点的坐标解：（1）易得椭圆的方程为.（2） 由，即设M，则有因为以为直径的圆过椭圆右顶点，所以，而 代入并整得，化简整理得到均满足判别式大于0，所以当（舍去）；当.三、探求曲线在某条件下某一代数式是否取定值例3、已知过定点，圆心在抛物线上运动，若为在轴上截得的弦，设， （）当点运动时，是否变化？证明你的结论；（）求式子的最大值，并求取得最大值时的值和此时的方程.解：（1）作CDMN于D，连结CM，CN，CA，设C点的坐标为（x,y）,则 CM=CN,(4分)MN为定值.(2)在AMN中, 当且仅当.当MAN=时,MCN= ,此时, .练习5、已知定点H（3，0），动点P在y轴上，动点Q在x轴的正半轴，动点M满足：设动点M的轨迹为曲线C，过定点D（m，0）（常数m0）的直线与曲线C相交于A、B两点.（1）求曲线C的方程； （2）是否存在实数a，使得以AD为直径的圆截直线所得的弦长恒为定值？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.解：（1）设M（x,y）,P（0,y）,Q（x,0）(x0)（3，y）(x,yy)=0（2）假设存在满足条件的实数a，AD的中点为，与AD为直径的圆相交于点F、G，FG的中点为I，则，点的坐标为|FG|与x1的取值无关， am+