【全程复习方略】（文理通用）高三数学一轮复习 7.2空间几何体的表面积与体积精品试题 (2)(1).doc

空间几何体的表面积与体积(45分钟100分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.已知某球的体积大小等于其表面积大小,则此球的半径是()a.3b.3c.4d.5【解析】选b.设球的半径为r,则43r3=4r2,所以r=3.2.(2013湖州模拟)轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是()a.12b.23c.13d.14【解析】选b.设圆柱的底面半径为r,则圆柱的侧面积s侧=2r2r=4r2,圆柱的全面积s全=2r2r+2r2=6r2,所以s侧s全=23.3.(2013山东高考)一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如图所示,该四棱锥侧面积和体积分别是()a.45,8b.45,83c.4(5+1),83d.8,8【解析】选b.由题干图知,此棱锥高为2,底面正方形的边长为2,v=13222=83,侧面积需要计算侧面三角形的高h=22+12=5,s侧=41225=45.4.(2013湖南高考)已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,侧视图是一个面积为2的矩形,则该正方体的正视图的面积等于()a.32b.1c.2+12d.2【解析】选d.根据条件得知正视图和侧视图一样,是正方体的一个对角面,故面积相等.5.一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3cm,瓶里所装的水深为8cm,将一个钢球完全浸入水中,瓶中水的高度上升到8.5cm,则钢球的半径为()a.1 cmb.1.2 cmc.1.5 cmd.2 cm【解析】选c.因为v球=43r3=328.5-328=4.5,所以r=32=1.5(cm).【加固训练】圆柱形容器内盛有高度为8cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图),则球的半径是cm.【解析】设球半径为r,则由3v球+v水=v柱,可得343r3+r28=r26r,解得r=4.答案:46.(2014温州模拟)已知一个棱长为2的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()a.8b.203c.173d.143【解析】选c.由三视图可知,该几何体如图,即一个正方体由一个平面截去了一个三棱台,所以其体积v=v正方体-vaef-a1b1d1=23-13212+122+2=8-73=173.7.设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为()a.3a2b.6a2c.12a2d.24a2【解析】选b.由于长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,则长方体的体对角线长为(2a)2+a2+a2=6a.又长方体外接球的直径2r等于长方体的体对角线,所以2r=6a.所以s球=4r2=6a2.【加固训练】(2013广州模拟)设一个球的表面积为s1,它的内接正方体的表面积为s2,则s1s2的值等于()a.2b.6c.6d.2【解析】选d.设正方体的棱长为a,则球的半径为r=32a,所以s1s2=4r26a2=234a23a2=2.8.(能力挑战题)某几何体的三视图如图所示,当a+b取最大值时,这个几何体的体积为()a.16b.13c.23d.12【思路点拨】由三视图画出相应的直观图,然后构造出关于a,b的关系式,利用基本不等式求最值.【解析】选d.由题意知,该几何体的直观图如图所示,且ac=6,bd=1,bc=b,ab=a.设cd=x,ad=y,则x2+y2=6,x2+1=b2,y2+1=a2,消去x2,y2得a2+b2=8(a+b)22,所以a+b4,当且仅当a=b=2时等号成立,此时x=3,y=3,所以v=1312133=12.【误区警示】解答本题常见的错误是忽视a+b取最大值这一条件.二、填空题(每小题5分,共20分)9.(2014宁波模拟)三棱柱的三视图(正视图和俯视图是正方形,侧视图是等腰直角三角形)如图所示,则这个三棱柱的全面积等于.【解析】由三视图可知:该三棱柱的形状如图,其s全=sabc+sa1b1c1+saa1b1b+saa1c1c+sbb1c1c=1222+1222+22+22+222=12+42.答案:12+4210.将边长为a的正方形abcd沿对角线ac折起,使bd=a,则三棱锥d -abc的体积为.【解析】设正方形abcd的对角线ac,bd相交于点e,沿ac折起后依题意得,当bd=a时,bede,所以de平面abc,于是三棱锥d -abc的高为de=22a,所以三棱锥d -abc的体积v=1312a222a=212a3.答案:212a311.一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.【解析】由三视图可知,此几何体的上面是圆锥,其底面半径为1,高是3,此几何体的下面是长方体,其长、宽、高分别是3,2,1,因此该几何体的体积v=321+13123=6+(m3).答案:(6+)12.如图,在长方体abcd-a1b1c1d1中,ab=ad=3cm,aa1=2cm,则四棱锥a-bb1d1d的体积为cm3.【解析】关键是求出四棱锥a -bb1d1d的高.连接ac交bd于o,在长方体中,因为ab=ad=3,所以bd=32且acbd.又因为bb1底面abcd,所以bb1ac.又dbbb1=b,所以ac平面bb1d1d,所以ao为四棱锥a -bb1d1d的高且ao=12bd=322.因为s矩形bb1d1d=bdbb1=322=62,所以va -bb1d1d=13s矩形bb1d1dao=1362322=6(cm3).答案:6三、解答题(13题12分,1415题各14分)13.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为8,高为4的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为6,高为4的等腰三角形,(1)求该几何体的体积v.(2)求该几何体侧面积s.【解析】由已知可得,该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥v-abcd,如图所示.(1)v=13(86)4=64.(2)该四棱锥有两个侧面vad,vbc是全等的等腰三角形,且bc边上的高为h1=42+822=42,另两个侧面vab,vcd也是全等的等腰三角形,ab边上的高为h2=42+622=5,因此s=21285+12642=40+242.14.如图是一个以a1b1c1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体,截面为abc,已知a1b1=b1c1=2,a1b1c1=90,aa1=4,bb1=3,cc1=2,求:(1)该几何体的体积.(2)截面abc的面积.【解析】(1)过c作平行于a1b1c1的截面a2b2c,交aa1,bb1分别于a2,b2.由直三棱柱性质及a1b1c1=90可知b2c平面abb2a2,则v=12222+1312(1+2)22=6.(2)在abc中,ab=22+(4-3)2=5,bc=22+(3-2)2=5,ac=(22)2+(4-2)2=23.则sabc=1223(5)2-(3)2=6.【一题多解】本题(1)问还可以用以下方法解答:延长b1b,c1c到b3,c3,使得b3b1=c3c1=aa1.则v=12224-1312(1+2)22=6.15.(能力挑战题)如图,在长方体abcd-a1b1c1d1中,ad=aa1=1,ab1,点e在棱ab上移动,小蚂蚁从点a沿长方体的表面爬到点c1,所爬的最短路程为22.(1)求ab的长度.(2)求该长方体外接球的表面积.【解析】(1)设ab=x,点a到点c1可能有两种途径,如图甲的最短路程为|ac1|=x2+4.如图乙的最短路程为|ac1|=(x+1)2+1=x2+2x+2,因为x1,所以x2+2x+2x2+2+2=x2+4,故从点a沿长方体的表面爬到点c1的最短距离为x2+4.由题意得x2+4=22,解得x=2.即ab的长度为2.(2)设长方体外接球的半径为r,则(2r)2=12+12+22=6,所以r2=32,所以s表=4r2=6.即该长方体外接球的表面积为6.【加固训练】在长方体abcd-a1b1c1d1中,ab=bc=2,过a1,c1,b三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体abcd-a1c1d1,这个几何体的体积为403.(1)求棱a1a的长.(2)求经过a1,c1,b,d四点的球的表面积.【解析】(1)设a1a=h,因为几何体abcd-a1c1d1的体积为403,所以即s四边形abcdh-13sa1b1c1h=403,即22h-131222h=403,解得h=4.所以a1a的长为4.(2)如图,连接d1b,设d1b的中点为o,连接oa1,oc1,od.因为abcd-a1b1c1d1是长方体,所以a1d1平