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文档简介

上一章介绍的抽样和抽样分布已为讨论统计推断 打下了必要的理论基础 何谓统计推断 就是利用资 料提供的信息 做出尽可能精确和可靠的结论 严格 地说 就是从总体中抽取一个样本获得信息后 对 总体做出推断 由于信息的有限性和样本的随机性 做出的推断不可能绝对准确 总会有一定程度的不确 定性 而所出现的不确定性可以用概率的大小来衡量 于是 我们称伴有一定概率的推断为统计推断 statisticalinference 第八章参数估计 在有些问题中 只须对总体的某些数字特征 如 数学期望和方差 做出估计 一般也称之为参数估计 或参数推断 parameterinference 问题 另一类问题将在下一章介绍 定义1 8 1点估计 设总体为X 是容量为n的一个样本 称为总体的阶原点矩 简称总体阶矩 称为总体的阶中心矩 显然为总体一阶矩 D X 为总体的二阶中心矩 定义2称 显然样本矩都是统计量 所谓矩估计法 就是用样本矩估计相应的总体矩 从而求得待估计参数的相应估计量 值 该估计量 值 成为矩估计量 值 矩估计法的实施步骤如下 设有个未知参数 1 求总体的前阶矩 其中 对于离散型总体 对于连续型总体 他们依赖于未知参数 2 将未知参数表示成的函数 即求解式 得 3 用样本矩代替总体相应的矩 得到未知参数的矩估计 例1 解 令 解方程组 未知参数的矩估计分别为 例2设总体X服从指数分布 即X的分布密度为 解 总体一阶矩为 令 则 例3设离散型总体X的概率分布为X123P其中为未知参数 试由样本值 求的矩估计值 解先求总体的一阶原点矩 有解得于是得到的矩估计再计算样本一阶原点矩 样本均值 观察值 将其代替中的 即得到的矩估计值 例设总体在上服从均匀分布 求未知参数a和b的矩估计 解 由于X的概率密度函数为 由于要估计两个未知参数 须先求总体的前二阶矩 解以上方程得 在例1中已经推得 故和的矩估计为 由例1知 样本二阶中心矩是总体方差的矩估计 根据这一结果可将矩估计方法推广开来 以两个参数为例 若未知参数可表示为则其矩估计为其中和仍为总体和样本的一阶原点矩 即总体均值和样本均值 为总体二阶中心矩 即总体方差 为总体二阶中心矩 用这个方法 例4的解题过程可大为简化 由 解得于是用替换 用替换就得到矩估计还要指出的是 一个未知参数的矩估计不一定唯一 例如 总体方差既可用做估计量 也可用做估计量 对同一个参数 用不同的方法可能得到不同的估计量 那么用什么方法判别不同的估计量之间的优劣呢 这就涉及到用什么样的标准来评判估计量的问题 最常用的有三个标准 无偏性 有效性 一致性 估计量是随机变量 对
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