【全程复习方略】（湖北专用）高中数学 8.8抛 物 线同步训练 理 新人教A版.doc

【全程复习方略】（湖北专用）2013版高中数学 8.8抛 物 线同步训练 理 新人教a版 (45分钟 100分)一、选择题（每小题6分，共36分）1.设抛物线y2=8x上一点p到y轴的距离是4，则点p到该抛物线焦点的距离是( )（a）4 （b）6 （c）8 （d）122.以抛物线y=的焦点为圆心，3为半径的圆与直线4x+3y+2=0相交所得的弦长为( )（a） （b） （c） （d）83.（易错题）过点（0，1）作直线，使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点，这样的直线共有( )（a）1条 （b）2条 （c）3条 （d）4条4.以抛物线y24x的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )（a）x2+y2+2x=0 （b）x2+y2+x=0（c）x2+y2-x=0 （d）x2+y2-2x=05.(2012黄冈模拟)已知抛物线x2=2py(p0)，过点m(0，-)向抛物线引两条切线，a、b为切点，则线段ab的长度是( )(a)2p(b)p(c)(d)6.(2012鄂州模拟)如图，过抛物线y2=2px(p0)的焦点f的直线l交抛物线于点a、b，交其准线于点c，若|bc|=2|bf|，且|af|=3，则此抛物线的方程为( )(a)y2=x(b)y2=3x(c)y2=x(d)y2=9x二、填空题（每小题6分，共18分）7.(易错题)抛物线y=的焦点与双曲线- =1的上焦点重合，则m=_.8.（2012武汉模拟）过抛物线y=8x2的焦点作直线交抛物线于a，b两点，线段ab的中点m的纵坐标为2，则线段ab的长为_.9.（2012黄石模拟）设f为抛物线y2=4x的焦点，a、b为该抛物线上两点，若+=,则|+2|=_.三、解答题（每小题15分，共30分）10.（2011江西高考）已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点，斜率为的直线交抛物线于a(x1,y1），b（x2,y2)(x10)与圆c2:x2+y2=交于m、n两点，且mon=120(1)求抛物线c1的方程；(2)设直线l与圆c2相切.若直线l与抛物线c1也相切，求直线l的方程.若直线l与抛物线c1交于不同的a、b两点，求的取值范围.【探究创新】（16分）已知抛物线x22y的焦点为f，准线为l，过l上一点p作抛物线的两条切线，切点分别为a、b.某学习小组在研究讨论中提出如下三个猜想：(1)直线pa、pb恒垂直；(2)直线ab恒过焦点f；(3)等式中的恒为常数现请你一一进行论证答案解析1.【解析】选b.点p到y轴的距离是4，延长使得和准线相交于点q，则|pq|等于点p到焦点的距离，而|pq|=6，所以点p到该抛物线焦点的距离为6.【方法技巧】抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离的求解技巧抛物线上的点到焦点的距离与抛物线上的点到准线的距离经常相互转化：(1)若求点到焦点的距离，则可联想点到准线的距离；(2)若求点到准线的距离，则经常联想点到焦点的距离.解题时一定要注意.2【解析】选c.因为抛物线y=的标准方程为x2=4y，所以，焦点坐标为(0,1)，即圆心坐标为(0,1)，它到直线4x+3y+2=0的距离为d=1，所以弦长为=.3.【解析】选c.作出图形，可知点（0，1）在抛物线y2=4x外.因此，过该点可作抛物线y2=4x的切线有两条，还能作一条与抛物线y2=4x的对称轴平行的直线，因此共有三条直线与抛物线只有一个交点.4.【解析】选d.因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为(x-1)2+y2=1，即x2-2x+y2=0，故选d.5.【解析】选a.设切线方程为y=kx-,由得x2-2pkx+p2=0,由=4p2k2-4p2=0得k=1.当k=1时，切点为(p,)；当k=-1时，切点为(-p,).ab的长度为2p.6.【解析】选b.过a、b分别作准线的垂线，垂足为a1，b1,记准线与x轴交点为f1，则bf=bb1.|cb|=2|bf|,|cb|=2|bb1|.b1cb=30.|a1a|=|ac|.|aa1|=|af|=3,|ac|=6,f为ac的中点.|ff1|=|aa1|=.抛物线方程为y2=3x.7.【解析】因为抛物线y=的标准方程为x2=16y，焦点坐标为(0，4)，又因为双曲线-=1的上焦点坐标为(0,），依题意有：4=，解得m=13.答案:13【误区警示】本题易出现y=的焦点为（0，）的错误，原因是对抛物线的标准方程记忆不准确.8.【解析】设a(x1,y1),b(x2,y2),则y1+y2=4.又y=8x2即x2=,2p=,p=,|ab|=y1+y2+p=.答案: 9.【解题指南】先过a，b两点分别作准线的垂线，再过b作ac的垂线，垂足为e，在直角三角形abe中，求得cosbae=,得出直线ab的斜率，进而得到直线ab的方程为：y=(x-1)，将其代入抛物线的方程求得a，b的坐标，最后利用距离公式求得结果即可.【解析】过a，b两点分别作准线的垂线，再过b作ac的垂线，垂足为e，设bf=m,则bd=m,+2=0,ac=af=2m,如图，在直角三角形abe中，ae=ac-bd=2m-m=m,ab=3m,cosbae=,直线ab的斜率为：k=tanbae=,直线ab的方程为:y=(x-1),将其代入抛物线的方程化简得：2x2-5x+2=0,x1=2,x2=a(2, ),b(,），又f（1，0），则|+2|=6.答案：610.【解析】(1)抛物线y22px(p0)的焦点坐标为(,0)，所以直线ab过点(,0)，斜率为，所以直线ab的方程是y=(x-)，与抛物线方程y2=2px联立，消去y得：4x2-5px+p2=0，所以x1+x2=，由抛物线的定义得：|ab|=x1+x2+p=9，解得p=4，因此抛物线方程为：y2=8x.(2)由p=4及4x2-5px+p2=0得x2-5x+4=0，解得：x11,x2=4,y1=,y2=，从而a(1,）,b(4,），设c(x3,y3)，则有=(x3,y3), +=(1,）+(4,）=(1+4, +）,又因为+，所以(x3,y3)=(1+4, +)，即x3=1+4，y3=+，又因为y32=8x3，即(+)2=8(1+4)，即(2-1)2=4+1，解得=0或=2【变式备选】动点p在x轴与直线l：y=3之间的区域（含边界）上运动，且到点f(0,1)和直线l的距离之和为4（1）求点p的轨迹c的方程；（2）过点q(0,-1)作曲线c的切线，求所作的切线与曲线c所围成区域的面积【解析】（1）设p(x,y)，根据题意，得=4，化简，得y=（y3) （2）设过q的切线方程为y=kx-1，代入抛物线方程，整理得x2-4kx+4=0由16k2-16=0解得k=于是所求切线方程为y=x-1（亦可用导数求得切线方程）.切点的坐标为（2，1），（2，1）由对称性知所求的区域的面积为s=.11【解析】(1)因为mon=120，所以om与x轴正半轴成30角，所以点m的坐标为(,)，代入抛物线方程得()2=2p，求得p=1，所以抛物线c1的方程为x2=2y. (2)由题意可设l:y=kx+b，即kx-y+b=0，因为l与圆c2相切，所以=，即9b2=16(k2+1) ()设直线l与抛物线c1:x2=2y即y=x2相切于点t(t， t2)，因为函数y=x2的导数为y=x，所以 ()由()、()解得或 所以直线l的方程为y=x-4或y=x-4， 由得x2-2kx-2b=0，设a(x1,y1),b(x2,y2)则x1+x2=2k，x1x2=-2b，且由=4k2+8b0得k2+2b0 ()由()、()可得，解得b或b-4，所以=x1x2+y1y2=(x1x2)2+x1x2=b2-2b-,+)，即的取值范围是，+）.【探究创新】【证明】(1)由x22y，得y，对其求导，得yx，设a(x1,)、b(x2,),则直线pa、pb的斜率分别为kpax1，kpbx2，由点斜式得直线pa方程为y-x1(xx1)，即yx1x ，同理，直线pb方程为yx2x ，由、两式得点p坐标为(，)，点p在准线y上，即x1x21.kpakpbx1x21，papb，猜想(1)是正确的(2)直线ab的斜率k，由点斜式得直线ab方程为y(xx1)，将上式变形并注意到x1x21，得y，显然，直线ab恒过焦点f(0，)，猜想(2)是正确的(3)当abx轴时，根据抛物线的对称性知a(1，)、b(1,)或a(1，)、b(1，)，这时点p坐标为(0，).(1,0)(1,0)1，(0，1)，1，有1.下面证必成立，(x1，)(0，)(x1，)，(x2，)(0，)(x2，)，x1x2(x121)(x221)x1x2()x1x2(x1x2)22x1x2(x1x2)211(1)22(1)(x1x2)211(x1x2)2.又(，)(0，)(，)(0，)(，1)，(x1x2)21，故，恒为1.猜想(3)也是正确的.【变式备选】已知抛物线y2=4x，过点m(0,2)的直线l与抛物线交于a、b两点，且直线l与x轴交于点c.(1)求证:|ma|，|mc|，|mb|成等比数列；(2)设 =， =试问+是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由【解析】(1)由题意设直线l的方程为：y=kx+2(k0) ，联立方程可得得