【全程复习方略】（文理通用）高三数学一轮复习 6.4基本不等式精品试题 (2)(1).doc

基本不等式(45分钟100分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2013杭州模拟)若a,br且ab0,则下列不等式中,恒成立的是()a.a+b2abb.1a+1b2abc.ba+ab2d.a2+b22ab【解析】选c.因为ab0,所以ba0,ab0.由基本不等式得ba+ab2,当且仅当ba=ab,即a=b时等号成立.故选c.【加固训练】设0ab,则下列不等式中正确的是()a.ababa+b2b.aaba+b2bc.aabba+b2d.abaa+b2b【解析】选b.方法一:令a=1,b=4,则ab=2,a+b2=52,所以aaba+b2b.方法二:因为0ab,所以a2ab,所以aab,a+b2b,所以a+b2b,所以aaba+b2b.2.(2013韶关模拟)若a1,则a+1a-1的最大值是()a.3b.ac.-1d.2aa-1【解析】选c.因为a1,所以a-10时,函数f(x)=2xx2+1有()a.最小值1b.最大值1c.最小值2d.最大值2【思路点拨】利用x0将函数分子、分母同除以x后利用基本不等式可解.【解析】选b.由x0得f(x)=2xx2+1=2x+1x22x1x=1,等号成立条件是x=1.4.圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0(a,br)对称,则ab的取值范围是()a.-,14b.0,14c.-14,0d.-,14【思路点拨】圆关于直线对称,则圆心在直线上,利用此条件可解.【解析】选a.由已知得圆心坐标为(-1,2),故-2a-2b+2=0,即a+b=1,故aba+b22=14.5.(2013台州模拟)已知a0,b0,且2是2a与b的等差中项,则1ab的最小值为()a.14b.12c.2d.4【解析】选b.由已知可得2a+b=4,因此422ab,所以00,b0,a+b=2,则1a+4b的最小值是()a.72b.4c.92d.5【解析】选c.由已知可得1a+4b=a+b21a+4b=12+2ab+b2a+252+22abb2a=92,当且仅当a=23,b=43时取等号,即1a+4b的最小值是92.7.若a0,b0,且a+b=1,则ab+1ab的最小值为()a.2b.4c.174d.22【思路点拨】由已知利用基本不等式得ab的取值范围而后换元利用函数的单调性求解.【解析】选c.由a+b=1,a0,b0得2aba+b=1,所以ab12,所以ab14.令ab=t,则0t14,则ab+1ab=t+1t,结合函数的图象可知y=t+1t在(0,14上单调递减,故当t=14时,t+1t有最小值为14+4=174.8.(2012浙江高考)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是()a.245b.285c.5d.6【解析】选c.由x+3y=5xy可得15y+35x=1,所以3x+4y=(3x+4y)15y+35x=95+45+3x5y+12y5x135+23x5y12y5x=135+125=5,当且仅当x=1,y=12时取等号,故3x+4y的最小值是5.【误区警示】本题在求解中容易出现的错误是:对x+3y运用基本不等式得到xy的范围,再对3x+4y运用基本不等式,然后通过不等式的传递性得到3x+4y的最值,忽视了基本不等式中等号成立的条件,没有注意到两次运用基本不等式时等号成立的条件不一致,从而导致错误.【方法技巧】妙用“1”的代换求代数式的最值在求解含有两个变量的代数式的最值问题时,通常的解决办法是变量替换或常值“1”的替换,即由已知条件得到某个式子的值为常数,然后将欲求最值的代数式乘上常数,再对代数式进行变形整理,从而可利用基本不等式求最值.二、填空题(每小题5分,共20分)9.已知x54,则函数y=4x-2+14x-5的最大值为.【解析】因为x0,所以y=4x-2+14x-5=-5-4x+15-4x+3-2+3=1,当且仅当5-4x=15-4x,即x=1时,上式等号成立,故当x=1时,ymax=1.答案:110.(2013济南模拟)若点a(1,1)在直线mx+ny-2=0上,其中mn0,则1m+1n的最小值为.【解析】因为点a(1,1)在直线mx+ny-2=0上,所以m+n=2.又mn0,则1m+1n=m+n21m+1n=121+nm+mn+12,当且仅当m=n=1时等号成立.答案:2【加固训练】(2013济宁模拟)函数f(x)=ax-1+3(a0,且a1)的图象过一个定点p,且点p在直线mx+ny-1=0(m0,n0)上,则1m+4n的最小值是()a.12b.13c.24d.25【解析】选d.函数f(x)=ax-1+3恒过点p(1,4),所以m+4n-1=0,m+4n=1.所以1m+4n=1m+4n(m+4n)=1+4nm+4mn+1625.当且仅当nm=mn,即m=n=15时等号成立,故选d.11.(2013衢州模拟)已知a0,b0,若不等式2a+1bm2a+b恒成立,则m的最大值等于.【解析】由于a0,b0,所以不等式可化为m(2a+b)2a+1b,而(2a+b)2a+1b=4+2ab+2ba+15+22ab2ba=9,当且仅当2ab=2ba,即a=b时(2a+b)2a+1b取最小值9,所以不等式恒成立时m的最大值等于9.答案:912.(能力挑战题)爬山是一种简单有趣的野外运动,有益于身心健康,但要注意安全,准备好必需物品,控制好速度.现有甲、乙两人相约爬山,若甲上山的速度为v1,下山的速度为v2(v1v2),乙上山和下山的速度都是v1+v22(甲、乙两人中途不停歇且下山时按原路返回),则甲、乙两人上下山所用的时间t1,t2的大小关系为.【解析】设上山路程为h,同理下山路程为h,则依题意有t1=hv1+hv2=hv1+v2v1v2h2v1v2v1v2=h2v1v2,t2=2hv1+v22=h4v1+v2t2.答案:t1t2三、解答题(13题12分,1415题各14分)13.(2013海淀模拟)若x,y(0,+),x+2y+xy=30.(1)求xy的取值范围.(2)求x+y的取值范围.【解析】由x+2y+xy=30,得(2+x)y=30-x,又2+x0,所以y=30-x2+x0,0x0,得x30.因为x+y=x+2+32x+2-3(0x30),令x+2=t(2t32),则由函数f(t)=t+32t的性质可知,当2t32时,f(t)f(32)=33,所以x+2+32x+2-330,即x+y0,y0,且2x+5y=20.(1)求u=lgx+lgy的最大值.(2)求1x+1y的最小值.【解析】(1)因为x0,y0,所以由基本不等式,得2x+5y210xy.因为2x+5y=20,所以210xy20,xy10,当且仅当2x=5y时,等号成立.因此有2x+5y=20,2x=5y,解得x=5,y=2,此时xy有最大值10.所以u=lgx+lgy=lg(xy)lg10=1.所以当x=5,y=2时,u=lgx+lgy有最大值1.(2)因为x0,y0,所以1x+1y=1x+1y2x+5y20=1207+5yx+2xy1207+25yx2xy=7+21020,当且仅当5yx=2xy时,等号成立.由2x+5y=20,5yx=2xy,解得x=1010-203,y=20-4103.所以1x+1y的最小值为7+21020.15.(能力挑战题)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件,每件水晶产品的销售价格为100元,固定成本为80元.从今年起,工厂投入100万元科技成本,并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本.预计产量每年递增1万件,每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n)=80n+1.若水晶产品的销售价格不变,第n次投入后的年利润为f(n)万元.(1)求出f(n)的表达式.(2)求从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?【解析】(1)第n次投入后,产量为(10+n)万件,销售价格为100元,固定成本为80n+1元,科技成本投入为100n万元.所以,年利润为f(n)=(10+n)100-80n+1-100n(nn*).(2)由(1)知f(n)=(10+n)100-80n+1-100n=1000-80n+1+9n+1520.当且仅当n+1=9n+1,即n=8时,利润最高,最高利润为520万元.所以,从今年算起第8年利润最高,最高利润为520万元.【加固训练】某单位用2160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=购地总费用建筑总面积)【解析】由题意知每平方米的平均购地费