山东省平度市高二数学上学期期中试题 文（含解析）.doc

2014-2015学年山东省青岛市平度市高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（50分）1（5分）过点（1，2）且与直线2x3y+4=0垂直的直线方程为（） a 3x+2y1=0 b 3x+2y+7=0 c 2x3y+5=0 d 2x3y+8=0【考点】： 直线的一般式方程与直线的垂直关系【专题】： 直线与圆【分析】： 根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线2x3y+4=0垂直的直线方程为3x2y+c=0，再把点（1，2）代入，即可求出c值，得到所求方程【解析】： 解：所求直线方程与直线2x3y+4=0垂直，设方程为3x2y+c=0直线过点（1，2），3（1）22+c=0c=1所求直线方程为3x+2y1=0故选：a【点评】： 本题主要考查了互相垂直的两直线方程之间的关系，以及待定系数法求直线方程，属于常规题2（5分）直线xcos+y+2=0的倾斜角范围是（） a ，）（， b 0，） c 0， d ，【考点】： 直线的倾斜角【专题】： 计算题【分析】： 本题考查的知识点是直线的斜率与倾斜角之间的转化关系，由直线的方程xcos+y+2=0，我们不难得到直线的斜率的表达式，结合三角函数的性质，不得得到斜率的取值范围，再根据斜率与倾斜角的关系，进一步可以得到倾斜角的取值范围【解析】： 解：设直线的倾斜角为，则tan=cos又1cos1，tan0，）故选b【点评】： 若tan1=k1，tan2=k2，直线l的斜率为k，则l的斜率k与倾斜角的关系为：若0k1kk2，01290；若k1kk20，9012180；若k1kk2，（k1k20），290或1180；3（5分）（2009武昌区模拟）若圆c的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（） a （x2）2+（y1）2=1 b （x2）2+（y+1）2=1 c （x+2）2+（y1）2=1 d （x3）2+（y1）2=1【考点】： 圆的标准方程【专题】： 计算题【分析】： 要求圆的标准方程，半径已知，只需找出圆心坐标，设出圆心坐标为（a，b），由已知圆与直线4x3y=0相切，可得圆心到直线的距离等于圆的半径，可列出关于a与b的关系式，又圆与x轴相切，可知圆心纵坐标的绝对值等于圆的半径即|b|等于半径1，由圆心在第一象限可知b等于圆的半径，确定出b的值，把b的值代入求出的a与b的关系式中，求出a的值，从而确定出圆心坐标，根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程即可【解析】： 解：设圆心坐标为（a，b）（a0，b0），由圆与直线4x3y=0相切，可得圆心到直线的距离d=r=1，化简得：|4a3b|=5，又圆与x轴相切，可得|b|=r=1，解得b=1或b=1（舍去），把b=1代入得：4a3=5或4a3=5，解得a=2或a=（舍去），圆心坐标为（2，1），则圆的标准方程为：（x2）2+（y1）2=1故选：a【点评】： 此题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，若直线与圆相切时，圆心到直线的距离d等于圆的半径r，要求学生灵活运用点到直线的距离公式，以及会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程4（5分）（2011朝阳区模拟）直线l过点（4，0）且与圆（x+1）2+（y2）2=25交于a、b两点，如果|ab|=8，那么直线l的方程为（） a 5x+12y+20=0 b 5x12y+20=0或x+4=0 c 5x12y+20=0 d 5x+12y+20=0或x+4=0【考点】： 直线的一般式方程；直线与圆相交的性质【专题】： 计算题；分类讨论【分析】： 当切线的斜率不存在时，求出直线l的方程，当斜率存在时，由弦心距、半弦长、半径三者间的关系可得弦心距等于3，解出 k值，即得直线l的方程【解析】： 解：当切线的斜率不存在时，直线l的方程为 x+4=0，经检验，此直线和圆相切，满足条件 当切线的斜率存在时，设直线l的方程为 y0=k （x+4 ），即 kxy+4k=0，则圆心（1，2）到直线l的距离为 d=再由 d2+=r2，得 =3，k=，直线l的方程为 y0=（x+4），即 5x+12y+20=0【点评】： 本题考查直线方程的点斜式，点到直线的距离公式的应用，以及弦心距、半弦长、半径三者间的关系，体现了分类讨论的数学思想5（5分）椭圆两焦点为f1（4，0）、f2（4，0），p在椭圆上，若pf1f2的面积的最大值为12，则椭圆方程是（） a +=1 b +=1 c +=1 d +=1【考点】： 椭圆的简单性质【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 由题意，当点p在短轴端点时，pf1f2的面积的最大值为12，此时可得，解得b，再求出a值，即可写出椭圆方程【解析】： 解：由题意，可得，解得b=3，又c=4，故a=5故椭圆的方程为+=1故选b【点评】： 本题考查椭圆的性质，判断出当点p在短轴端点时pf1f2的面积的最大值，从而建立方程求b，是解答的关键6（5分）若双曲线=1上点p到点（5，0）的距离为15，则点p到点（5，0）的距离为（） a 7 b 23 c 5或25 d 7或23【考点】： 双曲线的定义【专题】： 计算题【分析】： 根据双曲线的标准方程，写出实轴的长和焦点的坐标，根据双曲线的定义，得到两个关于要求的线段的长的式子，得到结果【解析】： 解：双曲线=1，2a=8，（5，0）（5，0）是两个焦点，点p在双曲线上，|pf1|pf2|=8，点p到点（5，0）的距离为15，则点p到点（5，0）是15+8=23或158=7故选d【点评】： 本题考查双曲线的定义，是一个基础题，解题的关键是注意有两种情况，因为这里是差的绝对值是一个定值，不要忽略绝对值7（5分）已知f是抛物线y2=x的焦点，a，b是该抛物线上的两点，|af|+|bf|=3，则线段ab的中点到y轴的距离为（） a b 1 c d 【考点】： 抛物线的简单性质【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出a，b的中点横坐标，求出线段ab的中点到y轴的距离【解析】： 解：f是抛物线y2=x的焦点，f（）准线方程x=，设a（x1，y1），b（x2，y2），根据抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离|af|=，|bf|=，|af|+|bf|=3解得，线段ab的中点横坐标为，线段ab的中点到y轴的距离为故选c【点评】： 本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离8（5分）o为坐标原点，f为抛物线c：y2=4x的焦点，p为c上一点，若|pf|=4，则pof的面积为（） a 2 b 2 c 2 d 4【考点】： 抛物线的简单性质【专题】： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 根据抛物线方程，算出焦点f坐标为（）设p（m，n），由抛物线的定义结合|pf|=4，算出m=3，从而得到n=，得到pof的边of上的高等于2，最后根据三角形面积公式即可算出pof的面积【解析】： 解：抛物线c的方程为y2=4x2p=4，可得=，得焦点f（）设p（m，n）根据抛物线的定义，得|pf|=m+=4，即m+=4，解得m=3点p在抛物线c上，得n2=43=24n=|of|=pof的面积为s=|of|n|=2故选：c【点评】： 本题给出抛物线c：y2=4x上与焦点f的距离为4的点p，求pof的面积着重考查了三角形的面积公式、抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题9（5分）已知f1，f2是双曲线的两焦点，以线段f1f2为边作正三角形mf1f2，若边mf1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（） a 4+2 b 1 c d 【考点】： 双曲线的简单性质【专题】： 计算题【分析】： 先根据双曲线方程求得焦点坐标的表达式，进而可求得三角形的高，则点m的坐标可得，进而求得其中点n的坐标，代入双曲线方程求得a，b和c的关系式化简整理求得关于e的方程求得e【解析】： 解：依题意可知双曲线的焦点为f1（c，0），f2（c，0）f1f2=2c三角形高是cm（0，c）所以中点n（，c）代入双曲线方程得：=1整理得：b2c23a2c2=4a2b2b2=c2a2所以c4a2c23a2c2=4a2c24a4整理得e48e2+4=0求得e2=42e1，e=+1故选d【点评】： 本题主要考查了双曲线的简单性质考查了学生对双曲线的基础知识的把握10（5分）设p是椭圆+=1上一点，m、n分别是两圆：（x+4）2+y2=1和（x4）2+y3=1上的点，则|pm|+|pn|的最小值、最大值的分别为（） a 9，12 b 8，11 c 8，12 d 10，12【考点】： 圆与圆锥曲线的综合【专题】： 圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】： 圆外一点p到圆上所有点中距离最大值为|pc|+r，最小值为|pc|r，其中c为圆心，r为半径，故只要连结椭圆上的点p与两圆心m，n，直线pm，pn与两圆各交于两处取得最值，最大值为|pm|+|pn|+两圆半径之和，最小值为|pm|+|pn|两圆半径之和【解析】： 解：两圆圆心f1（4，0），f2（4，0）恰好是椭圆+=1的焦点，|pf1|+|pf2|=10，两圆半径相等，都是1，即r=1，（|pm|+|pn|）min=|pf1|+|pf2|2r=102=8（|pm|+|pn|）max=|pf1|+|pf2|+2r=10+2=12故选：c【点评】： 本题考查线段和的最大值和最小值的求法，是中档题，解题时要注意椭圆的定义和圆的性质的合理运用二、填空题（25分）11（5分）已知直线l1：x+ay+6=0和l2：（a2）x+3y+2a=0，则l1l2的充要条件是a=1【考点】： 直线的一般式方程与直线的平行关系【专题】： 计算题【分析】： 由已知中，两条直线的方程，l1：x+ay+6=0和l2：（a2）x+3y+2a=0，我们易求出他们的斜率，再根据两直线平行的充要条件，即斜率相等，截距不相等，我们即可得到答案【解析】： 解：直线l1：x+ay+6=0和l2：（a2）x+3y+2a=0，k1=，k2=若l1l2，则k1=k2即=解得：a=3或a=1又a=3时，两条直线重合故答案为1【点评】： 本题考查的知识点是直线的一般式方程与直线的平行关系，其中两个直线平行的充要条件，易忽略截距不相等的限制，而错解为1或312（5分）点p（1，1，2）关于xoy平面的对称点的坐标是（1，1，2）【考点】： 空间中的点的坐标【专题】： 计算题【分析】： 直接利用空间直角坐标系，求出点p（1，1，2）关于xoy平面的对称点的坐标即可【解析】： 解：点p（1，1，2）关于xoy平面的对称点，纵横坐标不变，竖坐标变为相反数，即所求的坐标（1，1，2），故答案为：（1，1，2）【点评】： 本题是基础题，考查空间直角坐标系对称点的坐标的求法，考查计算能力13（5分）已知圆c的圆心在直线2xy3=0上，且过点a（5，2）和点b（3，2），则圆c的方程为（x2）2+（y1）2=10【考点】： 圆的标准方程【专题】： 直线与圆【分析】： 根据条件求出圆心和半径即可得到结论【解析】： 解：圆c的圆心在直线2xy3=0上，设圆心坐标为（a，2a3），由|ca|=|cb|得=，即（a5）2+（2a5）2=（a3）2+（2a1）2，整理得a=2，即圆心c（2，1），半径r=|ca|=，故圆c的方程为（x2）2+（y1）2=10，故答案为：（x2）2+（y1）2=10，【点评】： 本题主要考查圆的标准方程的求解，以及两点间的距离公式的应用，根据条件求出圆心和半径是解决本题的关键14（5分）在平面直角坐标系xoy中，已知abc顶点a（4，0）和c（4，0），顶点b在椭圆上，则=【考点】： 椭圆的定义；正弦定理【专题】： 计算题；压轴题【分析】： 先利用椭圆的定义求得a+c，进而由正弦定理把原式转换成边的问题，进而求得答案【解析】： 解：利用椭圆定义得a+c=25=10b=24=8由正弦定理得=故答案为【点评】： 本题主要考查了椭圆的定义和正弦定理的应用考查了学生对椭圆的定义的灵活运用15（5分）若抛物线y2=4x上一点p到其焦点f的距离为3，延长pf交抛物线于q，若o为坐标原点，则sopq=【考点】： 抛物线的简单性质【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 先利用抛物线的定义，求出p的坐标，进而可求pq的方程，代入抛物线方程，可求q的坐标，从而可求sopq【解析】： 解：抛物线的焦点f（1，0），准线方程为x=1抛物线y2=4x上一点p到其焦点f的距离为3，p的横坐标为2，代入抛物线方程，可得p的纵坐标为2，不妨设p（2，2），可得直线pq的斜率为2，直线pq的方程为y=2（x1），代入抛物线，整理可得8（x1）2=4x，即2x25x+2=0，x=2或，将x=代入抛物线可得y=，sopq=故答案为：【点评】： 本题考查抛物线的定义，考查三角形面积的计算，确定p，q的坐标是关键三、解答题（75分）16（12分）已知方程+=1表示的图形是：（1）双曲线；（2）椭圆；（3）圆试分别求出k的取值范围【考点】： 双曲线的简单性质；椭圆的简单性质【专题】： 计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： （1）由（2k）（k1）0，解得即可；（2）分别讨论焦点在x，y轴上，得到不等式，解得再求并集；（3）考虑分母相等，检验是否大于0，即可【解析】： 解：（1）由（2k）（k1）0，解得，k2或k1；（2）当椭圆的焦点在x轴上，有2kk10，解得，1k；当椭圆的焦点在y轴上，有k12k0，解得，k2（3）由2k=k10，解得，k=则（1）当k2或k1时，方程表示双曲线；（2）当1k2且k时，方程表示椭圆；（3）当k=时，方程表示圆【点评】： 本题考查方程表示的图形，考查椭圆方程，注意讨论焦点的位置，考查双曲线方程，注意考虑分母异号，考查圆的方程，注意分母为正，属于基础题和易错题17（12分）已知双曲线c：2x2y2=2与点p（1，2）（1）求过点p（1，2）的直线l的斜率k的取值范围，使l与c只有一个交点；（2）是否存在过点p的弦ab，使ab的中点为p？【考点】： 直线与圆锥曲线的关系【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： （1）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1，与曲线c有一个交点当l的斜率存在时，设直线l的方程为y2=k（x1），代入c的方程，并整理得（2k2）x2+2（k22k）xk2+4k6=0，然后进行分类讨论，把直线与双曲线交点个数问题，归结为方程组解的问题进行求解（2）假设以q为中点的弦存在，设为ab，且a（x1，y1），b（x2，y2），则2x12y12=2，2x22y22=2两式相减得2（x1x2）（x1+x2）=（y1y2）（y1+y2），再由点差法进行求出直线ab的斜率，继而的得到直线方程，再和曲线构造方程组，判断方程组是否有两个解，问题得以解决【解析】： 解：（1）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1，与曲线c有一个交点当l的斜率存在时，设直线l的方程为y2=k（x1），代入c的方程，并整理得（2k2）x2+2（k22k）xk2+4k6=0 （*）（）当2k2=0，即k=时，方程（*）有一个根，l与c有一个交点（）当2k20，即k时=2（k22k）24（2k2）（k2+4k6）=16（32k）当=0，即32k=0，k=时，方程（*）有一个实根，l与c有一个交点综上知：当k=，或k=，或k不存在时，l与c只有一个交点；（2）假设以p为中点的弦存在，设为ab，且a（x1，y1），b（x2，y2），则2x12y12=2，2x22y22=2，两式相减得2（x1x2）（x1+x2）=（y1y2）（y1+y2）又x1+x2=2，y1+y2=4，2（x1x2）=4（y1y2） 即kab=，直线ab的方程为y2=（x1），代入双曲线方程2x2y2=2，可得，15y248y+34=0，由于判别式为482415340，则该直线ab存在【点评】： 本题考查双曲线的方程和运用，考查点差法求中点问题，注意检验判别式的符号，考查运算能力，属于中档题和易错题18（12分）已知抛物线c：y2=2px（p0）过点a（1，2）（）求抛物线c的方程，并求其准线方程；（）是否存在平行于oa（o为坐标原点）的直线l，使得直线l与抛物线c有公共点，且直线oa与l的距离等于？若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由【考点】： 直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质【专题】： 计算题【分析】： （i）将（1，2）代入抛物线方程求得p，则抛物线方程可得，进而根据抛物线的性质求得其准线方程（ii）先假设存在符合题意的直线，设出其方程，与抛物线方程联立，根据直线与抛物线方程有公共点，求得t的范围，利用直线ao与l的距离，求得t，则直线l的方程可得【解析】： 解：（i）将（1，2）代入抛物线方程y2=2px，得4=2p，p=2抛物线c的方程为：y2=4x，其准线方程为x=1（ii）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=2x+t，由得y2+2y2t=0，直线l与抛物线有公共点，=4+8t0，解得t又直线oa与l的距离d=，求得t=1tt=1符合题意的直线l存在，方程为2x+y1=0【点评】： 本题小题主要考查了直线，抛物线等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查函数与方程思想，数形结合的思想，化归与转化思想，分类讨论与整合思想19（12分）已知直线l：kxy+1+2k=0（kr）（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴负半轴于点a，交y轴正半轴于点b，o为坐标原点，设aob的面积为s，求s的最小值及此时直线l的方程【考点】： 恒过定点的直线；基本不等式在最值问题中的应用【专题】： 计算题【分析】： （1）直线l的方程可化为y=k（x+2）+1，直线l过定点（2，1）（2）要使直线l不经过第四象限，则直线的斜率和直线在y轴上的截距都是非负数，解出k的取值范围（3）先求出直线在两个坐标轴上的截距，代入三角形的面积公式，再使用基本不等式可求得面积的最小值【解析】： 解：（1）直线l的方程可化为y=k（x+2）+1，故无论k取何值，直线l总过定点（2，1）（2）直线l的方程可化为y=kx+2k+1，则直线l在y轴上的截距为2k+1，要使直线l不经过第四象限，则，解得k的取值范围是k0（3）依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1+2k，a（，0），b（0，1+2k），又0且1+2k0，k0，故s=|oa|ob|=（1+2k）=（4k+4）（4+4）=4，当且仅当4k=，即k=时，取等号，故s的最小值为4，此时直线l的方程为x2y+4=0【点评】： 本题考查直线过定点问题，直线在坐标系中的位置，以及基本不等式的应用（注意检验等号成立的条件）20（13分）已知椭圆g：=1（ab0）的离心率为，右焦点为（2，0），斜率为1的直线l与椭圆g交与a、b两点，以ab为底边作等腰三角形，顶点为p（3，2）（）求椭圆g的方程；（）求pab的面积【考点】： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： （）根据椭圆离心率为，右焦点为（，0），可知c=，可求出a的值，再根据b2=a2