小升初模块：计数综合.doc

计数综合一、加法原理完成一件事，如果有n类办法：在第一类办法中有a1种不同的做法，第二类方法中有a2种的做法第n类办法中有an种不同的做法，那么完成这件事有N= a1+ a2+an种不同的方法二、乘法原理做一件事，如果需要分成n个步骤，做第一步有a1种不同的方法，做第二步有a2种不同的方法做第n步有an种不同的方法，那么完成这件事共有：N=a1a2an种不同的方法三、排列一般地，从个不同的元素中取出()个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列排列的基本问题是计算排列的总个数从个不同的元素中取出()个元素的所有排列的个数，叫做从个不同的元素的排列中取出个元素的排列数，我们把它记做根据排列的定义，做一个元素的排列由个步骤完成：步骤：从个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有种方法；步骤：从剩下的()个元素中任取一个元素排在第二位，有()种方法；步骤：从剩下的个元素中任取一个元素排在第个位置，有(种)方法；由乘法原理，从个不同元素中取出个元素的排列数是，即，这里，且等号右边从开始，后面每个因数比前一个因数小，共有个因数相乘。四、组合一般地，从个不同元素中取出个()元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合 从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合从个不同元素中取出个元素()的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个不同元素的组合数记作。一般地，求从个不同元素中取出的个元素的排列数可分成以下两步：第一步：从个不同元素中取出个元素组成一组，共有种方法；第二步：将每一个组合中的个元素进行全排列，共有种排法根据乘法原理，得到因此，组合数这个公式就是组合数公式五、几何计数：数线段：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个【讲练结合】（一） 排列组合例1：用五张卡片1,2,4,6,8能组成多少个不同的三位数？【巩固】用五张卡片0,2,4,6,8能组成多少个不同的三位数？ 例2：广州到上海的某次列车，除起点和终点外，还要停靠4个站，应准备多少种不同的车票？ 例3：用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数？【巩固】用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比大且百位数字不是的无重复数字的五位数？例4：两对三胞胎喜相逢，他们围坐在桌子旁，要求每个人都不与自己的同胞兄妹相邻，(同一位置上坐不同的人算不同的坐法)，那么共有多少种不同的坐法？例5：五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目。如果贝贝和妮妮不相邻，共有（ ）种不同的排法。（二）排列组合应用题的解题策略1、可重复的排列求幂法：（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？2、相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列。（1）五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法种数有多少种？（2）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） 3、相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.（1）七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 （2）书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不同的插法（3）高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是 4、元素分析法（位置分析法）：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。（1）2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种（2）1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？（3）有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？（三）加法原理：例1、如图，沿着“北京欢迎你”的顺序走（要求只能沿着水平或竖直方向走），一共有多少种不同的走法？ 【解析】 沿着“北京欢迎你”的顺序沿水平或竖直方向走，北以后的每一个字都只能选择上面的或左右两边的字，按加法原理，用标号法可得右上图所以一共有种走法。【巩固】 如下表，请读出“我们学习好玩的数学”这9个字，要求你选择的9个字里能连续(即相邻的字在表中也是左右相邻或上下相邻)，这里共有多少种完整的“我们学习好玩的数学”的读法我们学习好们学习好玩学习好玩的习好玩的数好玩的数学例2、一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第10级，共有多少种不同走法？例3、 如图，地图上有A，B，C，D四个国家，现用五种颜色给地图染色，要使相邻国家的颜色不相同，有多少种不同染色方法? （四）乘法原理例1、右图中共有16个方格，要把A，B，C，D四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子问：共有多少种不同的放法？ 【解析】 由于四个棋子要一个一个地放入方格内，故可看成是分四步完成这件事第一步放棋子，可以放在16个方格中的任意一个中，故有16种不同的放法；第二步放棋子，由于已放定，那么放的那一行和一列中的其他方格内也不能放，故还剩下9个方格可以放，有9种放法；第三步放，再去掉所在的行和列的方格，还剩下四个方格可以放，有4种放法；最后一步放，再去掉所在的行和列的方格，只剩下一个方格可以放，有1种放法由乘法原理，共有种不同的放法例2、10个人围成一圈，从中选出两个不相邻的人，共有多少种不同选法？（五）几何计数例1、在图中(单位：厘米)：一共有几个长方形?【解析】 一共有(个)长方形；所求的和是 (平方厘米)【巩固