初二数学辅助线专题.doc

辅助线专题常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答作辅助线的方法一：中点、中位线，延线，平行线。如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。二：垂线、分角线，翻转全等连。如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。三：边边若相等，旋转做实验。如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。四：面积找底高，多边变三边。如遇求面积，（在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积），往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。五、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目构造全等三角形几种方法一、延长中线构造全等三角形例1. 如图1，AD是ABC的中线，求证：ABAC2AD。二、沿角平分线翻折构造全等三角形例2. 如图3，在ABC中，12，ABC2C。求证：ABBDAC。三、作平行线构造全等三角形例3. 如图5，ABC中，ABAC。E是AB上异于A、B的任意一点，延长AC到D，使CDBE，连接DE交BC于F。求证：EFFD。四、作垂线构造全等三角形例4. 如图7，在ABC中，BAC90，ABAC。M是AC边的中点。ADBM交BC于D，交BM于E。求证：AMBDMC。五、沿高线翻折构造全等三角形例5. 如图9，在ABC中，ADBC于D，BADCAD。求证：ABAC。六、绕点旋转构造全等三角形例6. 如图11，正方形ABCD中，12，Q在DC上，P在BC上。求证：PAPBDQ。例7. 如图，四边形ABCD中，BAD=BCD=900,AB=AD,若四边形ABCD的面积是24cm2.则AC长是 cm. 8如图，两个边长相等的两个正方形ABCD和OEFG，若将正方形OEFG绕点O按逆时针方向旋转150，两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积( )A不变 B先增大再减小 C先减小再增大 D不断增大七、截长法与补短法， 例7：如图甲，ADBC，点E在线段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB。求证：CD=AD+BC。练习12（4分）如图，已知ABC中，ABC=90，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为1，l2，l3之间的距离为3，则点B到AC的距离是（）A5BCD考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形菁优网版权所有专题：计算题分析：过A作ADl3于D，过B作BFAC于F，过C作CEl3于E，则BF的长就是点B到AC的距离，根据AAS证DABEBC，求出BE=3，根据勾股定理求出BC、AB、AC，根据三角形的面积即可求出答案解答：解：过A作ADl3于D，过B作BFAC于F，过C作CEl3于E，则BF的长就是点B到AC的距离ADl3，CEl3，ADB=ABC=CEB=90，DAB+ABD=90，ABD+CBE=90，DAB=CBE，在DAB和EBC中，DABEBC，AD=BE=3，CE=3+1=4，在CEB中，由勾股定理得：AB=BC=5，AC=5，由三角形的面积公式得：SABC=ABBC=ACBF，即55=5BF，即BF=，故选C点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积，等腰直角三角形，勾股定理等知识点的应用，关键是正确作辅助线后能求出BE、AB、BC、AC的长，主要考查了学生的推理能力和计算能力18（4分）如图，过边长为1的等边ABC的边AB上一点P，作PEAC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为考点：等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：压轴题分析：过P作PFBC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证PFDQCD，推出FD=CD，推出DE=AC即可解答：解：过P作PFBC交AC于FPFBC，ABC是等边三角形，PFD=QCD，APF是等边三角形，AP=PF=AF，PEAC，AE=EF，AP=PF，AP=CQ，PF=CQ在PFD和QCD中，PFDQCD（AAS），FD=CD，AE=EF，EF+FD=AE+CD，AE+CD=DE=AC，AC=1，DE=故答案为：18如图，在ABC中，BC=2，ABC=45=2ECB，BDCD，则（2BD）2=168【考点】勾股定理【分析】延长BD至F，使得DF=BD，连结CF交AB于G根据中垂线的性质和等腰直角三角形的判定和性质得到CF=2，BG=CG=2，根据线段的和差求得FG=22，在RtBGF中，根据勾股定理即可求解【解答】解：延长BD至F，使得DF=BD，连结CF交AB于GBDCD，DF=BD，CF=CB=2，DCF=ECB，ABC=45=2ECB，BCG=45，BCG是等腰直角三角形，BC=2，BG=CG=BC=2，FG=22，在RtBGF中，（2BD）2=BF2=BG2+FG2=22+（22）2=168故答案为：168【点评】考查了勾股定理，中垂线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，本题关键是作出辅助线构造直角三角形，难度较大24正方形ABCD中，E点为BC中点，连接AE，过B点作BFAE，交CD于F点，交AE于G点，连结GD，过A点作AHGD交GD于H点.(1)求证：ABEBCF；(2)若正方形边长为4，AH=，求AGD的面积. 24. 证明：(1)正方形ABCD中，ABE=90，1+2=90， 又AEBF，3+2=90，则1=3 （2分） 又四边形ABCD为正方形，ABE=BCF=90，AB=BC 在ABE和BCF中， ABEBCF(ASA) （5分）来源:z,zs,（2）延长BF交AD延长线于M点，MDF=90 （6分） 由（1）知ABEBCF，CF=BE E点是BC中点，BE=BC，即CF=CD=FD，在BCF和MDF中， BCFMDF(ASA) BC=DM，即DM=AD，D是AM中点 （8分） 又AGGM，即AGM为直角三角形， GD=AM=AD 又正方形边长为4，GD=4 SAGD=GDAH=4= 1、在ABC中，AB=AC，D为射线BC上一点，DB=DA，E为射线AD上一点，且AE=CD,连接BE。（1）如图2，若BE=2CD，连接CE并延长，交AB于点F，求证：CE=2EF.（2）如图3，若BEAD，垂足为点E,求证：24如图1，ABC中，BEAC于点E，ADBC于点D，连接DE（1）若AB=BC，DE=1，BE=3，求ABC的周长；（2）如图2，若AB=BC，AD=BD，ADB的角平分线DF交BE于点F，求证：BF=DE；（3）如图3，若ABBC，AD=BD，将ADC沿着AC翻折得到AGC，连接DG、EG，请猜想线段AE、BE、DG之间的数量关系，并证明你的结论【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线性质得出DE=AC=AE，AC=2DE=2，AE=1，由勾股定理求出AB，得出BC，即可得出结果；（2）连接AF，由等腰三角形的性质得出3=4，证出ABD是等腰直角三角形，得出DAB=DBA=45，3=22.5，由ASA证明ADFBDF，得出AF=BF，2=3=22.5，证出AEF是等腰直角三角形，得出AF=AE，即可得出结论；（3）作DHDE交BE于H，先证明ADEBDH，得出DH=DE，AE=BH，证出DHE是等腰直角三角形，得出DEH=45，3=45，由翻折的性质得出DE=GE，3=4=45，证出DH=GE，DHGE，证出四边形DHEG是平行四边形，得出DG=EH，即可得出结论【解答】（1）解：如图1所示：AB=BC，BEAC，AE=CE，AEB=90，ADBC，ADC=90，DE=AC=AE，AC=2DE=2，AE=1，AB=，BC=，ABC的周长=AB+BC+AC=2+2；（2）证明：连接AF，如图2所示：AB=BC，BEAC，3=4，ADC=90，AD=BD，ABD是等腰直角三角形，DAB=DBA=45，3=22.5，1+C=3+C=90，1=3=22.5，DF平分ABD，ADF=BDF，在ADF和BDF中，ADFBDF（SAS），AF=BF，2=3=22.5，EAF=1+2=45，AEF是等腰直角三角形，AF=AE，DE=AE，BF=DE；（3）解：BE=DG+AE；理由如下：作DHDE交BE于H，如图3所示：BEAC，ADBC，1+ACD=2+ACD=90，1=2，ADE=90ADH=BDH，在ADE和BDH中，ADEBDH（ASA），DH=DE，AE=BH，DHE是等腰直角三角形，DEH=45，3=90DEH=45，ACD翻折至ACG，DE=GE，3=4=45，DEG=EDH=90，DH=GE，DHGE