四川省成都市高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 函数的最值与导数课件 新人教A版选修22.ppt

如图 设铁路线ab 50km 点c处与b之间的距离为10km 现将货物从a运往c 已知1km铁路费用为2元 1km公路费用为4元 在ab上m处修筑公路至c 使运费由a到c最省 求m的具体位置 1 3函数的最值与导数 1 3函数的最值与导数 预学1 函数的最值函数的最值分为函数的最大值与函数的最小值 函数的最大值和最小值是一个整体性概念 最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大者 最小值必须是整个区间上的所有函数值中的最小者 议一议 如果函数y f x 在区间 a b 上是单调函数 那么如何求y f x 的最大值和最小值 解析 若函数y f x 在区间 a b 上单调递增 则f a 为函数的最小值 f b 为函数的最大值 若函数y f x 在区间 a b 上单调递减 则f a 为函数的最大值 f b 为函数的最小值 1 3函数的最值与导数 预学2 函数的最值与极值的区别 1 函数的最大值 最小值是比较整个定义域内的函数值得出的 极大值 极小值是比较极值点附近的函数值得出的 2 函数的极值可以有多个 但最值只能有一个 3 极值只能在区间内取得 最值可以在端点处取得 4 有极值未必有最值 有最值也未必有极值 5 极值有可能成为最值 最值只要不在端点处取得 那么最值必定是极值 1 3函数的最值与导数 议一议 若函数f x 在 a b 上的图象是一条连续不间断的曲线 该函数在 a b 上只有一个极值 则该极值是最值吗 解析 是 1 3函数的最值与导数 预学3 求函数f x 在 a b 上的最值的步骤 1 求f x 在开区间 a b 上所有使f x 0的点 2 计算函数f x 在区间上使f x 0的所有点及端点的函数值 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 1 3函数的最值与导数 议一议 求函数f x x3 3x2 6x 10在区间 1 1 上的最值 解析 因为f x 3x2 6x 6 3 x 1 2 3 所以在区间 1 1 上f x 0恒成立 即函数f x 在区间 1 1 上单调递增 故当x 1时 函数f x 取得最小值f 1 20 当x 1时 函数f x 取得最大值f 1 6 1 3函数的最值与导数 1 3函数的最值与导数 1 3函数的最值与导数 变式训练1 如果f x 2x3 6x2 m m为常数 在 2 2 上有最大值3 那么此函数在 2 2 上的最小值为 a 37b 29c 5d 11 1 3函数的最值与导数 解析 f x 6x2 12x x 2 2 由f x 0 得x 0或x 2 可得f x 在 2 0 上为增函数 在 0 2 上为减函数 f x 在x 0时取得极大值 即为最大值 f x 的最大值为f 0 m 3 又f 2 37 f 2 5 f x 的最小值为 37 答案 a 1 3函数的最值与导数 1 3函数的最值与导数 1 3函数的最值与导数 1 3函数的最值与导数 1 3函数的最值与导数 1 3函数的最值与导数 1 3函数的最值与导数 1 3函数的最值与导数 3 利用导数解决不等式恒成立问题例3 设函数f x tx2 2t2x t 1 x r t 0 1 求函数f x 的最小值h t 2 若 1 中h t 2t m对t 0 2 恒成立 求实数m的取值范围 方法指导 1 中可通过配方法求f x 的最小值 2 中由h t 2t m 得h t 2t m 可转化为函数g t h t 2t在区间 0 2 上的最大值小于m时 实数m的取值范围的问题 1 3函数的最值与导数 解析 1 f x t x t 2 t3 t 1 x r t 0 当x t时 f x 取得最小值f t t3 t 1 即h t t3 t 1 2 设g t h t 2t t3 3t 1 令g t 3t2 3 0 得t 1或t 1 舍去 当t变化时 g t g t 的变化情况如下表 1 3函数的最值与导数 由上表可知 当t 1时 g t 有极大值g 1 1 又在定义域 0 2 上 g t 有唯一一个极值点 函数g t 在区间 0 2 上的最大值也就是函数g t 在区间 0 2 上的极大值 即g t max 1 h t 2t m在区间 0 2 上恒成立 即g t m在区间 0 2 上恒成立 当且仅当g t max m 即m 1时上式恒成立 故实数m的取值范围是 1 1 3函数的最值与导数 1 3函数的最值与导数 1 3函数的最值与导数 1 1 求函数的最值时 求极值是关键的一步 如果仅仅是求最值 那么可用下面简化的方法求得 求出导数为零的点 比较这些点与端点处函数值的大小 就可求出函数的最大值和最小值 2 若函数在闭区间 a b 上连续单调 则最大值 最小值在端点处取得 1 3函数的最值与导数 2 不等式恒成立时求参数的取值范围问题是一种常见的题型 这种题型的解法有多种 其中最常用的方法就是先分离参数 然后转化为求函数的最值问题 在求函数最值时 可以借助导数求解 1 3函数的最值与导数 2014年四川卷 已知函数f x ex ax2 bx 1 其中a b r e 2 71828 为自然对数的底