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第四讲 集合元素的数量（2012-7-11）对于正整数，存在唯一一对整数和，使得，. 特别地，当时，称能整除，记作，已知.（）存在，使得，试求的值；（）求证：不存在这样的函数，使得对任意的整数，若，则；（）若，（指集合B 中的元素的个数），且存在，则称为“和谐集”. 求最大的，使含的集合的有12个元素的任意子集为“和谐集”，并说明理由.（20）（本小题满分14分）（）解：因为,所以. 2分（）证明：假设存在这样的函数，使得对任意的整数，若，则.设，由已知,由于，所以，.不妨令，这里，且，同理，且，因为只有三个元素，所以.即，但是，与已知矛盾.因此假设不成立，即不存在这样的函数，使得对任意的整数，若，则. 8分（）当时，记，记，则，显然对任意，不存在，使得成立. 故是非“和谐集”，此时.同样的，当时，存在含的集合的有12个元素的子集为非“和谐集”.因此. 10分 下面证明：含7的任意集合的有12个元素的子集为“和谐集”.设，若1，14，21中之一为集合的元素，显然为“和谐集”.现考虑1，14，21都不属于集合，构造集合，.以上每个集合中的元素都是倍数关系.考虑的情况，也即中5个元素全都是的元素，中剩下6个元素必须从这5个集合中选取6个元素，那么至少有一个集合有两个元素被选，即集合中至少有两个元素存在倍数关系.综上所述，含7的任意集合的有12个元素的子集为“和谐集”，即的最大值为7. 第四讲 集合元素的数量（2012-7-11）例1 已知集合，则（1）当去何值时，是一个2元素集；（2）当去何值时，是一个3元素集例2 考虑集合满足下述条件的子集A，A中没有一个数是另一个数的5倍，求Card(A)的最大值例3 已知一族集合具有性质：（1）每个含有30个元素；（2）对每一对：，都是单元素集；（3）求使这样的集合族存在的最大的正整数例4 设集合，其中都是正整数，且，并且满足，中所有数之和为224，求集合A例5 已知，且A中任意两个数之差的绝对值不等于4或7，求Card(A)的最大值例6 对于正整数，存在唯一一对整数和，使得，. 特别地，当时，称能整除，记作，已知.（）存在，使得，试求的值；（）求证：不存在这样的函数，使得对任意的整数，若，则；（）若，（指集合B 中的元素的个数），
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