高二水平考试专题讲座数列.docx

学好数学“三步曲”：概念-做题-反思 同步辅导教案 课题高二水平考试专题讲座：数列教学目标1.掌握等差数列、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式；2.掌握数列通项公式的求法3.掌握数列求和的重要方法重点难点利用递推关系求数列通项公式的方法，数列求和的方法授课内容：一、课前检测1.在数列an中,已知前n项的和Sn = 4n2-n,那么a100等于( ).A.810 B.805 C.800 D.795 解D2等差数列中,则的值为( )A130 B260 C156D168 解 A3.已知等差数列中,则的值为( ) A. 15 B.33 C.55 D. 99 解 C 4.若等比数列满足,则公比为( )A.2 B.4 C.8 D.16 解 B 5.已知各项不为0的等差数列满足,数列是等比数列,且,则等于 ( )(A)16 (B)8 (C)4 (D)2 解 A 6.已知等差数列,等比数列,则该等差数列的公差为( )A.3或 B.3或 C.3 D. 解 C 二、考点知识等差数列与等比数列的有关知识比较一览表等 差 数 列等 比 数 列定 义 一般地,如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫公差一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫等比数列这个常数叫公比 递推关系 （） （） （） （） （） （）通项公式 （） （） （）（）求和公式 （） ()() () (，)主要性质若p+q=s+r, p、q、s、rN*,则.若、分别为两等差数列，则为等差数列.若p+q=s+r, p、q、s、rN*,则.若、为两等比数列，则为等比数列.三、精讲巧练（一）利用递推关系求数列通项的几种常见类型及解法1.形如型（1）若f(n)为常数,即：,此时数列为等差数列，则=.（2）若f(n)为n的函数时，用累加法. （.重点掌握）方法如下： 由 得： 时，=即：.例 1. （2003天津文） 已知数列an满足,证明证明：由已知得： = .变式练习.1.已知数列的首项为1，且写出数列的通项公式. 答案：2.已知数列满足，求此数列的通项公式. 答案： 小结：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。2.形如型（1）当f(n)为常数，即：（其中q是不为0的常数），此时数列为等比数列，=.（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法. 由得 时，=f(n)f(n-1). 例2数列中, 求此数列的通项公式.解: 把这n-1个式子两边分别相乘可得即故的通项公式为.令n=1,2,3,4,5得a1=1,变式练习练习1.设是首项为1的正项数列，且（=1，2， 3，），则它的通项公式是=_.解：已知等式可化为：()(n+1), 即时，=.评注：本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解得到与的更为明显的关系式，从而求出.练习2.已知,求数列an的通项公式.解：因为所以故又因为,即，所以由上式可知,所以,故由累乘法得 =所以-1.评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为若令,则问题进一步转化为形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.3形如,其中)型（1）若c=1时，数列为等差数列;（2）若d=0时，数列为等比数列;（3）若时，数列为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.方法如下：设,（.重点掌握）得,与题设比较系数得,所以所以有：因此数列构成以为首项，以c为公比的等比数列，所以 即：.规律：将递推关系化为,构造成公比为c的等比数列从而求得通项公式例3已知数列中，求通项.分析：两边直接加上,构造新的等比数列。解：由得,所以数列构成以为首项，以为公比的等比数列所以,即 . 4.形如型 .(1)若(其中k,b是常数，且)方法指导：相减法,通过构造数列转化为类型3与1 (2)若(其中q是常数，且n0,1) （.重点掌握）若p=1时，即：，利用累加法若时，即：，方法指导：有三种思路：i. 两边同除以.即： ,令，则,然后如类型，累加求通项.ii.两边同除以 . 即： ,令,则可化为.然后转化为类型3来解，iii.待定系数法：设.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.例4.在数列中，求通项.解：， 时，两式相减得 .令,则利用类型3的方法知 即 再由累加法可得. 亦可联立 解出.变式练习1. 在数列中，,求通项.解：原递推式可化为比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为所以是一个等比数列，首项,公比为. 即：故.例5.（2003天津理）设为常数，且证明对任意1，；证法1：两边同除以（-2）,得令,则=.证法2：由得 .设，则b. 即：,所以是以为首项，为公比的等比数列.则=,即：,故 .评注：本题的关键是两边同除以3，进而转化为类型3，构造出新的等比数列，从而将求一般数列的通项问题转化为求等比数列的通项问题.证法3：用待定系数法设, 即:,比较系数得：,所以 所以,所以数列是公比为2，首项为的等比数列. 即 .5.形如（ ） 型方法： 取倒数法.例6. 已知数列中，求通项公式。 解：取倒数： 变式练习1已知数列an满足条件a1=1,an+1=，求数列的通项公式.(二)已知前n项和公式，求通项公式例7.已知数列的前项和，求数列的通项解 变式练习1.已知数列的前项和为，以为坐标的点在函数的图象上，求数列的通项。解 （三）数列求和的三种重要方法1.倒序相加法这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.例1.求的值解：设. 将式右边反序得. （反序） 又因为 +得 （反序相加）89 S44.52.错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列.例2 求和：解：由题可知，的通项是等差数列2n1的通项与等比数列的通项之积当，当设. （设制错位）得 （错位相减）再利用等比数列的求和公式得： 3.裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解成两项之差，然后累加，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 常用的 通项分解（裂项）有：（1） （2）（3） （4）(5) (6)例3 求数列的前n项和.解：设 则 变式练习1在数列an中，又，求数列bn的前n项的和.解： 数列bn的前n项和 四、小结五、课外练习1.数列的前项和,则 A. 11 B. 15 C. 17 D.20 解A 2.数列0，1，0，-1，0，1，0，-1，的一个通项公式是 ( )(A) (B) (C) (D) 解D3.（2010浙江理）（3）设为等比数列的前项和，则（ D ）（A）11 （B）5 （C） （D）解析：通过，设公比为，将该式转化为，解得=-2，带入所求式可知答案选D，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式，属中档题4数列的前项和为,若,则=( B )A.1 B. C. D.5. 设 为等差数列，Sn 为数列的前n 项和，已知S7 = 7, S15 = 75. 记Tn 为数列的前n 项和，求Tn .解：. 设等差数列的公差为d，则 ( I ) 解得代入（I）得 （II）数列是首项为 2，公差为的等差数列，6. 求数列的前项和 解： Sn= 7.在数列中， 证明数列是等差数列，并求出Sn的表达式.【证明】.化简，得 Sn-1Sn= 2 Sn Sn-1两边同除以. Sn Sn-1，得 数列是以为首项，2为公差的等差数列. 8.数列的前n项和为，且满足（I）求与的关系式，并求的通项公式；（II）求和（I）（II）9. 已知数列的各项为正数，其前n项和，（I）求之间的关系式，并求的通项公式；（II）求证（I），而，得的等差数列，（II）六、感悟历届水平考试试题：1.（2009广州市11.5分）. 已知等差数列的首项为，公差为，则通项公式 .2.（2008广州市11）在等差数列中，已知，则公差的值为 3.（2011广州市18）. （本小题满分14分） 已知等差数列的前项和为，且, （1）求数列的通项公式；（2）令，求证：.4.(2010广州市18)（本小题满分14分）已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，数列的前项和（1）求数列与的通项公式；（2）求数列的前项和5.（2009广州市20）. (本小题满分14分)已知二次函数在区间