山东省新泰市高考数学二轮复习 热点十 圆锥曲线及其应用练习 理（含解析）.doc

数学热点十数学热点十 圆锥曲线及其应用圆锥曲线及其应用 考点精要考点精要 考点一考点一 椭圆 双曲线 抛物线的离心率椭圆 双曲线 抛物线的离心率 如 设双曲线 22 22 1 xy ab a 0 b 0 的渐近线与抛物线 y x2 1 相切 则该双曲线的离心率等于 a 3 b 2 c 5 d 6 考点二考点二 圆锥曲线的第一或第二定义圆锥曲线的第一或第二定义 如 已知椭圆 2 2 1 2 x cy 的右焦点为f 右 准线为l 点al 线段af交c于点b 若3fafb uu ruur 则af uuu r a 2 b 2 c 3 d 3 考点三考点三 圆锥曲线的渐近线的方程和离心率等概念之间的关系圆锥曲线的渐近线的方程和离心率等概念之间的关系 直线与圆锥曲线的位 置关系 考查学生对基本概念 基本方法和基本技能的掌握 如 设双曲线 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的虚轴长为 2 焦距为32 则双曲线的渐近线方程为 a xy2 b xy2 c xy 2 2 d xy 2 1 考点四考点四 圆锥曲线的的定义 线段长 焦半径圆锥曲线的的定义 线段长 焦半径 将圆锥曲线的相关知识与向量等知识 相结合 考查圆锥曲线的的定义 线段长 焦半径等知识 考点五考点五 圆锥曲线中有关角 线段 面积圆锥曲线中有关角 线段 面积 以圆锥曲线为依托 借助点与线的关系 考查圆锥曲线中有关角 线段 面积等知识 考查综合运算能力 如 设抛物线 2 y 2x 的 焦点为 f 过点 m 3 0 的直线与抛物线相交于 a b 两点 与抛物线的准线相交于 c bf 2 则 bcf 与 acf 的面积之比 bcf acf s s a 4 5 b 2 3 c 4 7 d 1 2 考点六考点六 圆锥曲线中有关的距离最短 距离之和圆锥曲线中有关的距离最短 距离之和最小最小 利用圆锥曲线与直线的特殊关 系 研究有关的距离最短 距离之和最小等 考查学生分析问题 解决问题以及数形结合 的能力 如 已知直线 1 4 360lxy 和 2 1lx 抛物线 2 4yx 上一动点p到 1 l和 2 l的距离之和的最小值是 a 2 b 3 c 11 5 d 37 16 考点七考点七 待定系数法求曲线方程待定系数法求曲线方程 能用待定系数法求曲线方程 处理直线与圆锥曲线 的相关问题以及有关对称问题 此类问题多属于中档或高档题 如 过点 1 0 的直线l 与中心在原点 焦点在x轴上且离心率为 2 2 的椭圆c相交于a b两点 直线y 2 1 x过线 段ab的中点 同时椭圆c上存在一点与右焦点关于直线l对称 试求直线l与椭圆c的方 程 考点八考点八 求圆锥曲线方程的方法求圆锥曲线方程的方法 能运用多种方法 如 直接法 定义法 几何法 代入法 参数法 交规法等 求圆锥曲线的方程 求动点轨迹时应注意它的完备性和纯粹 性 巧点妙拨巧点妙拨 1 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题 实际上是研究它们的方程组成 的方程组是否有实数解或实数解的个数问题 此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想 与方法 2 当直线与圆锥曲线相交时 涉及弦长问题 常用 韦达定理法 设而不求计算弦长 即应用弦长公式 涉及弦长的中点问题 常用 差分法 设而不求 将弦所在直线的斜 率 弦的中点坐标联系起来 相互转化 同时还应充分挖掘题目的隐含条件 寻找量与量间 的关系灵活转化 往往就能事半功倍 3 求圆锥曲线中的最值问题解决方法一般有两种 一是几何法 特别是用圆锥曲线的 定义和平面几何的有关结论来做非常巧妙 二是代数法 将圆锥曲线的最值问题转化为二 次函数或三角函数的最值问题 然后利用均值不等式 函数的单调性或三角函数的有界性 等求最值 典题对应典题对应 例例 1 1 2014 2014 山东理山东理 10 10 已知0b0 a 椭圆 1 c的方程为1 x 2 2 2 2 b y a 双曲线 2 c的方程为1 x 2 2 2 2 b y a 1 c与 2 c的离心率之积为 2 3 则 2 c的渐近线方程为 a 20 xy b 02 yxc 20 xy d 20 xy 命题意图 命题意图 本题主要考查圆锥曲线的离心率 渐近线方程 解析 解析 222 2 1 22 222 2 2 22 44 2 44 1 2 4 3 4 4 2 2 cab e aa cab e aa ab eeab a b a 答案 a 名师坐堂 名师坐堂 注意渐近线方程仅对双曲线而言 无其他限制条件渐近线方程应成对出现 例例 2 2 2014 2014 山东理山东理 21 21 已知抛物线 0 2 2 ppxyc 的焦点为f a为c上 异于原点的任意一点 过点a的直线l交于另一点b 交x轴的正半轴于点d 且有 fafd 当点a的横坐标为 3 时 adfv为正三角形 i 求c的方程 ii 若直线ll 1 且 1 l和c有且只有一个公共点e i 证明直线ae过定点 并求出定点坐标 ii abev的面积是否存在最小值 若存在 请求出最小值 若不存在 请说明理 由 命题意图 命题意图 本题主要考查抛物线的定义 直线的方程 最值等 考查学生综合分析问 题的能力 解析 解析 1 由抛物线第二定义得 2 33 22 pp 解得 2p 或18p 舍去 当18p 时 经检验直线l与c只有一个交点 不合题意 c 的方程为 2 4yx 2 由 1 知直线ae过焦点 1 0 f 所以 00 00 11 1 1 2aeaffexx xx 设直线ae的方程为1xmy 因为点a 00 xy在直线ae上 故 0 0 1x m y 设 11 b x y直线ae的方程为 0 00 2 y yyxx 由于 0 0y 可得 0 0 2 2xyx y 代入抛物线方程得 2 0 0 8 840yyx y 所以 01 0 8 yy y 可求得 1010 00 84 4yyxx yx 所以点b到直线ae的距离为 00 00 0 0 2 00 18 4 1 4 1 1 4 1 xm y xyx dx xx m 则abe 的面积 00 0 0 111 4 216 2 sxx x x 当且仅当 0 0 1 x x 即 0 1x 时等号成立 所以abe 的面积的最小值为 16 例例 3 3 2012 2012 新课标理新课标理 8 8 等轴双曲线c的中心在原点 焦点在x轴上 c与抛物线 xy16 2 的准线交于 a b两点 4 3ab 则c的实轴长为 a 2 b 2 2 c d 命题意图 命题意图 此题考查双曲线的性质 抛物线的性质的应用 解析 解析 设等轴双曲线方程为 0 22 mmyx 抛物线的准线为4 x 由 34 ab 则32 a y 所以a的坐标为 32 4 把a的坐标代入双曲线方程得 41216 22 yxm 所以双曲线方程为4 22 yx 即1 44 22 yx 所以 2 4 2 aa 所以实轴长42 a 选 c 名师坐堂 名师坐堂 等轴双曲线方程可设为 0 22 kkyx 在抛物线中通径的长度 焦 半径等的求法应熟练掌握 例例 4 4 2012 2012 新课标理 新课标理 设 12 f f是椭圆 22 22 1 0 xy eab ab 的左 右焦点 p为直线 3 2 a x 上一点 12pf f 是底角为30 的等腰三角形 则e的离心率为 a 1 2 b 2 3 c d 命题意图 命题意图 此考查椭圆的离心率的求法 三角形中的相关计算 解析 解析 如下图 1 所示 因为 12pf f 是底角为30 的等腰三角形 则有pfff 212 因为 0 21 30 fpf 所以 0 2 60 dpf 0 2 30 dpf 所以 2122 2 1 2 1 ffpfdf 即ccc a 2 2 1 2 3 所以c a 2 2 3 即 4 3 a c 所以椭圆的离心率为 4 3 e 选 c 名师坐堂 名师坐堂 求解圆锥曲线的离心率关键是找到ca 的关系 未必将ca 求出 对于不 同的圆锥曲线应注意离心率的范围 例例 5 5 2011 2011 山东山东 22 22 已知动直线l与椭圆c 22 1 32 xy 交于 1122 p x yq xy两不同点 且opq 的面积 6 2 opq s 其中o为坐标原点 证明 22 12 xx 和 22 12 yy 均为定值 设线段pq的中点为m 求ompq 的最大值 椭圆c上是否存在三点 d e g 使得 6 2 odeodgoeg sss 若存在 判断deg 的形状 若不存在 请说明理由 命题意图 命题意图 本题主要考查直线方程 椭圆的标准方程 面积公式 一元二次方程的根 与系数的关系 求最值的方法以及分类讨论的思想 考查学生解析几何的基本思想方法 考查逻辑推理 运算能力 解析 解析 当直线l的斜率不存在时 p q两点关于x轴对称 则 1212 xxyy 由 11 p x y在椭圆上 则 22 11 1 32 xy 而 11 6 2 opq sx y 则 11 6 1 2 xy 于是 22 12 3xx 22 12 2yy 当直线l的斜率存在 设直线l为ykxm 代入 22 1 32 xy 可得 22 23 6xkxm 即 222 23 6360kxkmm 0 即 22 32km 2 1212 22 636 2323 kmm xxx x kk 222 121212 11 4pqkxxkxxx x 22 2 2 2 6 32 1 23 km k k 2 1 m d k 22 2 112 6 326 22232 poq km sd pqm k 则 22 322km 满足0 2 2222 121212 22 63 2 2 23 2323 kmm xxxxx x kk 222222 121212 222 3 3 4 2 333 yyxxxx 综上可知 22 12 3xx 22 12 2yy 当直线l的斜率不存在时 由 知 1 6 26 2 omxpq 当直线l的斜率存在时 由 知 12 3 22 xxk m 2 1212 31 222 yyxxk kmm mm 2 2 22 1212 222 9111 3 2242 xxyyk om mmm 222 2 2 2222 24 32 2 21 1 1 2 2 23 kmm pqk kmm 22 22 1125 3 2 4 ompq mm 当且仅当 22 11 32 mm 即2m 时等号成立 综上可知ompq 的最大值 为 5 2 假设椭圆上存在三点 d e g 使得 6 2 odeodgoeg sss 由 知 222222 3 3 3 deeggd xxxxxx 222222 2 2 2 deeggd yyyyyy 解得 222 3 2 deg xxx 222 1 deg yyy 因此 deg xxx只能从 6 2 中选取 deg yyy只能从1 中选取 因此 d e g只能从 6 1 2 中选取三个不同点 而这三点的两两连线必有一个过 原点 这与 6 2 odeodgoeg sss 相矛盾 故椭圆上不存在三点 d e g 使得 6 2 odeodgoeg sss 名师坐堂 名师坐堂 求解定值问题可先考虑能否用特殊点或特殊值求出定值 再推广到一般结 论 在求解圆锥曲线的最值问题时 可考虑用重要不等式 二次函数 三角函数以及函数 的单调性 命题趋向命题趋向 圆锥曲线是每一年高考的必考内容 其试题内容主要趋向以下几个方面 1 圆锥曲线本身存在最值问题 如 椭圆上两点最大距离为a2 长轴长 双曲线上两点间最小距离为a2 实轴长 椭圆上的焦半径的取值范围为 caca ca 与ca 分别表示椭圆焦点到椭圆上的最短与最长距离 抛物线 上顶点与抛物线的准线距离最近 2 圆锥曲线上的点到定点的距离最值问题 常与两点间的距离公式转化为区间 上的二次函数最值解决 有时也用圆锥曲线中的参数方程 化为三角函数的最值问题 3 圆锥曲线上的点到定直线的距离最值问题 常转化为平行切线法 4 点在圆锥曲线上 求相关式子的取值范围 常用参数方程代入转化为三角函 数的最值问题 或根据平面几何知识或引入一个参数化为函数进行处理 5 由直线和圆锥曲线的位置关系 求直线中或圆锥曲线中某一个参数满足的范 围 解决方法长把所求参数作为函数 另一个变元作为自变量求解 直击高考直击高考 1 已知双曲线1 4 1 22 2 2222 b yxyx 的准线经过椭圆 b 0 的焦点 则 b a 3 b 5 c 3 d 2 2 抛物线y ax2与直线y kx b k 0 交于a b两点 且此两点的横坐标分别为x1 x2 直 线与x轴交点的横坐标是x3 则恒有 a x3 x1 x2 b x1x2 x1x3 x2x3 c x1 x2 x3 0 d x1x2 x2x3 x3x1 0 3 中心在原点 焦点在坐标为 0 52 的椭圆被直线 3x y 2 0 截得的弦的中点的 横坐标为 2 1 则椭圆方程为 4 设a 0 若曲线 2 xy 曲线与直线 x a y 0 所围成的封闭图形的面积为a 则a 5 已知 1 f 2 f是椭圆1 2 2 2 2 b y a x c a b 0 的两个焦点 p为椭圆c上一点 且 21 pfpf 若 21f pf 的面积为 9 则b 6 已知抛物线y2 2px p 0 过动点m a 0 且斜率为 1 的直线l与该抛物线交于不同的两 点a b 且 ab 2p 1 求a的取值范围 2 若线段ab的垂直平分线交x轴于点n 求 nab面积的最大值 7 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy cab ab 的离心率为3 右准线方程为 3 3 x 求双曲线c的方程 设直线l是圆 22 2o xy 上动点 0000 0 p xyx y 处的切线 l与双曲线 c交于不同的两点 a b 证明aob 的大小为定值 8 已知曲线myxm 22 0 x m为正常数 直线l与曲线m的实轴不垂直 且 依次交直线xy 曲线m 直线xy 于a b c d四个点 o为坐标原 点 1 若 cdbcab 求证 aod 的面积为定值 2 若boc 的面积等于aod 面积的 3 1 求证 cdbcab 数学热点十数学热点十 圆锥曲线及其应用圆锥曲线及其应用 直击高考直击高考 1 解析 可得双曲线的准线为 2 1 a x c 又因为椭圆焦点为 2 4 0 b 所以 有 2 41b 即 b2 3 故 b 3 故 c 2 解析 解方程组 bkxy axy 2 得ax2 kx b 0 可知x1 x2 a k x1x2 a b x3 k b 代入验证即可 答案 b 3 解析 设所求圆的圆心为p a b 半径为r 则点p到x轴 y轴的距离分别为 b a 圆p截y轴所得弦长为 2 r2 a2 1 又由题设知圆p截x轴所得劣弧对的圆心角为 90 故弦长 ab 2r 故r2 2b2 从而 有 2b2 a2 1 又 点p a b 到直线x 2y 0 的距离d 5 2 ba 因此 5d2 a 2b 2 a2 4b2 4ab a2 4b2 2 a2 b2 2b2 a2 1 当且仅当a b时上式等号成立 此时 5d2 1 从而d取最小值 为此有 1 1 1 1 12 22 b a b a ab ba 或得 r2 2b2 r2 2 于是所求圆的方程为 x 1 2 y 1 2 2 或 x 1 2 y 1 2 2 4 解析 aaxdxx a 3 0 3 a 0 2 3 1 3 1 s 解得 3 a 5 解析 依题意 有 22 2 2 1 21 21 4 18 2 cpfpf pfpf apfpf 可得 4c2 36 4a2 即 a2 c2 9 故有 b 3 6 解析 1 设直线l的方程为 y x a 代入抛物线方程得 x a 2 2px 即 x2 2 a p x a2 0 ab 22 4 42apa 2p 4ap 2p2 p2 即 4ap p2 又 p 0 a 4 p 2 设a x1 y1 b x2 y2 ab的中点c x y 由 1 知 y1 x1 a y2 x2 a x1 x2 2a 2p 则有x 2 2 2 2 212121 axxyy ypa xx p 线段ab的垂直平分线的方程为y p x a p 从而n点坐标为 a 2p 0 点n到ab的距离为p apa 2 2 2 从而s nab 222 2224 42 2 1 papppapa 当a有最大值 4 p 时 s有最大值为2p2 7 解析 由题意 得 2 3 3 3 a c c a 解得1 3ac 222 2bca 所求双曲线c的方程为 2 2 1 2 y x 点 0000 0p xyx y 在圆 22 2xy 上 圆在点 00 p xy处