3-3三阶行列式与克拉玛公式.doc

3-3三階行列式與克拉瑪公式重點整理1. 三階行列式：將9個數整齊排寫為叫三階行列式，其值為。2. 三階行列式性質：(1)行列式可依某一列（行）展開： =。(2)行列式的行、列互換，其值不變： = 。(3)任意兩列（行）對調，其值變號： = (4)任一列（行）可提出公因數。(5)兩列（行）成比例，其值為0： (6)將一列（行）的倍加到另一列（行），其值不變。3. 行列式的應用：(1)面積公式：設為平面上不共線三點，則的面積。(2)共線性質：三點共線的充要條件為。(3)直線方程式：過點的直線方程式為。(4)空間向量的外積：設，則定義與的外積為。(5)，且。(6)與所展開的平行四邊形面積=(6)平行六面體體積：由三向量所決定的平行六面體體積=。所決定的四面體體積=平行六面體體積。(7)三向量共平面：共平面的充要條件為。4. 克拉瑪公式：一次方程組中，令，則(1)若，則方程組恰有一組解。(2)若且至少有一不為0，則方程組無解。(3)若，則可能無限多解或無解。5. 三元一次方程組解的幾何意義：(1)若三平面的法向量都平行，則三平面可能 (i)重合，此時。有無限多解。 (ii)二重合一平行，此時。無解。 (iii)三平面平行，此時。無解。(2)若三平面的法向量，其中兩個平行，另一不平行，則可能為： (i)二平面重合，另一與之交於一線，此時。無限多解。 (ii)二平面平行，另一與之各交一線，此時且至少有一不為0。無解。(3)若三平面的法向量都不平行，則可能為： (i)交於一線，此時，無限多解。 (ii)兩兩相交於一線，三線不共點，此時且至少有一不為0。無解。 (iii)交於一點，此時。恰有一解。例1. 求行列式的值。類1. 求行列式的值。類2. 求行列式的值。Ans: 1. 24，2. 37800。例2. 化簡行列式。類1. 求行列式的值。類2. 將行列式展開得多項式，下列有關的敘述，何者為真？(A)是一個三次多項式 (B) (C) (D) (E)。(89.推甄)類3. 求行列式的值。Ans: 1. 20，2. (A)(B)(C)(D)，3. 0。例3. 試證：。(Vandermonde)類1. 設為1的立方虛根，求的值。類2. 求行列式的值。類3. 將行列式展開因式分解得 。類4. 設，解方程式。類5. 設表示三角形三邊的長，(1)若，則的形狀為 。(2)若，則的形狀為 。Ans: 1. 0，2. 96，3. ，4. ，5. (1)正三角形,(2)等腰三角形。例4. 因式分解。例5. 化簡。類1. 化簡。類2. 求證。類3. 化簡Ans: 1. 0，3. 。例6. 若，則 。類1. 若，則 。類2. 若，則 。Ans: 1. 21，2. 20，例7. 求？類1. 設求 。Ans: 1. 2。例8. 設為之三根，則 。類1. 設為之三根，則 。Ans: 1. 2。例9. 平面上的三頂點為，且其面積為10，求。類1. 設，求的面積。類2. 設，已知，若，則面積為 。類3. 設三點共線，則 。Ans: 1. ，2. 90，3. 。例10. 設，則三向量所張平行六面體體積為 ，三向量所成四面體體積為 。例11. 設四點共平面，求？類1. 空間中四點，則(1)四面體的面積為 ，(2)的面積為 ，(3)以為底的高為 。類2. 空間中四點，(1)若四點共面，則 ，(2)若四面體體積為6，則 。類3. 四個平面所圍四面體體積為 。類4. 已知三向量所張平行六面體體積為5，則三向量所張平行六面體體積為 。Ans: 1.(1),(2),(3)，2. (1)5,(2)-7 or 17，3. ，4. 10。例12. 設，(1)求，(2)求一向量使與都垂直，(3)求由所決定的平行四邊形的面積。類1. 空間中三點，求的面積。Ans: 1. 。例13. 設相異實數，試解方程組類1. 設為異於0之互異實數，求之解集。Ans: 1. 。例14. 判斷下列聯立方程組解的個數，並說明所代表平面相交情形。(1)，(2)，(3)，(4)，(5)。類1. 判斷下列聯立方程組解的個數，並說明所代表平面相交情形。(1)，(2)。Ans: 1. 略。例15. 若有唯一解(4,2,3)，則之解集合為。類1. 若有唯一解(4,2,3)，則之解集合為。Ans: 1. 。例16. 試就值討論下述三平面的相交情形：。類1. 方程組(*)，若(*)有無限多組解，則 ，此時的最小值為 。類2. 若聯立方程組無解，則 。類3. 設方程組有無限多組解，若，則 。類4. 若相異三平面，(1)兩兩交於一線，且三線不共點，則？(2)交於一線，則？Ans: 1.(-7,-18),，2. 2，3.，4. (1)-5,(2)2,3。例17. 若方程組有異於之解，則 。就值討論其解。類1. 若三平面相