高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系 2.5 与圆有关的比例线段课件 新人教A版选修41.ppt

五与圆有关的比例线段 1 相交弦定理 1 文字叙述 圆内的两条相交弦 被交点分成的两条线段长的积相等 2 图形及符号表示 如图 ab cd是 o的两条弦 ab cd相交于点p 则pa pb pc pd 名师点拨由相交弦定理可得如下推论 如果弦与直径垂直相交 那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 如图 若ab是圆o的直径 弦cd与ab垂直 则pc2 pd2 pa pb 做一做1 如图 圆o的两条弦ab与cd相交于点p 若pc 1 pd 8 且p为ab的中点 则ab 2 割线定理 1 文字叙述 从圆外一点引圆的两条割线 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 2 图形及符号表示 如图 pa和pc是圆o的两条割线 与圆分别交于点b a和d c 则pa pb pc pd 做一做2 如图 已知圆o的两条割线pab与pcd 若pc 2 cd 5 则pa pb 解析 由割线定理 得pa pb pc pd 故pa pb 2 2 5 14 答案 14 3 切割线定理 1 文字叙述 从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 2 图形及符号表示 如图 从 o外一点p引圆的切线pa和割线pbc a是切点 则pa2 pb pc 做一做3 如图 pm是圆o的切线 pab是圆o的割线 若pm 4 pa 2 则ab 解析 由切割线定理 得pm2 pa pb 故42 2 2 ab 解得ab 6 答案 6 4 切线长定理 1 文字叙述 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 2 图形及符号表示 如图 pa pb分别与 o相切于点a b 则pa pb opa opb 特别提醒1 切线长定理在证明线段相等 角相等及垂直关系中占有重要地位 故为重点 2 切割线定理和切线长定理实际上是割线定理的特例 做一做4 如图 pm pn是圆o的两条切线 切点为m n 若 mon 110 则 mpo 解析 由切线长定理可知pm pn opn opm 而 mon 110 所以 mpn 70 从而 mpo 35 答案 35 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 1 若圆o的两条割线是pab与pcd 则pa ab pc cd 2 如果ab cd是 o的两条相交弦 交点为p 且ab被点p平分 那么pa是pc与pd的比例中项 3 如果圆的一条弦与直径垂直相交 那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 4 如果pab pcd是 o的两条割线 且pa pc 那么pb与pd相等 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 规范解答 当堂检测 相交弦定理的应用 例1 如图 在圆o中 m n是弦ab的三等分点 弦cd ce分别经过点m n 若cm 2 md 4 cn 3 则线段ne的长为 答案 a 探究一 探究二 探究三 规范解答 当堂检测 反思感悟用相交弦定理解决问题的步骤1 结合图形 找准分点及线段被分点所分成的线段 2 正确应用相交弦定理列出关系式 3 代入数值运算 求出正确的答案 探究一 探究二 探究三 规范解答 当堂检测 变式训练1如图 ac为 o的直径 弦bd ac于点p pc 2 pa 8 则tan acd的值为 解析 ac为 o的直径 弦bd ac pb pd apb 90 由相交弦定理 得pb pd pa pc 即pb2 8 2 16 pb 4 b acd tan acd tanb 2 答案 2 探究一 探究二 探究三 规范解答 当堂检测 切割线定理的应用 例2 如图 ad为 o的直径 ab为 o的切线 割线bmn交ad的延长线于c 且bm mn nc ab 求 1 bc的长 2 o的半径r 分析 对于 1 可由切割线定理求得bm的长 从而求出bc的长度 对于 2 应由割线定理求得半径 解 1 不妨设bm mn nc x 探究一 探究二 探究三 规范解答 当堂检测 反思感悟1 应用切割线定理的一般步骤 1 观察图形 寻找切割线定理成立的条件 2 找准相关线段的长度 列出等式 3 解方程 求出结果 2 应用切割线定理及割线定理的前提条件只有从圆外一点才能作出圆的切线和割线 因此才可能用到割线定理或切割线定理 切割线定理是指一条切线和一条割线 而割线定理则是指两条割线 只有弄清前提 才能正确运用定理 探究一 探究二 探究三 规范解答 当堂检测 变式训练2如图 ab切 o于b acd为割线 e为的中点 be交dc于f 求证 af2 ac ad 证明 连接bc bd e为的中点 dbe cbe 又ab是 o的切线 abc cdb abc cbe dbe cdb 即 abf afb ab af 又ab是 o的切线 acd为割线 由切割线定理可知ac ad ab2 af2 ac ad 探究一 探究二 探究三 规范解答 当堂检测 切线长定理的应用 例3 如图 已知ab是 o的直径 c为圆上任意一点 过点c的切线分别与过a b两点的切线交于p q 求证 ab2 4ap bq 分析 一种思路是证明 aop bqo 通过对应边成比例结合切线长定理进行证明 另一种思路是在rt poq中 利用射影定理结合切线长定理进行证明 探究一 探究二 探究三 规范解答 当堂检测 证明 证法1 如图 连接op oq ap pq bq为 o的切线 1 2 3 4 ap bq为 o的切线 ab为直径 ab ap ab bq ap bq a b 90 1 2 3 4 180 1 4 2 3 90 又 1 5 90 4 5 证法2 连接oc 同上可证得 2 3 90 pq切 o于点c oc pq 在rt pqo中 由射影定理 得oc2 pc cq 利用切线长定理 有pc ap cq bq oc2 ap bq oc ab ab2 4ap bq 探究一 探究二 探究三 规范解答 当堂检测 反思感悟运用切线长定理时 应首先分析其中的等量关系 即 1 切线长相等 2 圆外点与圆心的连线平分两条切线的夹角 然后结合三角形等图形的有关性质进行计算与证明 探究一 探究二 探究三 规范解答 当堂检测 变式训练3如图 ab是 o的直径 c是 o上一点 过点c的切线与过a b两点的切线分别交于点e f af与be交于点p 求证 epc ebf 证明 ea ef fb是 o的切线 ea ec fc fb ea fb切 o于a b ab是直径 探究一 探究二 探究三 规范解答 当堂检测 圆中比例线段的综合问题 典例 如图 o的直径ab的延长线与弦cd的延长线相交于点p e为 o上一点 de交ab于点f 1 证明 df ef of fp 2 当ab 2bp时 证明 of bf 审题策略 1 证明 ofe dfp后利用对应边成比例求解 2 利用相交弦定理化简证明 探究一 探究二 探究三 规范解答 当堂检测 规范展示 1 连接oe 所以 aoe cde 所以 eof pdf 又 efo pfd 所以 ofe dfp 故df ef of fp 2 设bp a 由ab 2bp 得ao bo bp a 由相交弦定理得df ef af bf 所以af bf of fp 所以 a of bf of a bf 整理可得of bf 探究一 探究二 探究三 规范解答 当堂检测 答题模板 1 第1步 作辅助线 第2步 证明两个三角形相似 第3步 得到成比例线段 证得结论 2 第1步 利用相交弦定理得到成比例线段 第2步 结合 1 的结论得到欲证线段之间关系 第3步 整理即得所证结论 失误警示通过阅卷统计分析 造成失分的原因是 1 不能正确地作出辅助线 无法后续证明 2 不会利用圆周角定理以及圆心角定理 从而无法证明三角形相似 3 不能正确地运用相交弦定理得到成比例线段 4 不能合理地对线段进行分解 导致无法和欲证问题联系 探究一 探究二 探究三 规范解答 当堂检测 变式训练如图 p是 o外一点 pa是切线 a为切点 割线pbc与 o相交于点b c pc 2pa d为pc的中点 ad的延长线交 o于点e 求证 1 be ec 2 ad de 2pb2 探究一 探究二 探究三 规范解答 当堂检测 证明 1 因为pc 2pa pd dc 所以pa pd pad为等腰三角形 连接ab 设 pab deb bce bae 因为 pab bce pab bad pad pda deb dbe 所以 dbe 所以 dbe 即 bce dbe 所以be ec 2 因为ad de bd dc pa2 pb pc pd dc pa 所以pa2 pb pc pb 2pa 即pa 2pb 所以bd dc pa pb pa pa2 pb pa pb pc pb pa pb pc pa pb pa pb 2pb 2pb2 故ad de 2pb2 探究一 探究二 探究三 规范解答 当堂检测 1 设圆内两条相交弦 其中一条弦长为8cm 且被交点平分 另一条弦被交点分成1 4两部分 则这条弦长是 a 2cmb 8cmc 10cmd 12cm解析 设另一条弦被分成xcm 4xcm两部分 则 x 4x 解得x 2 故这条弦长为10cm 答案 c 探究一 探究二 探究三 规范解答 当堂检测 答案 b 探究一 探究二 探究三 规范解答 当堂检测 3 如图 pa pb是 o的两条切线 a b为切点 连接op交ab于c 连接oa ob 则图中等腰三角形 直角三角形的个数分别为 a 1 2b 2 2c 2 6d 1 6解析 pa pb为 o的切线 oa ap ob pb pa pb op平分 apb op ab 直角三角形有6个 oap obp oca ocb acp cbp 等腰三角形有2个 oab abp 答案 c 探