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文档简介

空间向量与立体几何从平面向量到空间向量向量是既有大小又有方向的量。如果我们把问题的研究范围限定在同一个平面上，称之为平面向量；如果问题的研究范围扩大到空间中，称之为空间向量。数学中所讨论的向量与向量的起点无关，我们称之为自由向量。向量的长度或模，用或表示。向量的夹角：，规定。当=时，向量与垂直，记作。当=0或时，向量与平行，记作。仿照平面向量的有关概念，给出下列定义：单位向量：零向量：相等向量：相反向量：平行向量：例：在正方体中：（1） 向量与向量相等吗？（2） 向量与是相反向量吗？（3） E和F分别是AB和的中点，在正方体中能找到3个与平行的向量吗？直线的方向向量：在直线上任意两点，则称为直线的方向向量。直线的方向向量不唯一，所有方向向量互相平行，且平行于该直线。给定空间中的任意一点A，和非零向量，有且只有一条过A且平行于的直线。平面的法向量：如果直线垂直于平面，那么把直线的方向向量叫作平面的法向量。平面的法向量不唯一，所有的法向量互相平行，且垂直与该平面。给定空间中的任意一点A，和非零向量，有且只有一个过A且垂直于的平面。空间向量的运算由于空间中两个向量经过平移后都可以在同一个平面内，所有平面向量的加法、减法、数乘及其数量积运算都可以推广到空间。一、 空间向量的加减法（1） 结合律 ；（2） 交换律；二、 空间向量的数乘（1）（2）（3）三、 定理：空间两个向量与共线的充要条件是存在实数，使得。四、 基底表示：在平行六面体中，是的中点，N是AB的中点，用表示：五、 空间向量的数量积：。（1） 交换律：；（2） 分配律：六、 常用结论：（1）；（2）；（3）；（4）七、 对于任意一个非零向量，我们把叫做向量的单位向量，记作。（1）；（2）与同向。八、 已知平行六面体的底面ABCD是边长为1的菱形，且求：（1）（2）向量的坐标表示和空间向量基本定理一， 空间向量的标准正交分解与坐标表示在给定的空间直角坐标系中，令分别为空间直角坐标系中x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量，设是空间任意向量，作。有。则叫作空间向量的坐标，记作。二， 如图，在直角坐标系中有长方体，且AB=2，BC=3，。（1） 给出关于的分解式，写出点的坐标；（2） 求的坐标。三， 我们把分别称为向量在x轴，y轴，z轴正方向上的投影。有：向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影。四， 一般地，若为的单位向量，称为向量在向量上的投影。已知单位正方体，求：（1） 向量在上的投影。（2） 向量在上的投影。五， 空间向量基本定理如果向量是空间三个不共面的向量，是空间任一向量，那么存在唯一一组实数，使得 （1）空间中不共面的三个叫作这个空间的一个基底
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