【创新设计】高考数学一轮复习 9.8 抛物线 理 苏教版.doc

9.8 抛物线一、填空题1抛物线y22px(p0)的焦点也是双曲线x2y28的一个焦点，则p_.解析 抛物线y22px的焦点为，双曲线x2y28的右焦点为(4,0)，故4，即p8.答案 82抛物线yax2的准线方程是y2，则a_.解析抛物线的标准方程为x2y，由条件得2，a.答案3已知抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y26x70相切，则p_.解析抛物线y22px(p0)的准线为x，圆x2y26x70，即(x3)2y216，则圆心为(3,0)，半径为4；又因抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y26x70相切，所以34，解得p2.答案24已知抛物线y22px(p0)的焦点为f，f关于原点的对称点为p，过f作x轴的垂线交抛物线于m、n两点，有下列四个命题：pmn必为直角三角形；pmn不一定为直角三角形；直线pm必与抛物线相切；直线pm不一定与抛物线相切其中正确的命题是_(填序号)解析因为pfmfnf，故fpmfmp，fpnfnp，从而可知mpn90，故正确，错误：令直线pm的方程为yx，代入抛物线方程可得y22pyp20，0，所以直线pm与抛物线相切，故正确，错误答案5设f为抛物线y24x的焦点，a、b、c为该抛物线上三点，若0，则|_.解析由于抛物线y4x的焦点f的坐标为(1,0)，设a(xa，ya)，b(xb，yb)，c(xc，yc)则(xa1，ya)，(xb1，yb)，(xc1，yc)，由0，所以xaxbxc3，则|xa1xb1xc1336.答案66已知过抛物线y24x的焦点f的直线交该抛物线于a、b两点，af2，则bf_.解析y24x，p2，f(1,0)，又af2，xa2，xa12，xa1.即abx轴，f为ab的中点bfaf2.答案27从抛物线y24x上一点p引抛物线准线的垂线，垂足为m，且pm5，设抛物线的焦点为f，则mpf的面积为_解析由抛物线方程y24x易得抛物线的准线l的方程为x1，又由pm5可得点p的横坐标为4，代入y24x，可求得其纵坐标为4，故smpf5410.答案10 8.过抛物线的焦点f作倾斜角为45的直线交抛物线于a、b两点,若线段ab的长为8,则p= . 解析 由题意可知过焦点的直线方程为 与抛物线方程联立得 由|ab|. 答案 2 9已知直线l过抛物线c的焦点，且与c的对称轴垂直，l与c交于a，b两点，ab12，p为c的准线上一点，则abp的面积为_解析设抛物线方程为y22px(p0)当x时，|y|p，p6.又p到ab的距离始终为p，sabp12636.答案3610抛物线yx2上的点到直线4x3y80距离的最小值是_解析如图，设与直线4x3y80平行且与抛物线yx2相切的直线为4x3yb0，联立方程，得即3x24xb0，则1612b0，求得b，所以切线方程为4x3y0，则切点到直线4x3y80的距离也就是所求的最小值，此最小值也即为两直线间的距离，为.答案11已知抛物线y28x的焦点为f，抛物线的准线与x轴的交点为k，点a在抛物线上且akaf，则afk的面积为_解析如图，过点a作abl于点b(l为准线)，则由抛物线的定义，得abaf.因为akaf，所以akab，所以akfakb45，设a(2t2,4t)，由k(2,0)，得1，得t1，所以sakf448.答案812点p在抛物线x24y的图象上，f为其焦点，点a(1,3)，若使pfpa最小，则相应p的坐标为_解析由抛物线定义可知pf的长等于点p到抛物线准线的距离，所以过点a作抛物线准线的垂线，与抛物线的交点即为所求点p的坐标，此时pfpa最小答案13探照灯的反射镜的纵截面是抛物线的一部分，灯口直径60 cm，灯深40 cm，则光源放置位置为灯轴上距顶点_处解析 将抛物线放到直角坐标系中，使顶点与原点重合，焦点在x轴正半轴上，则由题意可知点(40,30)在抛物线上，代入y22px中，解得p，而光源放在焦点位置，距离顶点p5.625 cm处答案 5.625 cm二、解答题14抛物线的顶点是双曲线16x29y2144的中心，而焦点是该双曲线的左顶点，求此抛物线的方程解析双曲线方程化为1，双曲线中心为o，左顶点为(3,0)，由题意抛物线方程为y22px(p0)且3，p6，方程为y212x.15抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线1(a0，b0)的一个焦点，并与双曲线的实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为，求抛物线与双曲线的方程解析由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，所以p2c，所以抛物线方程为y24cx.因为抛物线过点，所以64c，所以c1.故抛物线方程为y24x.又双曲线1过点，所以1.又a2b2c21，所以代入得1，所以a2或a29(舍)，所以b2，故双曲线方程为4x21.16.已知抛物线c:p0)过点a(1,-2). (1)求抛物线c的方程,并求其准线方程; (2)是否存在平行于oa(o为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线c有公共点,且直线oa与l的距离等于?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由. 解析 (1)将(1,-2)代入得 所以p=2. 故所求的抛物线c的方程为其准线方程为x=-1. (2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=-2x+t. 由 得. 因为直线l与抛物线c有公共点, 所以 解得. 另一方面,由直线oa与l的距离可得解得. 因为所以t=-1舍去. 所以,符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0. 17设抛物线y22px(p0)的焦点f，q是抛物线上除顶点外的任意一点，直线qo交准线于p点，过q且平行于抛物线对称轴的直线交准线于r点，求证：0.证明y22px(p0)的焦点f，准线为x.设q(x0，y0)(x00)，则r，直线oq的方程为yx，此直线交准线x于p点，易求得p.y2px0，(p，y0)p2p2p20.18如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点p(1,2)，a(x1，y1)，b(x2，y2)均在抛物线上(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当pa与pb的斜率存在且倾斜角互补时，求y1y2的值及直线ab的斜率解析(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y22px(p0)点p(1,2)在抛物线上，222p1，解得p2.故所求抛物线的方程是y24x，准线方程是x1.(2)设直线