有限元法 邹麒.doc

有限元分析的介绍邹麒（南华大学机械工程学院机械设计制造及其自动化08级 20084410213）摘要：有限元法的实质是将复杂的连续体划分为有限多个简单的单元体,化无限自由度问题为有限自由度问题,将连续场函数的(偏)微分方程的求解问题转化成有限个参数的代数方程组的求解问题。The finite element method is the essence of the complex of continuous body of divided into limited DuoGe simple units body, the infinite freedom problems for limited mobility problem, a field of function (partial) solution of the differential equation transformed into a parameter algebraic equations, the solution of the problem 关键词：有限元 起源 应用 发展 1965年“有限元”这个名词第一次出现，到今天有限元在工程上得到广泛应用，经历了三十多年的发展历史，理论和算法都已经日趋完善。有限元法的实质是将复杂的连续体划分为有限多个简单的单元体,化无限自由度问题为有限自由度问题,将连续场函数的(偏)微分方程的求解问题转化成有限个参数的代数方程组的求解问题。有限元的核心思想是机构的离散化，就是将实际结构假想地离散为有限数目的规则单元组合体，实际结构的物理性能可以通过对离散体进行分析，得出满足工程精度的近似结果来替代对实际结构的分析，这样可以解决很多实际工程需要解决而理论分析又无法解决的复杂问题。 有限元分析是随着计算机技术的发展而迅速发展起来的一种现代数值分析方法。它是50年代首先在连续力学领域-飞机结构静、动态特性分析中应用的一种非常有效的数值分析方法，随后很快就广泛的应用于热传导、电磁场、流体力学等连续性问题求解。 一、有限元的基本思想 有限元法的基本思想是将连续的求解区域离散为一组有限个、且按一定方式相互联结在一起的单元的组合体。由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解域。通常有限元法都遵循以下基本步骤: 物体的离散化:离散化是有限元法的基础，这就是依据结构的实际情况，选择合适的单元形状、类型、数目、大小以及排列方式，将拟分析的物体假想地分成有限个分区或分块的集合体。假设这些单元在处于它们边界上的若干个离散节点处相互连接，这些节点的位移将是该问题的基本未知参数。 挑选形函数或插值函数:选择一组函数，通常是多项式，最简单的情况是位移的线性函数。这些函数应当满足一定条件，该条件就是平衡方程，它通常是通过变分原理得到的，可由每个“有限单元”的节点位移唯一地确定该单元中的位移状态。确定单元的性质:确定单元性质就是对单元的力学性质进行描述。确定了单元位移后，可以很方便地利用几何方程和物理方程求得单元的应变和应力。一般用单元的刚度矩阵来描述单元的性质，确定单元节点力与位移的关系。 组成物体的整体方程组:组成物体的整体方程组就是由已知的单元刚度矩阵和单元等效节点载荷列阵集成表示整个物体性质的结构刚度矩阵和结构载荷列阵，从而建立起整个结构己知量-总节点载荷与整个物体未知量-总节点位移的关系。解有限元方程和辅助计算:引入强制边界条件，解方程得到节点位移。一般整体方程组往往数目庞大，可能是几十个、几百个，以至于成千上万个。对于这些方程组需要一定的计算数学方法解出其未知量。然后，根据实际问题进行必要的辅助计算。完整的有限元的求解过程如下图所示：二：有限元的数学方法从更广泛的观点看，有限元法的数学基础是变分原理。根据变分原理发展而来的有限元法，在求解微分方程方面得到了广泛的应用。变分原理是表达物理基础定律的一种普遍形式，其表达课概括如下：给出一个依赖物理状态的变量，同时给出的容许函数集，即一切可能的物理状态，则真是的状态是中使达到极小值的函数。解释如下：首先，有一组微分方程（对实际问题的控制方程），加上一组边界条件（特定、限定），再根据最小（极小）能量原理求解实际问题。在结构力学和应力分析中，变分原理用得最多。谈到变分，不能不谈到函数。函数的自变量是数，而泛函的自变量是函数，所以说泛函数就是函数的函数。比如，公式中，是函数，又是的函数，所以称为泛函。这里为一待求函数，它必须，满足为最小值的条件。所谓变分就是对泛函求极值，考虑确定函数最小值问题：这里和值已经给定，并且，相当求函数满足边界条件、并使达到极值的条件。 函数取极值必须满足一定条件，即已知，那么为函数取极值的必要条件。同样，对泛函数取极值也有相应的必要条件：（为变分专用符号）。泛函数取极值的必要条件经推导可得到一个欧拉方程【泛函取极值（非充分条件）时必须满足欧拉方程】。已知，欧拉方程为或欧拉方程是一个微分方程，为求解这个微分方程，可得无穷多个极值曲线。当把边界条件代入，就可得到唯一的极值曲线。由于，所以中全导数的展开式为：欧拉方程的最后形式为：从上面已看出，应用变分法为求解过程，首先是从泛函求极值出发，产生与变分代表同一物理过程的微分方程（欧拉方程）-必要条件，然后求解微分方程，得到满足变分的极值曲线。一般来说，函数求极值得到的是一个数，而泛函求极值得到的是一个函数或者是微分方程加边界条件。