2013年全国高中数学联赛山东赛区预赛.pdf

2 0 1 4年第6期 1 7 2 0 1 3 年全国高中数学联赛山东赛区预赛 中图分类号 G 4 2 4 7 9 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 5 6 4 1 6 2 0 1 4 0 6 0 0 1 7一 O 5 一 填空题 每小题 8 分 共 8 0分 1 函数 Y 4 c o s C O S 2 x R 的值域为 2 设复数 满足 1 则 I z 一 1 I 的最大 值为 3 如 图 1 在 A B C 中 0为边 B C的中点 过 0 的直线分别与直线 A B A C 交于不同的两点 若 AB m A M AC n AN 则 m n A 图 1 C 4 若关于 的不等式 I al 2 n 一 1 4 2 0 分 若 n 口 b 均为正整数 且 凡 a b P 为一素数 n a b的P 进制表示分别为 n ip i 口 口 i b 6 其中 0 a b P 一1 i 0 1 s 证明 1 若n 咖 d i 0 i 0 1 s 且对 1 8 中 等 数 学 整数J 0 s 均有 d ip p 一 1 p 则 n t j d ip 其中 表示不超过实数 的最大整数 2 p P 铮 I i I a b n i 0 l s I 其中 I AI 表示集合 A中元素的个数 参 考 答 案 一 1 一 3 5 令 t C O S 戈 一 1 1 则 Y 2 t 4 t 一1 2 1 一 3 从而 函数的值域为 一 3 5 2 3 解法 1 由三角不等式得 z2 z l 吉 5 寻 当z 一 l 时 上式取得最大值 3 解法 2 设 C O S 0 i s i n 0 由I z I l 则 应 l 于是 I z 一z 1 I I 一 露 l I z I l 一1 I I 2 c o s 0 1 I 3 3 2 解法 1 注意到 A O A B c 因为 M 0 N三点共线 所以 n 1 m n 2 解法 2 因为点 M 0 N分别在 A B C三边 或其延长线上 且三点共线 所以 由梅涅劳斯定 理得 A M 一1 MB OC NA 一 故 1 m n 2 4 0 a 1 若 0或 一1 均有 I I 1 I 1 当 a 1 时 取 0 贝 0 I a I 1 故 I a I I x I l 1 不符合题意 从 而 a 0 易验证 当0 a 1 时 恒有 I a I m a x I l l 1 I 综上 a的取值范围为 0 a6 兰 j 且仅当a 1 6 2 时 a b c 取最小值6 6 0 1 时 sin 詈 0 2 sin 2 詈 无上界 所以 a 1 此时 2 s i n 1 口2 吉 7 1 0 0 如图 3 集合 Au曰uC可分为七个互不相交 的区域 分别记为 1 2 7 图 3 已知元素 c 在区域 7中 元素 a b 可能 出现 在 4 7中的每个区域中 有 4种可能 元素 d e 可 为 因 2 0 1 4年第 6期 1 9 能 出现 在 1 2 3 5 6中 的每 个 区域 中 各 有 5种 可能 从而 符合条件的 A B C 共有 4 5 5 1 0 0组 8 专 字 由题意知 1 1 F而 丽 1 g f 1 o o 7 虿1 2 0 1 3 1 0 0 7 1 0 0 6 三一 旦 鱼 一 一一 一 一22 4 1 6 一 4 9 1 92 0 将三棱 台的顶 点 的相邻关 系转化为如 图 4 所示的区域关系 则其中顶点 C的 染色方法共有 种 对点 A 曰 C的每 一 种确定的染色方案 如暂不考虑每一侧棱 图4 两端点异色的要求 则 顶点 D E F也有 种不同的染色方案 把这些 染色方案的全体记为集合 P 故 I P I A 6 0 设 P P P 分别表示集合 P中点 A与 D 日与 E C与 F同色的所有方案构成的集合 则 l P I A 1 2 I Pl n I A 3 其中 1 0 o 寻 结 论 成 立 当 n 2时 吾 1 2 n 1 2 1 一 2 2 n一 1 4 1 注意到 p 1 一 p一 1 一 p一 1 p p 于是 p 一 1 p 一 1 则 d ip 如卜 掣 如 故 吝 2 若 P l n 且p 十 n 则记 a p 1 以P 2 7 2 0为例 易得 2 2 0 弩 18 一 般地 关于 p n 不难得出公式 骞 由 1 得 t j 吝 嘲 吝 令 c a b i 0 1 s 则 i 口 6 口 6 n 先介 绍 两 个 引 理 引 理 1 C iP i J 其中 0 s 引理 1 的证明 事实上 由 c g 卜 c p i i i i 2 0 1 4年第 6期 知 号 c d9i J 1 t J c 多 引理 2 若存在整数 z 0 z s 有 c i 凡 而 c 则存在整数 1 s 1 有 p c I n i p 一 1 l i l n l 一 1 i 1 引理 2的证 明 由 a b n 即 c n i p 0 i 0 又由 c n i 得 i f i Z 时 若 i 贝 U p 存在另一个下移段 由上述讨论 知若 c I i 0 1 s 一 1 中有 t 个 c c 中存在 t 个下移段 1 k 1 2 c 凡 t 时 显然 当 l k 1 2 t 时 c n p 仍有 c n ip 上述两种情形均有 c d 9 i n o 由引理 1 及 1 知 对任意的k 1 尼 f 当 1 1 l 时 由引理 1 知 一 号 一 哆 c 综上 即得 p 一 1 p p 1 一 骞