安庆一中20182019学年度高二第一学期期末考试数学试卷.doc

学习资料收集于网络，仅供参考安庆一中2018-2019学年度高二第一学期期末考试数学试卷一选择题（共12小题,每小题5分，共60分）1下列关于命题的说法正确的是（）A若pq是真命题，则pq也是真命题B若pq是真命题，则pq也是真命题C“若x2x20，则x2”的否命题是“x2x20，则x2”D“ x0R，x020”的否定是“xR，x20”2“2x3”是“x2”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3“a2+b20”的含义为（）Aa和b都不为0 Ba和b至少有一个为0Ca和b至少有一个不为0 Da不为0且b为0，或b不为0且a为04若命题“x0R，使得3x02+2ax0+10”是假命题，则实数a取值范围是（）ABCD5已知两点M（5，0），N（5，0），若直线上存在点P，使|PM|PN|6，则称该直线为“B型直线”给出下列直线：yx+1y2yxy2x其中为“B型直线”的是（）ABCD6已知直角坐标原点O为椭圆C：（ab0）的中心，F1，F2为左右焦点，在区间（0，2）任取一个数e，则事件“以e为离心率的椭圆C与圆O：x2+y2a2b2没有交点”的概率为（）ABCD7已知左、右焦点分别为F1，F2的双曲线1上一点P，满足|PF1|17，则|PF2|（）A1或33B1C33D1或118抛物线x+y20的焦点坐标为（）A（，0）B（，0）C（，0）D（，0）9如图所示，三棱锥OABC中，且，则（）ABCD10角A，B是ABC的两个内角下列六个条件中，“AB”的充分必要条件的个数是（）sinAsinB； cosAcosB； tanAtanB；sin2Asin2B； cos2Acos2B； tan2Atan2BA5B6C3D411定义在R上的函数f（x）满足：f（x+3）+f（x）0，且函数为奇函数给出以下3个命题：函数f（x）的周期是6； 函数f（x）的图象关于点对称；函数f（x）的图象关于y轴对称其中，真命题的个数是（）A3B2C1D012已知直线l与椭圆相切于第一象限的点P（x0，y0），且直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，当AOB（O为坐标原点）的面积最小时，（F1、F2是椭圆的两个焦点），则此时F1PF2中F1PF2的平分线的长度为（）ABCD二填空题（共4小题,每小题5分，共20分）13设，是方程x2ax+b0的两个实根，则“a2且b1”是“，均大于1”的 条件（填必要不充分，充分不必要，充要，既不充分也不必要）14椭圆+1上任意一点到其中一个焦点的距离恒大于1，则t的取值范围为 (用区间表示)15在正方体ABCDA1B1C1D1中，若点O是底面正方形A1B1C1D1的中心，且，则x+y+z 16给定圆P：x2+y22x及抛物线S：y24x，过圆心P作直线l，此直线与上述两曲线的四个交点，自上而下顺次为A，B，C，D；如果线段AB，BC，CD的长度按此顺序构成一个等差数列，则直线l的方程为 三解答题（共6小题，第17题10分，其它每题12分，共70分）17已知f（x），证明“对任意的xR，不等式f（x）m2m恒成立”的充要条件是“m（，1，+）”18已知集合Aa|方程1表示焦点在y轴上的椭圆方程，aR，集合Ba|（am）21，aR（1）求集合A；（2）若“aA”是“aB”的必要不充分条件，求实数m的取值范围19如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别在B1B和D1D上，且|BE|BB1|，|DF|DD1|（1）求证：A、E、C1、F四点共面；（2）若x+y+z，求x+y+z的值20已知椭圆的离心率为，若与圆E：相交于M，N两点，且圆E在内的弧长为（）求a，b的值；（）过椭圆的上焦点作两条相互垂直的直线，分别交椭圆于A，B、C，D，求证：为定值21已知椭圆E：+1（ab0）的上顶点P在圆C：x2+（y+2）29上，且椭圆的离心率为（1）求椭圆E的方程；（2）若过圆C的圆心的直线与椭圆E交于A、B两点，且1，求直线l的方程22已知抛物线yx2上的A，B两点满足2，点A、B在抛物线对称轴的左右两侧，且A的横坐标小于零，抛物线顶点为O，焦点为F（1）当点B的横坐标为2，求点A的坐标；（2）抛物线上是否存在点M，使得|MF|MO|（0），若请说明理由；（3）设焦点F关于直线OB的对称点是C，求当四边形OABC面积最小值时点B的坐标安庆一中2018-2019学年度高二第一学期期末考试数学试卷参考答案与试题解析一选择题（共12小题）1下列关于命题的说法正确的是（）A若pq是真命题，则pq也是真命题B若pq是真命题，则pq也是真命题C“若x2x20，则x2”的否命题是“x2x20，则x2”D“ x0R，x020”的否定是“xR，x20”【分析】由pq是真命题，可得p，q中至少有一个为真，可判断A；pq是真命题，p，q均为真命题，可判断B；由命题的否命题既对条件否定，也对结论否定，可判断C；由特称命题的否定为全称命题，可判断D【解答】解：若pq是真命题，可得p，q中至少有一个为真，则pq不一定是真命题，故A错误；若pq是真命题，p，q均为真命题，则pq也是真命题，故B正确；“若x2x20，则x2”的否命题是“x2x20，则x2”，故C错误；“x0R，x020”的否定是“xR，x20”，故D错误故选：B【点评】本题考查复合命题的真假、命题的否定和命题的否命题，考查判断能力和转化思想，属于基础题2“2x3”是“x2”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】“2x3”“x2”，反之不成立即可判断出关系【解答】解：“2x3”“x2”，反之不成立“2x3”是“x2”的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3“a2+b20”的含义为（）Aa和b都不为0Ba和b至少有一个为0Ca和b至少有一个不为0Da不为0且b为0，或b不为0且a为0【分析】对a2+b20进行解释，找出其等价条件，由此等价条件对照四个选项可得正确选项【解答】解：a2+b20的等价条件是a0或b0，即两者中至少有一个不为0，对照四个选项，只有C与此意思同，C正确；A中a和b都不为0，是a2+b20充分不必要条件；B中a和b至少有一个为0包括了两个数都是0，故不对；D中只是两个数仅有一个为0，概括不全面，故不对；故选：C【点评】本题考查逻辑连接词“或”，求解的关键是对的正确理解与逻辑连接词至少有一个、和、或的意义的理解4若命题“x0R，使得3x02+2ax0+10”是假命题，则实数a取值范围是（）ABCD【分析】问题转化为“xR，使得3x2+2ax+10”是真命题，根据二次函数的性质求出a的范围即可【解答】解：命题“x0R，使得3x02+2ax0+10”是假命题，即“xR，使得3x2+2ax+10”是真命题，故4a2120，解得；a，故选：C【点评】本题考查了特称命题，考查二次函数的性质，是一道基础题5已知两点M（5，0），N（5，0），若直线上存在点P，使|PM|PN|6，则称该直线为“B型直线”给出下列直线：yx+1y2yxy2x其中为“B型直线”的是（）ABCD【分析】根据双曲线的定义，可得点P的轨迹是以M、N为焦点，2a6的双曲线，由此算出双曲线的方程为再分别判断双曲线与四条直线的位置关系，可得只有的直线上存在点P满足B型直线的条件，由此可得答案【解答】解：点M（5，0），N（5，0），点P使|PM|PN|6，点P的轨迹是以M、N为焦点，2a6的双曲线可得b2c2a2523216，双曲线的方程为双曲线的渐近线方程为yx直线yx与双曲线没有公共点，直线y2x经过点（0，0）斜率k，与双曲线也没有公共点而直线yx+1、与直线y2都与双曲线有交点因此，在yx+1与y2上存在点P使|PM|PN|6，满足B型直线的条件只有正确故选：B【点评】本题给出“B型直线”的定义，判断几条直线是否为B型直线，着重考查了双曲线的定义标准方程、直线与双曲线的位置关系等知识，属于基础题6已知直角坐标原点O为椭圆C：（ab0）的中心，F1，F2为左右焦点，在区间（0，2）任取一个数e，则事件“以e为离心率的椭圆C与圆O：x2+y2a2b2没有交点”的概率为（）ABCD【分析】由题意画出图形，把椭圆C与圆O：x2+y2a2b2没有交点转化为cb，由此求出e的范围，再由几何概型概率计算公式求解【解答】解：如图，圆O：x2+y2a2b2c2，要使椭圆C与圆O：x2+y2a2b2没有交点，则cb，即c2b2a2c2，a22c2，则，又0e1，0以e为离心率的椭圆C与圆O：x2+y2a2b2没有交点的概率P故选：A【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，训练了几何概型概率的求法，是中档题7已知左、右焦点分别为F1，F2的双曲线1上一点P，满足|PF1|17，则|PF2|（）A1或33B1C33D1或11【分析】由双曲线的定义列出方程即可求出|PF2|【解答】解：左、右焦点分别为F1，F2的双曲线1上一点P，a8，b6，c10，ca2，满足|PF1|17，则|PF1|PF2|16，若|PF1|17，则|PF2|33或1（舍去），故选：C【点评】考查了双曲线的简单几何性质，双曲线的定义的应用，是中档题8抛物线x+y20的焦点坐标为（）A（，0）B（，0）C（，0）D（，0）【分析】抛物线方程化为y2x，由焦点坐标（，0），可得所求坐标【解答】解：抛物线x+y20，即为y2x，即有2p1，即p，可得焦点为（，0），故选：C【点评】本题考查抛物线的方程和性质，注意方程化为标准方程，考查运算能力，属于基础题9如图所示，三棱锥OABC中，且，则（）ABCD【分析】由，可得，（），代入即可得出【解答】解：，（），故选：C【点评】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理、向量平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题10角A，B是ABC的两个内角下列六个条件中，“AB”的充分必要条件的个数是（）sinAsinB； cosAcosB； tanAtanB；sin2Asin2B； cos2Acos2B； tan2Atan2BA5B6C3D4【分析】根据大角对大边得出ABab，结合正弦定理得出sinAsinB0，于是得出sin2Asin2B，cos2Acos2B，然后将各条件围绕“sinAsinB0，sin2Asin2B，cos2Acos2B”进行转化，即可得出答案【解答】解：当AB时，根据“大边对大角”可知，ab，由于，所以，sinAsinB，则是“AB”的充分必要条件；由于0BA，余弦函数ycosx在区间（0，）上单调递减，所以，cosAcosB，则是“AB”的充分必要条件；当AB时，若A是钝角，B为锐角，则tanA0tanB，则不是“AB”的充分必要条件；由于0BA，则sinA0，sinB0，若sin2Asin2B，则sinAsinB，所以，是“AB”的充分必要条件；当cos2Acos2B，即1sin2A1sin2B，所以，sin2Asin2B，所以，是“AB”的充分必要条件；由于tan2Atan2B，即，即，所以，则cos2Acos2B，所以，是“AB”的充分必要条件；故选：A【点评】本题考查充分必要条件，考查正弦定理与同角三角函数的基本关系，属于中等题11定义在R上的函数f（x）满足：f（x+3）+f（x）0，且函数为奇函数给出以下3个命题：函数f（x）的周期是6； 函数f（x）的图象关于点对称；函数f（x）的图象关于y轴对称其中，真命题的个数是（）A3B2C1D0【分析】由f（x+3）+f（x）0，推导出f（x）的周期为6；由函数为奇函数，图象关于原点对称，通过左移得出f（x）关于点对称；根据是奇函数，且f（x）f（x+3），得出f（x）是偶函数，图象关于y轴对称【解答】解：由题意，f（x+3）+f（x）0，f（x）f（x+3），f（x+3）f（x+6），f（x）f（x+6），f（x）的周期为6，正确；又函数为奇函数，图象关于原点对称，向左平移个单位得f（x），所以f（x）关于点对称，正确；又是奇函数，f（x）f（x），又f（x）f（x+3），即f（x）f（x），f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，正确综上，正确的命题序号是，共3个故选：A【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数图象平移与对称问题，是中档题12已知直线l与椭圆相切于第一象限的点P（x0，y0），且直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，当AOB（O为坐标原点）的面积最小时，（F1、F2是椭圆的两个焦点），则此时F1PF2中F1PF2的平分线的长度为（）ABCD【分析】由题意，切线方程为xx0+1，利用基本不等式，结合AOB（O为坐标原点）的面积最小，可得切点坐标，利用三角形的面积公式，建立方程，即可求出实数m的值【解答】解：由题意，切线方程为xx0+1，直线l与x、y轴分别相交于点A、B，A（，0），B（0，），SAOB，1+，SAOBb，当且仅当x0时，AOB（O为坐标原点）的面积最小，设|PF1|x，|PF2|y，则x+y2a2，由余弦定理可得4c2x2+y2xy，xyb2，PF1F2的面积Sxysinb2，2cy0b2，y0b，cb，c2+b2a21，b，设F1PF2中F1PF2的平分线的长度为m，则|PF1|msin+|PF2|msin（x+y），m，故选：A【点评】本题考查三角形面积的计算，考查直线与椭圆的位置关系，考查余弦定理的运用，属于难题二填空题（共4小题）13设，是方程x2ax+b0的两个实根，则“a2且b1”是“，均大于1”的必要不充分条件【分析】根据韦达定理表示出a，b，设出判断条件和结论，根据题意分别证明【解答】解：根据韦达定理得：a+，b，判定条件是p：，结论是q：；（还要注意条件p中，a，b需满足的大前提a24b0）（1）由，得a+2，b1qp（2）为了证明pq，可以举出反例：取4，它满足a+4+2，b421，但q不成立上述讨论可知：a2，b1是1，1的必要不充分条件，故答案为：必要不充分【点评】本题考查了韦达定理，考查充分必要条件，是一道中档题14椭圆+1上任意一点到其中一个焦点的距离恒大于1，则t的取值范围为（3，4）（4，）【分析】分t4和0t4求出椭圆的长半轴长和半焦距，再由ac1列式求解t的取值范围【解答】解：当t4时，椭圆+1表示焦点在y轴上的椭圆，则a，b2，c，由题意可得：ac1，解得4t；当0t4时，椭圆+1表示焦点在x轴上的椭圆，则a2，b，c，由题意可得：ac21，解得3t4综上，t的取值范围为（3，4）（4，）故答案为：（3，4）（4，）【点评】本题考查椭圆的简单性质，明确长轴的两个端点到焦点距离最小（或最大）是关键，是中档题15在正方体ABCDA1B1C1D1中，若点O是底面正方形A1B1C1D1的中心，且，则x+y+z2【分析】如图所示，+，（+），代入与比较即可得出【解答】解：如图所示，+，（+），+，又，则xy，z1x+y+z2故答案为：2【点评】本题考查了向量共线定理、平行四边形法则、平行六面体法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题16给定圆P：x2+y22x及抛物线S：y24x，过圆心P作直线l，此直线与上述两曲线的四个交点，自上而下顺次为A，B，C，D；如果线段AB，BC，CD的长度按此顺序构成一个等差数列，则直线l的方程为【分析】先确定圆P的标准方程，求出圆心与直径长，设出l的方程，代入抛物线方程，求出|AD|，利用线段AB、BC、CD的长按此顺序构成一个等差数列，可得|AD|3|BC|，求出k的值，由此可求直线l的方程【解答】解：圆P的方程为（x1）2+y21，则其直径长|BC|2，圆心为P（1，0），设l的方程为kyx1，即xky+1，代入抛物线方程得：y24ky+4，设A（x1，y1），D（x2，y2），有y1+y24k，y1y24，则（y1y2）2（y1+y2）2+4y1y216（k2+1）故|AD|2（y1y2）2+（x1x2）216（k2+1）2，因此|AD|4（k2+1）因为线段AB、BC、CD的长按此顺序构成一个等差数列，所以|AD|3|BC|，即4（k2+1）6kl方程故答案为：【点评】本题考查直线与圆、抛物线的位置关系，考查等差数列，考查学生的计算能力，确定|AD|是关键三解答题（共6小题）17已知f（x），证明“对任意的xR，不等式f（x）m2m恒成立”的充要条件是“m（，1，+）”【分析】利用二次函数、对数的单调性可得函数f（x）的最大值，再利用一元二次不等式的解法即可得出【解答】证明：f（x），可得：x1时，f（x）+x1时，f（x）0综上可得：f（x）max对任意的xR，不等式f（x）m2m恒成立”的充要条件是：m2m恒成立m（，1，+）”【点评】本题考查了二次函数、对数的单调性、一元二次不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18已知集合Aa|方程1表示焦点在y轴上的椭圆方程，aR，集合Ba|（am）21，aR（1）求集合A；（2）若“aA”是“aB”的必要不充分条件，求实数m的取值范围【分析】（1）由题意可得2a30，且32aa2，解不等式即可得到所求集合A；（2）化简集合B，由题意可得（m1，m+1）（3，），可得m的不等式，即可得到所求范围【解答】解：（1）Aa|方程1表示焦点在y轴上的椭圆方程，aR，则，解得3a，且a0，故A（3，0）（0，）；（2）集合Ba|（am）21，aRa|m1am+1，由“aA”是“aB”的必要不充分条件，可得（m1，m+1）（3，），即有m13且m+1，解得2m【点评】本题考查集合的化简和充分必要条件的判断，考查椭圆方程和不等式的解法，以及化简运算能力，属于基础题19如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别在B1B和D1D上，且|BE|BB1|，|DF|DD1|（1）求证：A、E、C1、F四点共面；（2）若x+y+z，求x+y+z的值【分析】（1）利用向量三角形法则、向量共线定理、共面向量基本定理即可得出（2）利用向量三角形法则、向量共线定理、共面向量基本定理即可得出【解答】（1）证明：+（+）+（+）+A、E、C1、F四点共面（2）解：+（+）+，x1，y1，z，x+y+z【点评】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理、共面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20已知椭圆的离心率为，若与圆E：相交于M，N两点，且圆E在内的弧长为（）求a，b的值；（）过椭圆的上焦点作两条相互垂直的直线，分别交椭圆于A，B、C，D，求证：为定值【分析】（）求得圆E的圆心和半径，由弧长公式可得圆心角，由任意角的三角函数的定义可得M的坐标，代入椭圆方程，运用离心率公式可得a，b；（）求出椭圆的方程和准线方程，讨论直线AB的斜率，结合直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和椭圆的第二定义，求得弦长，以及两直线垂直的条件，化简整理，即可得到定值【解答】解：（）圆E：的圆心为（0，），半径为r1，圆E在内的弧长为，可得NENr，即有NEN，设M在第一象限，可得xMrsin，yMrcos1，即为M（，1），代入椭圆方程可得+1，由e，又a2b2c2，解得a2，b1；（）证明：椭圆的方程为+x21，c，上准线方程为y，上焦点为（0，），e，当直线AB的斜率为0，可得|AB|1，|CD|2a4，则1+；当直线AB的斜率存在时，设AB：ykx+（k0），则 CD：yx+，又设点A（x1，y1），B（x2，y2）联立方程组，消去y并化简得（4+k2）x2+2kx10，x1+x2，y1+y2k（x1+x2）+2，即有|AB|e（y1y2）（），将k换为，可得|CD|，即有+综上可得：为定值【点评】本题考查椭圆的参数的求法，注意运用圆的有关知识，考查定值的证明，注意运用直线方程和椭圆联立，运用韦达定理和弦长公式的运用，体现了分类讨论的数学思想方法，考查计算能力，属于中档题21已知椭圆E：+1（ab0）的上顶点P在圆C：x2+（y+2）29上，且椭圆的离心率为（1）求椭圆E的方程；（2）若过圆C的圆心的直线与椭圆E交于A、B两点，且1，求直线l的方程【分析】（1）由圆C：x2+（y+2）29上，令x0，可得P（0，1），b1，又，a2b2+c2，联立解出即可得出椭圆E的方程（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）设直线l的方程为：ykx2，与椭圆方程联立可得根与系数的关系，代入1，解出k的值即可得出【解答】解：（1）由圆C：x2+（y+2）29上，令x0，可得y1，或5P（0，1），b1，又，a2b2+c2，联立解得a2，c椭圆E的方程为：（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）直线l的斜率不存在时，不满足1，设直线l的方程为：ykx2，联立，化为：（1+4k2）x216kx+120，256k248（1+4k2）0，化为：k2可得x1+x2，x1x21，x1x2+（y11）（y21）1，x1x2+（kx13）（kx23）1，化为（1+k2）x1x23k（x1+x2）+80，+80，化为：k25满足0k直线l的方程为：yx2【点评】本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的