【创新设计】高考数学一轮复习 87 立体几何中的向量方法（二）课时作业 新人教A版 .doc

第7讲立体几何中的向量方法（二）求空间角基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1(2014广东卷)已知向量a(1，0，1)，则下列向量中与a成60夹角的是()a(1，1，0) b(1，1，0)c(0，1，1) d(1，0，1)解析 经检验，选项b中向量(1，1，0)与向量a(1，0，1)的夹角的余弦值为，即它们的夹角为60，故选b.答案b2(2014新课标全国卷)在直三棱柱 abca1b1c1中，bca90，m，n分别是a1b1，a1c1的中点，bccacc1，则bm与an所成角的余弦值为()a. b. c. d.解析建立如图所示的空间直角坐标系cxyz，设bc2，则b(0，2，0)，a(2，0，0)，m(1，1，2)，n(1，0，2)，所以(1，1，2)，(1，0，2)，故bm与an所成角的余弦值cos .答案c3正方体abcda1b1c1d1的棱长为a，点m在ac1上且1，n为b1b的中点，则|为()a.a b.a c.a d.a解析以d为原点建立如图所示的空间直角坐标系dxyz，则a(a，0，0)，c1(0，a，a)，n.设m(x，y，z)，点m在ac1上且1，(xa，y，z)(x，ay，az)xa，y，z.得m，| a.答案a4在正方体abcda1b1c1d1中，点e为bb1的中点，则平面a1ed与平面abcd所成的锐二面角的余弦值为()a. b. c. d.解析以a为原点建立如图所示的空间直角坐标系axyz，设棱长为1，则a1(0，0，1)，e，d(0，1，0)，(0，1，1)，设平面a1ed的一个法向量为n1(1，y，z)，所以有即解得n1(1，2，2)平面abcd的一个法向量为n2(0，0，1)， cosn1，n2.即所成的锐二面角的余弦值为.答案b5在四面体pabc中，pa，pb，pc两两垂直，设papbpca，则点p到平面abc的距离为()a. b.a c. d.a解析根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系pxyz，则p(0，0，0)，a(a，0，0)，b(0，a，0)，c(0，0，a)过点p作ph平面abc，交平面abc于点h，则ph的长即为点p到平面abc的距离papbpc，h为abc的外心又abc为正三角形，h为abc的重心，可得h点的坐标为.pha.点p到平面abc的距离为a.答案b二、填空题6已知两平面的法向量分别为m(0，1，0)，n(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为_解析 cosm，n，m，n.两平面所成二面角的大小为或.答案或7在正四棱柱abcda1b1c1d1中，aa12ab，则cd与平面bdc1所成角的正弦值等于_解析以d为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设aa12ab2，则d(0，0，0)，c(0，1，0)，b(1，1，0)，c1(0，1，2)，则(0，1，0)，(1，1，0)，(0，1，2)设平面bdc1的法向量为n(x，y，z)，则n，n，所以有令y2，得平面bdc1的一个法向量为n(2，2，1)设cd与平面bdc1所成的角为，则sin |cosn，|.答案8.如图所示，在三棱柱abca1b1c1中，aa1底面abc，abbcaa1，abc90，点e、f分别是棱ab、bb1的中点，则直线ef和bc1所成的角是_解析以bc为x轴，ba为y轴，bb1为z轴，建立空间直角坐标系设abbcaa12，则c1(2，0，2)，e(0，1，0)，f(0，0，1)，则(0，1，1)，(2，0，2)，2，cos，ef和bc1所成的角为60.答案60三、解答题9(2014浙江卷)如图，在四棱锥abcde中，平面abc平面bcde，cdebed90，abcd2，debe1，ac.(1)证明：de平面acd；(2)求二面角bade的大小(1)证明在直角梯形bcde中，由debe1，cd2，得bdbc，由ac，ab2，得ab2ac2bc2，即acbc，又平面abc平面bcde，从而ac平面bcde，所以acde.又dedc，dcacc，从而de平面acd.(2)解以d为原点，分别以射线de，dc为x轴，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系dxyz，如图所示由题意知各点坐标如下：d(0，0，0)，e(1，0，0)，c(0，2，0)，a(0，2，)，b(1，1，0)设平面ade的法向量为m(x1，y1，z1)，平面abd的法向量为n(x2，y2，z2)，可算得(0，2，)，(1，2，)，(1，1，0)，由即可取m(0，1，)由即可取n(1，1，)于是|cosm，n|，由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角bade的大小是.10(2013湖南卷)如图，在直棱柱abcda1b1c1d1中，adbc，bad90，acbd，bc1，adaa13.(1)证明：acb1d；(2)求直线b1c1与平面acd1所成角的正弦值(1)证明易知，ab，ad，aa1两两垂直如图，以a为坐标原点，ab，ad，aa1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设abt，则相关各点的坐标为a(0，0，0)，b(t，0，0)，b1(t，0，3)，c(t，1，0)，c1(t，1，3)，d(0，3，0)，d1(0，3，3)从而(t，3，3)，(t，1，0)，(t，3，0)因为acbd，所以t2300，解得t或t(舍去)于是(，3，3)，(，1，0)因为3300，所以，即acb1d.(2)解由(1)知，(0，3，3)，(，1，0)，(0，1，0)设n(x，y，z)是平面acd1的一个法向量，则即令x1，则n(1，)设直线b1c1与平面acd1所成角为，则 sin |cosn，|.即直线b1c1与平面acd1所成角的正弦值为.能力提升题组(建议用时：25分钟)11正abc与正bcd所在平面垂直，则二面角abdc的正弦值为()a. b.c. d.解析取bc中点o，连接ao，do.建立如图所示坐标系，设bc1，则a，b，d.，.由于为平面bcd的一个法向量，可进一步求出平面abd的一个法向量n(1，1)， cosn， sinn，.答案c12在正四棱锥sabcd中，o为顶点在底面上的射影，p为侧棱sd的中点，且 sood，则直线bc与平面pac所成的角是()a30 b45c60 d90解析如图，以o为原点建立空间直角坐标系oxyz.设odsooaoboca.则a(a，0，0)，b(0，a，0)，c(a，0，0)，p.则(2a，0，0)，(a，a，0)，设平面pac的一个法向量为n，设n(x，y，z)，则解得可取n(0，1，1)，则 cos，n，n60，直线bc与平面pac所成的角为906030.答案a13(2015南京一模)p是二面角ab棱上的一点，分别在平面，上引射线pm，pn，如果bpmbpn45，mpn60，那么二面角ab的大小为_解析不妨设pm a，pnb，如图，作meab于e，nfab于f，epmfpn45，pea，pfb，()()abcos 60abcos 45abcos 45ab0.，二面角ab的大小为90.答案9014(2014天津卷)如图，在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，adab，abdc，addcap2，ab1，点e为棱pc的中点(1)证明：bedc；(2)求直线be与平面pbd所成角的正弦值；(3)若f为棱pc上一点，满足bfac，求二面角fabp的余弦值(1)证明依题意，以点a为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得b(1，0，0)，c(2，2，0)，d(0，2，0)，p(0，0，2)由e为棱pc的中点，得e(1，1，1)向量(0，1，1)，(2，0，0)，故0.所以bedc.(2)解向量(1，2，0)，(1，0，2)，设n(x，y，z)为平面pbd的法向量，则即不妨令y1，可得n(2，1，1)为平面pbd的一个法向量，于是有cosn，.所以直线be与平面pbd所成角的正弦值为.(3)解向量(1，2，0)，(2，2，2)，(2，2，