2019_2020学年新教材高中数学第六章平面向量初步测评新人教B版必修第二册.docx

第六章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(多选)若四边形ABCD是矩形,则下列命题中正确的是()A.AB与CD共线B.AC与BD相等C.AD与CB模相等,方向相反D.AB与CD模相等答案ACD解析四边形ABCD是矩形,AB=DC,故A,D正确;AC=BD但AC与BD的方向不同,故B不正确;AD=CB且ADCB,AD与CB的方向相反,故C正确.2.在五边形ABCDE中(如图),AB+BC-DC=()A.ACB.ADC.BDD.BE答案B解析AB+BC-DC=AC+CD=AD.3.(多选)已知两点A(2,-1),B(3,1),与AB平行且方向相反的向量a可能是()A.a=(-1,-2)B.a=(9,3)C.a=(-1,2)D.a=(-4,-8)答案AD解析AB=(1,2),a=(-1,-2)=-(1,2)=-AB,A正确.a=(-4,-8)=-4(1,2)=-4AB,D正确.4.已知A(x,2),B(5,y-2),若AB=(4,6),则x,y的值分别为()A.x=-1,y=0B.x=1,y=10C.x=1,y=-10D.x=-1,y=-10答案B解析A(x,2),B(5,y-2),AB=(5-x,y-4)=(4,6),5-x=4,y-4=6,解得x=1,y=10,故选B.5.已知向量a,b不共线,实数x,y满足(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,则x-y的值为()A.3B.-3C.0D.2答案A解析由原式可得3x-4y=6,2x-3y=3,解得x=6,y=3,x-y=3.6.已知三个力f1=(-2,-1),f2=(-3,2),f3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,现加上一个力f4,则f4等于()A.(-1,-2)B.(1,-2)C.(-1,2)D.(1,2)答案D解析为使物体平衡,即合外力为零,即4个向量相加等于零向量,f4=(0-(-2)-(-3)-4,0-(-1)-2-(-3)=(1,2).7.已知向量a=(-1,2),b=(3,m),mR,则“m=-6”是“a(a+b)”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案A解析充分性:若m=-6,a+b=(-1,2)+(3,-6)=(2,-4),则-12=2-4=-12,a=-12(a+b),可推出a(a+b),故充分性成立;必要性:若a(a+b),则a+b=ka,2+m=2k,2=-k,解得m=-6,故必要性成立;综上所述,“m=-6”是“a(a+b)”的充要条件,故选A.8.关于船从两河岸平行的一岸驶向另一岸所用的时间,正确的是()A.船垂直到达对岸所用时间最少B.当船速v的方向与河垂直时用时最少C.沿任意直线运动到达对岸的时间都一样D.以上说法都不正确答案B解析根据向量将船速v分解,当v垂直河岸时,用时最少.9.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则用a,b表示c为()A.c=12a-32bB.c=-12a+32bC.c=32a-12bD.c=-32a+12b答案A解析设c=x1a+x2b,因为向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),所以(-1,2)=(x1+x2,x1-x2),x1+x2=-1,x1-x2=2,解得x1=12,x2=-32,所以c=12a-32b,故选A.10.已知AD,BE分别为ABC的边BC,AC上的中线,设AD=a,BE=b,则BC等于()A.43a+23bB.23a+43bC.23a-43bD.-23a+43b答案B解析由题意得BE=12(BA+BC),所以2BE=BA+BC,同理得2AD=AB+AC=-BA+(BC-BA)=-2BA+BC,即2AD=-2BA+BC.2+得4BE+2AD=3BC,即4b+2a=3BC,所以BC=23a+43b.选B.11.如图所示,设P为ABC所在平面内的一点,并且AP=14AB+12AC,则BPC与ABC的面积之比等于()A.25B.35C.34D.14答案D解析延长AP交BC于点D,因为A,P,D三点共线,所以CP=mCA+nCD(m+n=1),设CD=kCB,代入可得CP=mCA+nkCB,即AP-AC=-mAC+nk(AB-AC)AP=(1-m-nk)AC+nkAB,又因为AP=14AB+12AC,即nk=14,1-m-nk=12,且m+n=1,解得m=14,n=34,所以CP=14CA+34CD可得AD=4PD.因为BPC与ABC有相同的底边,所以面积之比就等于|DP|与|AD|之比,所以BPC与ABC的面积之比为14,故选D.12.如图,在同一个平面内,三个单位向量OA,OB,OC满足条件:OA与OC的夹角为,且tan =7,OB与OC的夹角为45.若OC=mOA+nOB(m,nR),则m+n的值为()A.3B.322C.32D.22答案B解析建立如图所示的平面直角坐标系,由tan=7知为锐角,且sin=7210,cos=210,故cos(+45)=-35,sin(+45)=45.点B,C的坐标为-35,45,210,7210,OB=-35,45,OC=210,7210.又OC=mOA+nOB,210,7210=m(1,0)+n-35,45,m-35n=210,45n=7210,解得m=528,n=728,m+n=528+728=322.选B.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.已知向量a=(2x+3,2-x),b=(-3-x,2x)(xR).则|a+b|的取值范围为.答案2,+)解析因为a+b=(x,x+2),所以|a+b|=x2+(x+2)2=2x2+4x+4=2(x+1)2+22,所以|a+b|2,+).14.设e1,e2为两个不共线的向量,若a=e1+e2与b=-(2e1-3e2)共线,则实数等于,此时a,b方向.(填“相同”或“相反”)答案-32相反解析因为a,b共线,所以由向量共线定理知,存在实数k,使得a=kb,即e1+e2=-k(2e1-3e2)=-2ke1+3ke2.又因为e1,e2不共线,所以1=-2k,=3k,解得=-32,k=-12,由于k0,b0.(1)若O是坐标原点,且四边形OACB是平行四边形,试求a,b的值.(2)若A,B,C三点共线,试求a+b的最小值.解(1)因为四边形OACB是平行四边形,所以OA=BC,即(a,0)=(2,2-b),a=2,2-b=0,解得a=2,b=2.故a=2,b=2.(2)因为AB=(-a,b),BC=(2,2-b),由A,B,C三点共线,得ABBC,所以-a(2-b)-2b=0,即2(a+b)=ab,因为a0,b0,所以2(a+b)=aba+b22,即(a+b)2-8(a+b)0,解得a+b8或a+b0.因为a0,b0,所以a+b8,即a+b的最小值是8.当且仅当a=b=4时,“=”成立.21.(12分)在ABC中,AM=34AB+14AC.(1)求ABM与ABC的面积之比;(2)若N为AB中点,AM与CN交于点P,且AP=xAB+yAC(x,yR),求x+y的值.解(1)在ABC中,AM=34AB+14AC,4AM=3AB+AC,3(AM-AB)=AC-AM,即3BM=MC,即点M是线段BC靠近B点的四等分点.故ABM与ABC的面积之比为14.(2)因为AM=34AB+14AC,AMAP,AP=xAB+yAC(x,yR),所以x=3y,因为N为AB的中点,所以NP=AP-AN=xAB+yAC-12AB=x-12AB+yAC,CP=AP-AC=xAB+yAC-AC=xAB+(y-1)AC,因为NPCP,所以x-12(y-1)=xy,即2x+y=1,又x=3y,所以x=37,y=17,所以x+y=47.22.(12分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,b),n=(cos A,cos B),p=(22sin B+C2,2sin A),若mn,|p|=3.(1)求角A,B,C的值;(2)若x0,2,求函数f(x)=sin Asin x+cos Bcos x的最大值与最小值.解(1)mn,acosB=bcosA,由正弦定理,得sinAcosB=sinBcosA,sin(A-B)=0,又-A-B,A=B,而p2=|p|2=8sin2B+C2+4sin