【创新设计】（江苏专用）高考数学一轮复习 第十四章 第5讲 数学归纳法配套训练 理 新人教A版 .doc

第5讲 数学归纳法分层训练a级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xnyn能被xy整除”，在进行第二步证明时，给出四种证法假设nk(kn)，证明nk1命题成立；假设nk(k是正奇数)，证明nk1命题成立；假设n2k1(kn)，证明nk1命题成立；假设nk(k是正奇数)，证明nk2命题成立正确证法的序号是_解析中，k1不一定表示奇数，只有中k为奇数，k2为奇数答案2用数学归纳证明：对任意的nn*,34n252n1能被14整除的过程中，当nk1时，34(k1)252(k1)1可变形为_答案34(34k252k1)52k1563(2010寿光一中模拟)若存在正整数m，使得f(n)(2n7)3n9(nn*)能被m整除，则m_.解析f(1)6，f(2)18，f(3)18，猜想：m6.答案64用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(nn*)能被9整除”，要利用归纳假设证nk1时的情况，只需展开的式子是_解析假设当nk时，原式能被9整除，即k3(k1)3(k2)3能被9整除当nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k3)3展开，让其出现k3即可答案(k3)35用数学归纳法证明123n2，则当nk1时左端应在nk的基础上加上_解析当nk时，左侧123k2，当nk1时，左侧123k2(k21)(k1)2，当nk1时，左端应在nk的基础上加上(k21)(k22)(k23)(k1)2.答案(k21)(k22)(k23)(k1)26若f(n)122232(2n)2，则f(k1)与f(k)的递推关系式是_解析f(k)1222(2k)2，f(k1)1222(2k)2(2k1)2(2k2)2；f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2.答案f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2二、解答题(每小题15分，共30分)7(2012苏中三市调研)已知数列an满足：a1，an1(nn*)(1)求a2，a3的值；(2)证明：不等式0anan1对于任意的nn*都成立(1)解由题意，得a2，a3.(2)证明当n1时，由(1)，知0a1a2，即不等式成立设当nk(kn*)时，0ak0.而ak2ak10，0ak1ak2，即当nk1时，不等式成立由，得不等式0anan1对于任意nn*成立8(2011盐城调研)已知数列an满足an1apan(pr)，且a1(0,2)，试猜想p的最小值，使得an(0,2)对nn*恒成立，并给出证明证明当n1时，a2apa1a1(a1p)因为a1(0,2)，所以欲使a2(0,2)恒成立，则要恒成立，解得2p2，由此猜想p的最小值为2.因为p2，所以要证该猜想成立，只要证：当p2时，an(0,2)对nn*恒成立现用数学归纳法证明：当n1时结论显然成立；假设当nk时结论成立，即ak(0,2)，则当nk1时，ak1a2akak(2ak)，一方面，ak1ak(2ak)0成立，另一方面，ak1ak(2ak)(ak1)2112，所以ak1(0,2)，即当nk1时结论也成立由可知，猜想成立，即p的最小值为2.分层训练b级创新能力提升1用数学归纳法证明不等式1(nn*)成立，其初始值至少应取_解析右边12，代入验证可知n的最小值是8.答案82用数学归纳法证明1，则当nk1时，左端应在nk的基础上加上_解析当nk时，左侧1当nk1时，左侧1.答案3在数列an中，a1且snn(2n1)an，通过计算a2，a3，a4，猜想an的表达式是_解析当n2时，a1a26a2，即a2a1；当n3时，a1a2a315a3，即a3(a1a2)；当n4时，a1a2a3a428a4，即a4(a1a2a3).a1，a2，a3，a4，故猜想an.答案an4已知sn12223242(1)n1n2，当n分别取1,2,3,4时的值依次为_，所以猜想原式_.解析当n1时，s1121(1)11当n2时，s212223(1)21当n3时，s31222326(1)31当n4时，s41222324210(1)41猜想sn(1)n1.答案1，3,6，10(1)n15(2010全国卷)在数列an中，a11，an1c.(1)设c，bn，求数列bn的通项公式；(2)求使不等式anan13成立的c的取值范围解(1)an122，2，即bn14bn2.bn14，又a11，故b11，所以是首项为，公比为4的等比数列，bn4n1，bn.(2)a11，a2c1，由a2a1，得c2.用数学归纳法证明：当c2时，anan1.当n1时，a2ca1，命题成立；设当nk时，akak1，则当nk1时，ak2ccak1.故由知当c2时，anan1.当c2时，因为can1an，所以acan10有解，所以an，令，当2c时，an3.当c时，3，且1an，于是an1(an)(an)(an1)(1)所以an1(1)，当nlog3时，an13，an13，与已知矛盾因此c不符合要求所以c的取值范围是.6(2012扬州中学最后冲刺)已知在正项数列an中，对于一切的nn*均有aanan1成立(1)证明：数列an中的任意一项都小于1；(2)探究an与的大小，并证明你的结论(1)证明由aanan1，得an1ana.因为在数列an中，an0，所以an10.所以ana0.所以0an1.故数列an中的任意一项都小于1.(2)解由(1)知0an1，那么a2a1a2，由此猜想：an(n2)，下面用数学归纳法证明：当n