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4.4 函数的极值及其求法一、什么是极值？极值的定义设函数在的某个邻域内恒有或（）成立，则称是函数的一个极大值(或极小值)极大值与极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点可见，极大值就是局部最大值，极小值就是局部最小值二、哪些点有可能是极值点？分析图形先观察极大值点，函数在的左边是单调增加的，而在的右边变成单调减少的了其它极大值点处，同样地函数在其左边单调增加，在其右边单调减少思考：在极小值点的左右两边，函数的单调性有没有什么变化？有什么样的变化？请同学们自行思考当前讲授可见，极值点就是函数单调增减区间的交界点例4.3.2讨论函数的单调区间提示解(1)函数的定义域为(2)令，得驻点，(无不可导的点)(3)列表分析00可见，函数在区间和上单调减少，在区间上单调增加答：函数的单调减少区间为和，单调增加区间为在例4.3.2中，是极小值点，是极大值点极小值是，极大值是例4.3.3求的单调区间提示解(1)定义域为(2)，令，得驻点此外是不可导的点(3)列表分析02+0+答：的单调增加区间是和，的单调减少区间是在例4.3.3中，函数有极大值点，极大值为；极小值点，极小值为结论：对于连续函数，只有驻点和不可导的点才有可能是极值点三、求极值的方法及步骤方法一（第一充分条件：利用一阶导数）步骤：(1)求出函数的驻点和不可导的点(2)以上述点划分定义域，列表分析，确定函数的单调区间(3)从表中找出单调性发生变化的交界点(即极值点)，并求出这些点处的函数值，即得所求极值说明：在极值点的左右，若一阶导数符号从变到，则该点为极小值点；若一阶导数符号从变到，则该点为极大值点；若一阶导数不变号，则该点不是极值点方法二（第二充分条件：利用二阶导数）对于函数的驻点（即一阶导数为零的点），考察该点处的二阶导数如果不为零，则该点为极值点；如果为零，则无法判断在极值点处，若二阶导数值大于零，则该点为极小值点，若二阶导数值小于零，则该点为极大值点典型例题例题4.4.1求的极值解：定义域为(1) 求驻点和不可导的点 令，得驻点：，无不可导的点(2) 列表分析 010+0+0-极小值无极值极大值答：极小值点为，极小值为；极大值点为，极大值为特别注意：1. 在的左右，一阶导数不变号（均大于零），意味着函数在该点左右单调性无变化，所以该点不是极值点2. 驻点可能是极值点，但并非一定是极值点例如本题中的是驻点但不是极值点对于不可导的点，也有类似的结论定理（极值的必要条件）：如果函数在点处可导且取得极值，则必有，即一定是驻点例题4.4.2求函数的极值提示解定义域为(1)求驻点和不可导的点，令，得驻点：，无不可导的点(2) 列表分析 01+0-0+0-极大值极小值极大值答：函数在处取得极小值，极小值为；在处取得极大值，极大值为例题4.4.3试问a为何值时，函数在处取得极值？它是极大值还是极小值？并求
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