【创新设计】（江苏专用）高考数学二轮复习 专题整合 72 计数原理、数学归纳法、随机变量及其分布列(必做部分） 理（含最新原创题含解析）.doc

第2讲计数原理、数学归纳法、随机变量及其分布列1(2010江苏卷)已知abc的三边长都是有理数(1)求证：cos a是有理数；(2)求证：对任意正整数n，cos na是有理数证明(1)设三边长分别为a，b，c，cos a，a，b，c是有理数，b2c2a2是有理数，分母2bc为正有理数，又有理数集对于除法具有封闭性，必为有理数，cos a是有理数(2)当n1时，显然cos a是有理数；当n2时，cos 2a2cos2a1，因为cos a是有理数，cos 2a也是有理数；假设当nk(k2)时，结论成立，即cos ka、cos(k1)a均是有理数当nk1时，cos(k1)acos kacos asin kasin acos kacos acos(kaa)cos(kaa)cos kacos acos(k1)acos(k1)a解得：cos(k1)a2cos kacos acos(k1)acos a，cos ka，cos(k1)a均是有理数，2cos kacos acos(k1)a是有理数，cos(k1)a是有理数即当nk1时，结论成立综上所述，对于任意正整数n，cos na是有理数2记的展开式中，x的系数为an，x2的系数为bn，其中nn*.(1)求an；(2)是否存在常数p，q(pq)，使bn，对nn*，n2恒成立？证明你的结论解(1)根据多项式乘法运算法则，得an1.(2)计算得b2，b3.代入bn，解得p2，q1.下面用数学归纳法证明bn(n2且nn*)当n2时，b2，结论成立设nk时成立，即bk，则当nk1时，bk1bk.由可得存在常数p2，q1使结论对nn*，n2成立3(2014泰州中学调研)已知多项式f(n)n5n4n3n.(1)求f(1)及f(2)的值；(2)试探求对一切整数n，f(n)是否一定是整数？并证明你的结论解(1)f(1)0，f(2)17.(2)先用数学归纳法证明，对一切正整数n，f(n)是整数当n1时，f(1)1，结论成立假设当nk(k1，kn)时，结论成立，即f(k)k5k4k3k是整数，则当nk1时，f(k1)(k1)5(k1)4(k1)3(k1)(k1)f(k)k44k36k24k1.根据假设f(k)是整数，而k44k36k24k1显然是整数f(k1)是整数，从而当nk1时，结论也成立由、可知对一切正整数n，f(n)是整数(i)当n0时，f(0)0是整数(ii)当n为负整数时，令nm，则m是正整数，由(i)知f(m)是整数，所以f(n)f(m)(m)5(m)4(m)3(m)m5m4m3mf(m)m4是整数综上，对一切整数n，f(n)一定是整数4(2012江苏卷)设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1.(1)求概率p(0)；(2)求的分布列，并求其数学期望e()解(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8c对相交棱，因此p(0).(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，故p()，于是p(1)1p(0)p()1，所以随机变量的分布列是01p()因此e()1.5(2014无锡五校联考)无锡学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且p(0).(1)求文娱队的队员人数；(2)写出的概率分布列并计算e()解设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队中共有(7x)人，只会一项的人数是(72x)人(1)p(0)p(1)1p(0)，p(0)，即.，解得x2.故文娱队共有5人(2)p(1)，p(2)，的概率分布列为012pe()012.6(2014徐州质检)一投掷飞碟的游戏中，飞碟投入红袋记2分，投入蓝袋记1分，未投入袋记0分经过多次试验，某人投掷100个飞碟有50个入红袋，25个入蓝袋，其余不能入袋(1)求该人在4次投掷中恰有三次投入红袋的概率；(2)求该人两次投掷后得分的数学期望e.解(1)“飞碟投入红袋”，“飞碟投入蓝袋”，“飞碟不入袋”分别记为事件a，b，c.则p(a)，p(b)p(c).因每次投掷飞碟为相互独立事件，故4次投掷中恰有三次投入红袋的概率为p4(3)c3.(2)两次投掷得分的得分可取值为0,1