计算机数学基础(2)--线性方程组(02-10).doc

计算机数学基础(2)辅导 第10章 线性方程组的数值解法(2002级(秋季)用) 中央电大 冯 泰第10章 线性方程组的数值解法一、重点内容n高斯顺序消去法解线性方程组AXb, 对增广矩阵Ab 对增广矩阵Ab 顺序作初等行变换，使矩阵A化为上三角形矩阵再回代，从而求得线性方程组的解.要求作初等行变换消元过程中，(k=1,2,n-1)注意：本章讨论线性方程组的解的方法，不讨论解的存在性.n高斯列主元消去法在高斯顺序消去法中，每次消元之前，先确定主元(k=1,2,n-1)把第r行作为主方程，做第k次消元.将增广矩阵的系数部分化为上三角形矩阵，再回代求得线性方程组的解.n雅可比迭代法(简单迭代法)解线性方程组AXb的雅可比迭代法公式为 (k=0,1,2,)n高斯赛德尔迭代法 解线性方程组AXb的高斯赛德尔迭代法公式为(k=0,1,2,)n解的存在条件或收敛性定理【定理1】 高斯消去法消元过程能进行到底的充分必要条件是系数矩阵A的各阶顺序主子式不为0；AXb能用高斯消去法求解的充分必要条件是A的各阶顺序主子式不为0. 【定理4】(迭代法基本定理)设线性方程组XBXf对于任意初始向量X(0)及任意f，对应此方程组的迭代公式 X(k+1)BX(k)+f收敛的充分必要条件是其中为迭代矩阵B的特征根当li为复数时，li表示li的模设线性方程组AXb, 令 D 雅可比迭代格式为：X(k+1)B0X(k)f其中雅可比迭代矩阵：B0D1()， f=D1b 高斯赛德尔迭代格式为：X(k+1)GX(k)g其中高斯赛德尔迭代矩阵：G(D)1，g=(D)1b【定理5】(迭代法收敛的充分条件)设线性方程组XBXf，若矩阵B的元素bij(i=1,2,n,j=1,2,n)满足(1) 或 (2) 则对于任意初始向量X(0)及任意f，解此方程组的迭代公式 X(k+1)BX(k)+f收敛.【定理6】(迭代法收敛的充分条件)设线性方程组AXb，(1) 若A是严格对角占优矩阵，则雅可比迭代法和高斯赛德尔迭代法收敛；(2) 若A为对称正定矩阵，则高斯赛德尔迭代法收敛.注：设矩阵A，若则称矩阵A是严格对角占优矩阵.二、实例例1 用高斯顺序消去法解线性方程组计算过程保留4位小数.解 Ab= 系数矩阵为上三角形矩阵，于是回代得解 方程组的解为X(2.574 1,0.888 9,0.796 3)T .例2 用高斯赛德尔迭代法解线性方程组 取初始值(1.04,1.30,1.45,1.55)T，求 X(2)，并要求写出迭代公式，计算过程中保留2位小数. 解 本题的迭代格式为 (k=0,1,2,) 当k=0时，X(0)(1.04,1.30,1.45,1.55)T， X(1)=(0.75,0.97,1.20,1.40)T X(2)=(0.81,1.00,1.27,1.40)T 例3* 用超松弛迭代法求解线性方程组 取初始向量X(0)(1,1,1,1)T，松弛因子w1.46, 求两次迭代值.解 建立迭代格式 第1次迭代，k=0, X(0)=(1,1,1,1)T 所以，X(1)=(1,1,1.73,0.8029)T 第2次迭代，k=1 所以，X(2)=(1,1.5329,1.6393,0.8274)T 注：本题的精确解为(1.2,1.4,1.6,0.8)T例4 证明以矩阵A为系数矩阵的线性方程组，它的雅可比迭代解收敛，而高斯赛德尔迭代解发散证明 线性方程组的系数矩阵为 A于是 D D1D 雅可比迭代矩阵为 B0得到矩阵B0的特征根，根据迭代基本定理4，雅可比迭代法收敛.高斯赛德尔迭代矩阵为G 解得特征根为l1=0，l2,3=2.由迭代基本定理4知，高斯赛德尔迭代发散.例5 填空选择题： 1. 用高斯列主元消去法解线性方程组作第1次消元后的第2，3个方程分别为 .答案：解答 选a21=2为主元，作行互换，第1个方程变为：2x1+2x2+3x3=3，消元得到是应填写的内容.2. 以下矩阵是严格对角占优矩阵的为( )(A) ， (B) (C) (D) 答案：选择(B).解答：严格对角占优矩阵的定义为 或可以检验出，只有选择项(B)的矩阵，主对角线元素的绝对值大于同行(列)其它元素绝对值之和3. 用列主元消去法解线性方程组第1次选主元a21=5进行消元后，第2次选主元 .答案：2.8解答：以上的第2列，绝对值最大的数是2.8，选为主元注：本小题是求主元，与位置无关，所以只列出第1，2列的元素这不是用主元消去法解线性方程组的标准形式4. 用雅可比迭代法解线性方程组的迭代格式中 (k=0,1,2,)答案：解答：雅可比迭代法求第k+1次迭代值，只与第k次迭代值有关，迭代格式为(k=0,1,2,)代入第3个方程的系数即得三、练习题1用高斯顺序消去法解线性方程组 2.用高斯列主元消去法解线性方程组 3. 用雅可比迭代法求线性方程组 的X(3)取初始值(0,0,0)T，计算过程保留4位小数4. 用高斯赛德尔迭代法求解线性方程组 取初始值(4.67,7.62,9.05)T,求二次迭代值.5. 用多种方法证明线性方程组 的迭代解收敛性.6. 用列主元消去法解线性方程组，第1次消元，选择主元为( )(A) 3 (B)4 (C)4 (D)9四、练习题答案1. 2.X(4，1，2)T 3. X(3)=(3.136 4，2.045 6，0.971 6)T 4. (4.666 67, 7.619 45, 9.047 69)T5. 提示：可以用定理4，5，6(1)的条件进行证明.思路提示如下.线性方程组的系数矩阵为：A D= D1, = =方法1：雅可比迭代法雅可比迭代矩阵B0其特征根是：方法2：高斯赛