高考数学一轮复习 第七章 解析几何 第8讲 轨迹与方程配套课件 理.ppt

第8讲 轨迹与方程 1 2016年广东珠海模拟 已知b 2 0 c 2 0 a为动点 abc的周长为10 则动点a满足的方程为 解析 ab ac bc 10 b 2 0 c 2 0 ab ac 6 bc 点a的轨迹是以b c为焦点的椭圆 除去与b c共线 二顶点 且2a 6 c 2 b2 a2 c2 5 答案 b 示的曲线是 ac bd 答案 d 3 动点p到点f 2 0 的距离与它到直线x 2 0的距离相 等 则动点p的轨迹方程为 y2 8x 的一个焦点为f 2 0 且双曲线的渐近线与圆 x 2 2 y2 3相切 则双曲线的方程为 考点1 利用直接法求轨迹方程 例1 如图7 8 1 已知点c的坐标是 2 2 过点c的直线ca与x轴交于点a 过点c且与直线ca垂直的直线cb与y轴交于点b 设点m是线段ab的中点 求点m的轨迹方程 图7 8 1 解 方法一 直接法 设点m的坐标为 x0 y0 则点a的坐标为 2x0 0 点b的坐标为 0 2y0 kca 22 2x0 kcb 2 2y0 2 因为直线ca垂直于直线cb 所以kca kcb 22 2x0 2 2y02 1 化简 得x0 y0 2 0 所以点m的轨迹方程为x y 2 0 方法二 参数法 若ca x轴 则cb y轴 故点a的坐标为 2 0 点b的坐标为 0 2 所以点m的坐标为 1 1 若ca不垂直于x轴 则设直线ca的方程为y 2 k x 2 两式相加 得x0 y0 2 即x0 y0 2 0 x0 1 又点 1 1 在直线x0 y0 2 0上 所以点m的轨迹方程为x y 2 0 方法三 定义法 观察图象 显然 om ab 2 cm 即点 m到点c o的距离相等 故点m在线段oc的垂直平分线上 又线段oc的垂直平分线过oc中点 1 1 斜率k 1 即y 1 x 1 化简 得x y 2 0 所以点m的轨迹方程为x y 2 0 规律方法 求轨迹的步骤是 建系 设点 列式 化简 建系的原则是特殊化 把图形放在最特殊的位置上 这类问题一般需要通过对图形的观察 分析 转化 找出一个关于动点的等量关系 互动探究 的一个焦点 且双曲线的离心率为2 则该双曲线的方程为 考点2 利用定义法求轨迹方程 例2 1 已知圆c1 x 3 2 y2 1和圆c2 x 3 2 y2 9 动圆m同时与圆c1及圆c2相外切 则动圆圆心m的轨迹方程为 若动圆m同时与圆c1及圆c2相内切 则动圆圆心m的轨迹方程为 若动圆m与圆c1外切及圆c2相内切 则动圆圆心m的轨迹方程为 若动圆m与圆c1内切及圆c2相外切 则动圆圆心m的轨迹方程为 解析 如图d48 设动圆m与圆c1及圆c2分别外切于点 a和点b 根据两圆外切的充要条件 得 图d48 mc1 ac1 ma mc2 bc2 mb 因为 ma mb 所以 mc2 mc1 bc2 ac1 3 1 2 这表明动点m到两定点c2 c1的距离之差是常数2 根据双曲线的定义 动点m的轨迹为双曲线的左支 点m到c2的距离大 到c1的距离小 这里a 1 c 3 则b2 8 理可得后面三个小题 2 由人教版选修1 1p42 7改编 已知圆 x 2 2 y2 36的圆心为m 设a为圆上任一点 n 2 0 线段an的垂直平分线 交线段ma于点p 则动点p的轨迹是 a 圆c 双曲线 b 椭圆d 抛物线 解析 点p在线段an的垂直平分线上 故 pa pn 又am是圆的半径 pm pn pm pa am 6 mn 由椭圆的定义知 点p的轨迹是椭圆 答案 b 由人教版选修1 1p54 5改编 已知圆 x 2 2 y2 1的圆心为m 设a为圆上任一点 n 2 0 线段an的垂直平分线交 直线ma于点p 则动点p的轨迹是 a 圆c 双曲线 b 椭圆d 抛物线 解析 点p在线段an的垂直平分线上 故 pa pn 又am是圆的半径 pm pn pm pa am 1 mn 由双曲线的定义知 点p的轨迹是双曲线 答案 c 互动探究 解析 设圆m的半径为r 则 mc1 mc2 13 r 3 r 16 m的轨迹是以c1 c2为焦点的椭圆 则2a 16 2c 8 a 8 c 4 b2 a2 c2 48 故所求的轨迹方程为 x264 y248 1 故选d 答案 d 1 3 已知动圆m过定点a 3 0 并且内切于定圆b x 3 2 y2 64 则动圆圆心m的轨迹方程为 解析 设动圆m半径为r 根据两圆相切的充要条件 得 mb 8 r ma r 所以 ma mb 8 这表明动点m到两定点a b的距离之和是常数8 根据椭圆的定义 动点m的轨迹为椭圆 这里a 4 c 3 则b2 7 设点m的坐标为 x y 则其轨迹方程为 x216 y27 1 x216 y27 4 已知动圆m与圆c1 x 3 2 y2 64内切 与圆c2 x 3 2 y2 4外切 求动圆圆心m的轨迹方程 解 设动圆m的半径为r 根据两圆相切的充要条件 得 mc1 8 r mc2 2 r 所以 mc2 mc1 10 这表明动点m到两定点c2 c1的距离之和是常数10 根据椭圆的定义 动点m的轨迹为椭圆 即2a 10 a 5 又 c1c2 6 2c 则c 3 b2 a2 c2 16 设点m的坐标为 x y 则其轨迹方程为 x225 y216 1 x 5 考点3 利用相关点法求轨迹方程 点p x1 y1 q x1 y1 是双曲线上两个不同的动点 求直线a1p与a2q交点的轨迹e的方程 互动探究 答案 a 思想与方法 轨迹方程中的分类讨论例题 由人教版选修1 1p35 例3改编 已知动点p x y 与两个定点m 1 0 n 1 0 的连线的斜率之积等于常数 0 1 求动点p的轨迹c的方程 2 试根据 的取值情况讨论轨迹c的形状 解 1 由题设知 pm pn的斜率存在且不为0 2 讨论如下 当 0时 轨迹c为中心在原点 焦点在x轴上的双曲 线 除去顶点 当 1 0时 轨迹c为中心在原点 焦点在x轴上的 椭圆 除去长轴上的两个端点 当 1时 轨迹c为以原点为圆心 1为半径的圆 除 去点 1 0 1 0 当 1时 轨迹c为中心在原点 焦点在y轴上的椭 圆 除去短轴上的两个端点 互动探究 6 人教版选修1 1p35 例3