【高考复习指导 理】2015高考数学一轮复习第十一章 推理与证明、复数复习指导 理(pdf).pdf

高考复习指导 数学 教师用书 2 3 4 第第第第第 十十十十十 一一一一一 章章章章章 推理与证明 复数 内 容 要 求 ABC 推理与证明 合情推理与演绎推理 分析法与综合法 反证法 数学归纳法的原理 理科 数学归纳法的简单应用 理科 复数 复数的概念 复数的四则运算 复数的几何意义 1 合情推理和演绎推理是新课标中非常重要的内容 在未来的高考中有可能成为考查的热点之一 在考题中填空 题 解答题中均有可能涉及 若以填空题形式出现 则主要考 查归纳推理与类比推理的运用 对此 应明确合情推理的一 般步骤 掌握演绎推理的基本模式 而在证明题中 无不渗透 着演绎推理的思想 即往往是在不经意间进行着对演绎推理 的考查 2 对常用证明方法的考查主要渗透于解答题中 它可 能是解答题中的一问 或仅为解答过程的某个环节 但单独 命题进行考查的可能性不大 3 探索性命题是近几年高考中经常出现的一类热点 问题 此类题或要求探索结论 或要求探索使结论成立的条 件 这类题目往往选择以 归纳 猜想 证明 的形式出现 而 对数学归纳法的应用 也常出现在这类题目中 复习时 对 这类题应引起高度的关注 其中 尤其要关注这部分知识与 数列相结合的题 这类题往往是一类与正整数有关的命题 首先 它要求计算最初的几个相关数值 其次 它要求通过 已算出的初始值 应用不完全归纳法 作出合理的猜想 得 到一般性结论 最后 要求用数学归纳法给出严格的证明 观察 归纳 猜想 证明 不仅是解这类题的基本步 骤 同时 它还是一种重要的探索新知识 获得新知识的 方法 4 近几年高考考查复数的试题难度不大 属于中低档 题 且主要以填空题的形式考查基础知识 但它考查的内容 涉及面广 对基本问题掌握的熟练程度要求较高 如2 0 1 1年 江苏卷第3题 2 0 1 2年江苏卷第3题 2 0 1 3年江苏卷第2 题 2 0 1 4年江苏卷第2题均考查了复数的简单运算及基本 概念 5 复习复数内容时 重点要关注的基本问题有 1 以复数的概念为考点 考查复数的基础知识 它 包括考查复数的实部 虚部 模 虚数 纯虚数 共轭复数 以及虚数单位i的意义等概念 解这类题的关键在于正 确理解 概 念 和 掌 握 复 数 的 模 纯 虚 数 共 轭 复 数 等 的 性质 2 以复数的四则运算为考点 考查运算能力 解这类 题的关键在于掌握复数代数形式的加 减 乘 除 乘方等运 算的运算法则 同时 若能掌握几个常见的结论 如i n 和 n 1 2 3 2 i 的周期性以及 1 i 2 2 i 则有利于 提高运算的速度 3 以复数的几何意义为考点 考查 数 与 形 的转化 能力 解这类题的关键在于理解复数的几何意义 即复数与 复平面内的点一一对应 复数与复平面内以原点为起点的向 量一一对应 因此可根据需要把复数转化为复平面内的点或 向量 数形结合 来解题 4 以复数方程为考点 如教材选修2 2 P 1 1 1习题 3 2的第8题 选修1 2 P 6 6习题3 2的第7题 综合考查 复数知识 以及运算能力 解这类题的关键在于熟练掌握复 数的性质以及复数相等的充要条件 其基本解题思路是先 设复数的代数形式 把复数问题实数化 然后分别对实部和 虚部进行整理 再利用复数相等的充要条件建立实数方程 求解 第十一章 推理与证明 复数 2 3 5 1 复习 推理与证明 时应强化以下几个基本思想和 意识 1 归纳和类比意识 归纳和类比是创造性思维的最重 要的组成部分之一 所以要有强烈的归纳和类比意识 要善 于总结 要善于类比 要有意识地培养自己更强的归纳和类 比能力 2 证明意识 数学中有许多通过不完全归纳和类比得 出的结论 其中包括在学习过程中总结出来的一些具有实用 性的小结论 这些都要经过严格的证明后才能应用于解题 当中 我们应具备这样的意识 3 证明的方向意识 结论是证明的最终方向 证明过 程中要注意及时调整方向 使其始终与结论的方向保持一 致 在寻找证明的方向 方法时 应注意 要善于树立证明 的方向 如 在用数学归纳法证题的第二步中 先把n k 1 时的结论写出来 这样就有利于树立从假设n k成立到 n k 1成立的证明方向 要善于发现已知条件和结论的 提示作用 如 若题目中涉及 至少 都 等字样则要想到一 般用反证法来证 若所需证的命题是与正整数有关的 则要 想到一般选用数学归纳法来证等 要善于寻找已知条件与 结论之间联系的桥梁 当已知条件头绪太多 很难找到证明 的方向时 可以先假设结论成立 然后把结论当作条件 分析 使结论成立所需满足的条件 从而找到与已知条件联系的桥 梁 最终达到求证的目的 4 数学思维的严密性与灵活性 审题要仔细 要善于 充分挖掘题目外在的和内在的条件 推理要严密 每一步逻 辑推导都要准确 由条件到结论要充分 定理的引入与应用 要注意其适用范围 要善于应用 正难则反 的思想 数学归 纳法要注意它的完备性 即证明的两个步骤一步都不能少 证明n k 1成立时 一定要用到归纳假设 2 复习 推理与证明 时还应注意 1 在运用归纳推理时要抓住个体的主要变化特征 排除次要因素的干扰 在运用类比推理时要抓住两个相似 事物的基本量之间的相似或一致性关系 并由此推导其他 关系 2 在复习证明方法时要注意综合法 分析法 反证法 数学归纳法都有各自特点 各自的适用情况 它们之间不是 独立的 而是存在着联系的等等 对这些情况我们在复习时 均要进行总结 以便在需要时选择最适合的方法进行证明 如 用综合法书写证明过程条理清晰 而分析法更适合于对 复杂问题的思路寻找 因此 证题时不妨先用分析法来寻找 解题思路 然后用综合法书写证明过程 又如 反证法通过假 设结论错误得到一个新的条件 数学归纳法通过归纳假设得 到一个新条件 然后均用这些新条件进行下一步的推理 在 这一点上反证法与数学归纳法本质上是相同的 只有深刻理 解这些证明方法 考试中才能更好地运用它们解题 从而提 高解题效率 3 在复习 复数 时 应重点从数学思想方法上沟通知 识的内在联系 1 用 类比法 复习复数的运算 复数代数形式的加 法 减法运算法则为 a bi c di a c b d i a b c d R 复数代数形式的乘法的运算法则为 a bi c di a c b d a d b c i a b c d R 它们 在运算法则上类似于多项式的加 减法 合并同类项 以及 多项式的乘法 复数代数形式的除法运算法则为a b i c di a bi c di c di c di a c b d c 2 d2 b c a d c 2 d2i a b c d R c 2 d 2 0 即虚数除法运算的实质是分母 实数化 它类似 于实数运算的分母 有理化 这些都有利于我们对复数运算 的理解 以及对复数运算的记忆 2 用 类比法 复习复数的几何意义 我们知道实数与 数轴上的点是一一对应的 有序实数对与直角坐标平面内的 点是一一对应的 类似地 复数集C a bia b R 与 平面直角坐标系中的点集 a b a R b R 也可以建 立一一对应关系 即复数z a bi 一一对应 复平面内的点 Z a b 复数z a bi 一一对应 平面向量O Z 3 用 化归法 将复数问题转化为实数问题来求解 实 数的运算性质是我们熟悉的 而复数集又由实数集扩充而 来 因此 将复数问题转化为实数问题来解答是一种最常见 的解题策略 这也是数学 化归思想 的体现 如利用复数相 等充要条件 a bi c di a c b d a b c d R 特别地 a bi 0 a b 0 就是实现复数运算转化 为实数运算的重要方法 第7 6课时 合情推理与 演绎推理 内 容 要 求 ABC 合情推理与演绎推理 1 了解合情推理的含义 能利用归纳推理和类比推理 进行简单推理 2 理解演绎推理的基本方法 并能运用它们进行一些 简单推理 3 归纳推理与类比推理是高考的重点 热点 对于类比 推理 应熟练掌握从以下三个方面对命题进行类比 从命题 的形式上进行类比 从命题的结构 组成内容 上进行类比 从解决问题的方法和策略上进行类比 对于归纳推理应重视 它在数列中的应用 注意归纳推理的方法与递推数列综合起 来考查 高考复习指导 数学 教师用书 2 3 6 1 合情推理的两种常用形式包括归纳推理和类比推理 其 中 由个别事实中推演出一般结论的推理是归纳推理 根据两个 或两类 对象之间在某些方面的相似或相同 推演出它们在其他方面也相似或相同的推理是类比 推理 2 归纳推理的一般模式为 S1具有P S2具有P Sn 具有P 若S1 S2 Sn是A类事物的对象 则A类 事物具有P 它的一般思维过程为实验 观察 概括 推广 猜测一般性结论 3 类比推理的一般模式为 A类事物具有性质a b c d B类事物具有性质a b c d 若a b c与a b c 相似或相同 则B类事物可能具有性质d 它的一般思维 过程为观察 比较 联想 类推 猜测新的结论 4 演绎推理的主要形式是三段论式推理 其一般模式为 1 已知的一般原理 即大前提 M是P 2 所研究的特 殊情况 即小前提 S是M 3 根据一般原理 对特殊情 况做出的判断 即结论 S是P 1 图中由火柴杆拼成的一列图形中 第n个图形由n个正 方形组成 通过观察可以推得第n个图形中 火柴杆有3n 1根 2 下列表述中正确的是 填相应的序号即可 归纳推理是由特殊到一般的推理 归纳推理是由一般到一般的推理 演绎推理是由一般到特殊的推理 类比推理是由特殊到一般的推理 类比推理是由特殊到特殊的推理 3 已知f n n 2 5 n 5 2 当n 1时 f 1 1 当 n 2时 f 2 1 当n 3时 f 3 1 当n 4时 f 4 1 由此推理得对任意n N f n 1 这个推 论不正确 填 正确 或 不正确 4 1 1 1 2n个1 2 2 2 n个2 的值为3 3 3 n个3 n N 5 把下面的推理恢复成完全的三段论 函数y 2x 5的图象是一条直线 一次函数的图象是 一条直线 函数y 2x 5是一次函数 所以函数y 2x 5的图象是一条直线 6 半径为r的圆的面积S r r 2 周长C r 2 r 若将 r看做 0 上的变量 则 r 2 2 r 式可用 语言叙述为 圆的面积函数的导数等于圆的周长函数 对 于半径为R的球 若将R看做 0 上的变量 请你 写出类似于 的式子 4 3 R 3 4 R 2 式可用语 言叙述为球的体积函数的导数等于球的表面积函数 1 类比推理 从特殊到特殊的推理 例1 1 在平面几何里有勾股定理 设 A B C的两边A B A C互相垂直 则A B 2 A C2 B C 2 拓展到空 间 类比平面几何的勾股定理 研究三棱锥的侧面 面积与底面面积之间的关系 可以得出的正确结 论是 设三棱锥A B C D的三侧面A B C A C D A D B两两垂直 则 2 设函数f x 1 3 3 x 利用课本上推导等差数 列前n项 和 公 式 的 方 法 探 索f 20 1 2 f 2 0 1 1 f 0 f 1 f 2 0 1 3 的结果为 点拨 1 在平面上是线的关系 在空间呢 尝试从面的关 系进行类比 2 课本上推导等差数列前n项和公式 的方法是 倒序相加法 又注意到 2 0 1 2 2 0 1 3 2 0 1 1 2 0 1 2 0 1 1 尝试通过计算 f x f 1 x 来寻求解题规律 解 1 如图 1 直角顶点A所对的边B C的平方是以A 为公共点的另外两边A B A C的平方和 例1 1 例1 2 如图 2 在空间内 直角顶点A所对的面B C D与 面A B C A C D A B D的关系将会是怎样的呢 经 类比 可猜测直角顶点A所对面的面积的平方应等 于以A为公共点的相邻三个侧面面积的平方和 即 猜测 S2 B C D S 2 A B C S 2 A C D S 2 A D B 事实上 作 A E C D于E 连B E 则B E C D 又由题易得 A B C A C D A B D均为直角三 角形 于是S2 B C D 1 4C D 2 B E2 1 4C D 2 A B 2 A E 2 1 4C D 2 A B2 1 4C D 2 A E2 1 4 A C 2 A D2 A B 2 S 2 A C D S 2 A B C S 2 A C D S 2 A D B 2 因为f x f 1 x 1 3 3 x 1 3 3 1 x 1 3 3 x 3 x 3 3 x 3 第十一章 推理与证明 复数 2 3 7 3 3 3 3 x 3 x 3 3 x 3 3 3 令S f 2 0 1 2 f 2 0 1 1 f 0 f 1 f 2 0 1 3 倒序得S f 2 0 1 3 f 2 0 1 2 f 1 f 0 f 2 0 1 2 于是 得2S 4 0 2 6 3 3 所以S 6 7 13 反思 本题通过类比使问题得以解决 体现了类比推理在数 学发现中的作用 一般地 常可从以下几个方面进行 类比 直线和平面的类比 如 1 平面和空间的类 比 数与式的类比 方程与不等式的类比 数与形的类 比 一元与多元的类比 有限与无限的类比 解题方法 和策略间的类比 如 2 等 拓展 1 若函数f x 9 x 9 x 3 则f 1 7 f 2 7 f 3 7 f 4 7 f 5 7 f 6 7 f 7 7 的 值为33 4 2 计算s i n 2 1 s i n 2 2 s i n 2 3 s i n 2 8 9 4 41 2 提示 利用s i n 2 s i n 2 2 1 倒序相加求解 例1 拓展 3 如图 已知底面半径为r的 圆柱被一个平面所截 剩下 部分母线长的最小值为a 最大值为b 那么圆柱被截 后 剩 下 部 分 的 体 积 是 1 2 r 2 a b 提醒 在进行类比推理时要尽量从本质上去类比 从结构 形式 解题思路上去类比 不能仅从表面上去类比 否 则就会犯机械类比的错误 如拓展题 1 中 首项和末 项 第二项与倒数第二项的和并不是一个常值 又该 如何求解呢 这就要求真正理解 倒序相加法 的实 质才行 2 归纳推理 从特殊得到一般的推理 例2 1 已知数列 an 满足a1 1 an 1 an 1 an n 1 2 则 这 个 数 列 的 通 项 公 式an 根据选修2 2 P 7 8习题2 1第3题 选修1 2 P 4 1习题2 1第2题改编 2 观察下列等式 n i 1 i 1 2 n 2 1 2 n n i 1 i 2 1 3 n 3 1 2 n 2 1 6 n n i 1 i 3 1 4 n 4 1 2 n 3 1 4 n 2 n i 1 i 4 1 5 n 5 1 2 n 4 1 3 n 3 1 3 0 n n i 1 i 5 1 6 n 6 1 2 n 5 5 1 2 n 4 1 1 2 n 2 n i 1 i 6 1 7 n 7 1 2 n 6 1 2 n 5 1 6 n 3 1 4 2 n n i 1 i k ak 1n k 1 a kn k a k 1n k 1 a k 2n k 2 a1n a0 可以推测 当k 2 k N 时 ak 1 1 k 1 ak 1 2 ak 1 ak 2 1 点拨一 分别求出a2 a3 a4的值 尝试用归纳法 求解 解法一 当n 1时 a1 1 当n 2时 a2 a1 1 a1 1 1 1 1 2 当n 3时 a3 a2 1 a2 1 2 1 1 2 1 3 当n 4时 a3 a3 1 a3 1 3 1 1 3 1 4 猜想an 1 n 点拨二 尝试将数列化归为熟知的等差或等比数列 求解 解法二 由an 1 an 1 an 又a n 0 所以 1 an 1 1 an an 1 an 1 即 1 an 1 1 an 1 所以数列 1 an 是以1 a1 1为首项 1为公差 的等差数列 所以 1 an 1 a1 n 1 1 n 即an 1 n 2 点拨 利用归纳 猜想解题时 可尝试对给出的已知式 子进行 横向 比较 即针对每个特殊式子进行规律的 总结 猜想 如本题可尝试从 n i 1 i k 的各项系数ak 1 ak a1 a0间的关系去寻找规律 还可以进行 纵 向 比较 即对若干个特殊式子相对应位置的项进行比 较 即本题可将每个式子的第三项的系数1 6 1 4 1 3 5 1 2 1 2 n 2 抽出来后再去寻找规律 有时还得 综合利用这两类方法去进行比较 发现规律 进行 猜想 解 由观察可知当k 2时 将每一个式子的第三项的系 数抽出来 它们是1 6 1 4 1 3 5 1 2 1 2 n 2 高考复习指导 数学 教师用书 2 3 8 可见这些数组成一个等差数列 所以ak 1 k 1 2 而每 个式子的第四项均为零 所以ak 2 0 所以应分别 填k 1 2 0 反思 第 1 问中的解法一为归纳法 解法二为演绎法 归纳 法是指通过观察特例发现某些共性或一般规律 并把 这种共性推广为一般命题 猜想 最终对所提出的一 般性命题进行检验的方法 这是一类常用来求解数列 问题的方法 3 递推法 是用归纳推理解决有关自然数问题的又一 重要方法 例3 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师 单个蜂巢可 以近似地看作是一个正六边形 如图为一组蜂巢的截 面图 其中第一个图有1个蜂巢 第二个图有7个蜂 巢 第三个图有1 9个蜂巢 按此规律 以f n 表示第 n幅图的蜂巢总数 则f 4 f n 例3 点拨 尝试从n 1 2 3 4的情形入手 然后比较 分析其 中的规律 进而归纳出f n 根据图形及题意可知 f 1 1 f 2 7 f 3 1 9 f 4 3 7 但 要从中通过归纳 猜想出f n 的表达式仍然有相当 困难 尝试通过归纳出第n幅图与第 n 1 幅图蜂巢 总数之间的递推关系来求解 解 由图形观察可知 f 1 1 f 2 7 f 3 1 9 f 4 3 7 于是当n 2时 有 f 2 f 1 7 1 6 6 1 f 3 f 2 1 9 7 1 2 6 2 f 4 f 3 3 7 1 9 1 8 6 3 f n f n 1 6 n 1 将以上各式相加 得 f n f 1 6 1 6 2 6 3 6 n 1 6 1 2 3 n 1 3n 2 3 n 又f 1 1 所以f n 3n 2 3 n 1 即f n 3n 2 3 n 1 n 2 经检验n 1时 也 成立 所以f n 3n 2 3 n 1 n N 反思 运用归纳推理需考查特例成立的情形 并从中归 纳 猜想出一般规律 这就是 经验归纳法 但这样 做有时有可能计算量太大 易出错 有时特例中内 部潜在的规律性难于看出 此时 若用 递推法 取 代 经验归纳法 即转向考查问题每递进一步所反 映的规律 尝试通过探求n成立的情形与n 1成 立的情形之间的递推关系 并结合初始值寻找一般 规律 从而使归纳推理与递推数列相结合 有利于 问题的解决 4 演绎推理是证明数学问题最常用的方法 例4 已知a b R 求证 a b 1 a b a b 1 a b 点拨 根据所需证明不等式两边式子的结构特征 尝试通过 构造函数f x x 1 x x 0 然后利用 此函数的单调性来求证 因此 对大前提 函数f x 的单调性 的探求是用此法求证的 关键 证明 构造函数f x x 1 x x 0 设x1 x2是 0 上任意两个实数 且0 x1 x1 0 所以f x2 f x1 0 即 f x2 f x1 所以f x x 1 x x 0 是增函数 由 a b a b 0 所以f a b f a b 即 a b 1 a b a b 1 a b 反思 证明数学问题需根据已知定理 公理等进行推理 这 实际上就用了演绎推理 演绎推理在高考中是必考内 容 尤其体现在立体几何的证明题当中 三段论是演 绎推理的一种最为重要的推理形式 当然很多情况 下 利用三段论进行推理时 往往会省略大前提 利用 简化的三段论推理形式进行推理 1 归纳推理是由特殊到一般的推理 类比推理是由特 殊到特殊的推理 演绎推理是由一般到特殊的推理 从推理 的结果上看前两种结果不一定正确 有待进一步证明 而演 绎推理只要前提是真实的 推理的形式是正确的 那么推理 的结论一定正确 推理的关键是 观察 分析 比较 联想 归 纳 类比 猜想 2 合情推理是从具体的事实经验出发 通过观察 实 验 类比 联想 归纳 猜想而得出结论的一种推理 故合情推 理的条件与结论之间是以联想作为桥梁的 3 由演绎推理的过程可知 在证明和分析问题的过程 中 要充分挖掘题目的外在和内在条件 小前提 并根据需 要引入相关的 适用的定理和性质 大前提 在保证每一步 的推导都是正确的 严密的条件下 才能得到正确的结论 利 用演绎推理解题常见的错误有条件理解错误 小前提错 定 理引入和应用错误 大前提错 和推导过程错误等 而准确严 第十一章 推理与证明 复数 2 3 9 密的数学思维是保证条件理解 定理引入和应用及推导过程 正确的根本保障 1 根据选修2 2 P 7 0练习第3 1 题 选修1 2 P 3 5练习第 3 1 题改编 把下面的推理恢复成完全的三段论 因为 A B C三个内角依次为6 0 2 0 1 0 0 所以 A B C 是钝角三角形 大前提 有一个内角为钝角的三角形是钝角三角形 小前提 A B C的三个内角依次为6 0 2 0 1 0 0 而 1 0 0 9 0 是个钝角 结论 A B C是钝角三角形 2 根据选修2 2 P 6 6练习第2题改编 1 已知结论 正三角形内切圆的半径是高的 1 3 把这 个结论推广到空间正四面体 猜测相应命题为正四面 体的内切球的半径是高的1 4 2 已知结论 三角形的面积等于其内切圆半径与三角形 周长乘积的1 2 把这个结论推广到空间 猜测相应 命题为三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表 面积乘积的1 3 3 根据选修2 2 P 6 4练习第3题 P 7 8习题2 1的第1题 选修1 2 P 2 9练习第3题 P 4 1习题2 1的第1题改编 观察下列等式 在题后的横线上归纳出一般结论 1 9 1 8 1 6 4 1 2 2 5 9 1 6 3 6 1 6 2 0 一般结论为 n 2 2 n2 4 n 1 n N 2 1 1 2 2 3 4 3 2 3 4 5 6 7 5 2 4 5 6 7 8 9 1 0 7 2 一般结论为n n 1 n 2 n 2 n 1 2n 1 2 n N 3 1 2 1 1 1 1 2 1 3 1 1 3 1 2 1 2 1 4 1 4 1 1 3 1 5 1 3 1 2 1 4 1 6 一般结论为 1 n 1 1 1 3 1 5 1 2n 1 1 n 1 2 1 4 1 6 1 2n n N 4 根据选修2 2 P 6 4练习第4题 选修1 2 P 2 9练习第4 题改编 设平面内有n条直线 n 2 其中有且仅有2条直线互 相平行 任意3条直线不过同一点 若f n 表示这n条 直线交点的个数 1 试求f 2 f 3 f 4 f 5 的值 2 当n 2时 试求f n 的解析式 用n表示 答案 1 f 2 0 f 3 2 f 4 5 f 5 9 2 由 1 知每增加一条直线 交点增加的个数等于 原来直线的条数 即当n 3时 f 3 f 2 2 f 4 f 3 3 f 5 f 4 4 f n f n 1 n 1 将以上各式相加 得f n f 2 2 3 4 n 1 1 2 n 2 n 1 又 f 2 0 所以f n 1 2 n 2 n 1 n 3 经 检验 当n 2时 也适合 所以当n 2时 f n 1 2 n 2 n 1 5 根据选修2 2 P 6 6练习第4题 选修1 2 P 3 1练习 第3题改编 在等差数列 an 中 若am a1 m 1 d an a1 n 1 d 从而an am n m d 试进行类比 写出等比数列 an 的一个猜想 an amq n m 第7 7课时 直接证明与 间接证明 内 容 要 求 ABC 分析法与综合法 反证法 1 了解分析法 综合法 反证法的思考过程和特点 2 数学问题的证明不外乎直接证明法和间接证明法 每 年的高考中都有数学证明题 而大部分以直接证明法为主 3 鉴于本部分知识的特殊性 在高考中一般不会单独 出填空题考查这部分内容 它常以解答题的形式 或解答题 的某个环节作为考查点命题 因此 在复习这部分内容时 只 要明确直接证明与间接证明中常用的几种方法即可 对证明 的技巧性不宜作过高的要求 1 直接证明就是从命题的条件或结论出发 根据已知的定 义 公理 定理 逐步推得命题成立的证明方法 2 从已知条件出发 以已知的定义 公理 定理为依据 逐步 下推 直到推出要证明的结论为止 这种证明方法为综合 法 从问题的结论出发 追溯导致结论成立的条件 逐步 上溯 直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻 合为止 这种证明方法为分析法 这两种证法均属于直接 高考复习指导 数学 教师用书 2 4 0 证明法 3 反证法是一种常用的间接证明方法 它的证明过程可以 概括为 否定 推理 否定 即从否定结论开始 经过正 确的推理 导致逻辑矛盾 从而达到新的否定 即肯定原 命题 的过程 因此 用反证法证题应包括反设 归谬和存 真三个步骤 1 用反证法证题的关键在于在正确的推理下得出矛盾 这 个矛盾可以是 与已知条件矛盾 与假设矛盾 与 已知定义 公理 定理 法则相矛盾 与事实矛盾 其中 正确的是 只需填相应的序号即可 2 分析法是从要证明的结论出发 逐步寻求使结论成立的 充分条件 填 充分 必要 或 充要 3 有下列表述 综合法是执因导果法 综合法是顺推 法 分析法是执果索因法 分析法是间接法 反证 法是逆推法 其中正确的语句有3个 4 已知非零实数a b c是公差不为零的等差数列 则有以 下结论 1 a 1 c 2 b 1 a 1 c 2 b b 2 a c 2b a c 其中 正确的是 只需填相应的序号 即可 5 用分析法证明3 6 4 5 即要证 3 6 2 4 5 2 6 4 2 5 3 2 3 5 2 4 6 2 3 4 2 5 6 2 其中 正确的是 只需填相应的序号即可 6 已知三个方程x 2 4 a x 4a 3 0 x 2 a 1 x a 2 0 x2 2a x 2a 0 其中至少有一个方程有实根 则实数a的取值范围为a 1或a 3 2 提示 设三个方程均无实根 则有 1 1 6a 2 4 4a 3 0 2 a 1 2 4 a 2 0 3 4a 2 4 2a 0 解得 3 2 a 1 2 a 1 3 2 a 0 即 3 2 a2 若f x 有两 个极值点x1和x2 记过点A x1 f x1 B x2 f x2 的直线的斜率为k 证明 不存在这样的实数 a 使得k 2 a 点拨 本题为 否定性 的命题 尝试用反证法证明 证明 f x 的定义域为 0 f x 1 1 x 2 a x x 2 a x 1 x 2 令g x x 2 a x 1 则当a 2时 x1 x2为方程 g x 0的两根 且x1 a a 2 4 2 0 x2 a a 2 4 2 1 x1x2 1 由题知 k f x1 f x2 x1 x2 x1 x2 x 1 x2 x1x2 a l nx1 l nx2 x1 x2 1 1 x1x2 al n x1 l nx2 x1 x2 又x1x2 1 所以k 1 1 a l n1 x2 l n x2 1 x2 x 2 2 a 2 l nx2 1 x2 x 2 假设存在这样的实数a 使得k 2 a 于是2 a 2 a 2 l nx2 1 x2 x 2 即有x2 1 x2 2 l n x2 0 x2 1 成立 令h t t 1 t 2 l nt 则h t 1 1 t 2 2 t t 2 2 t 1 t 2 当t 1时 h t 0 即h t 在 1 上单调递增 又x2 1 所以h x2 x2 1 x2 2 l nx2 h 1 0 这与 式矛盾 所以假设不成立 即不存在这样的 实数a 使得k 2 a 反思 1 本例为否定性问题 一般地 至多性问题 至少性 问题 唯一性问题 存在性问题常考虑用反证法来求 证 2 反证法在证明中 出现矛盾结果 的形式较多 复习中应多总结与思考 这样有利于提高解题的 效率 4 用分析法寻找解题思路 体会分析法在解综合题中 的重要作用 例4 已 知ai i 1 2 n 都 是 正 数 求 证 a1 a2 an n a 2 1 a 2 2 a 2 n n 点拨 从结论的结构出发 寻找条件与结论之间的联结 桥 梁 由于a i i 1 2 n 均为正数 可将待证结论 两边平方 得 a1 a2 an n 2 a 2 1 a 2 2 a 2 n n 即要证 a1 a2 an n 2 a 2 1 a 2 2 a 2 n n 0 这在形式上与一元二次方程的判别式很相 似 尝试构造二次函数来证明 若构造函数f x a x 2 b x c a 0 因此 要证 0 只需证明 f x 0在x R恒成立即可 于是 解本题的关键 在于构造a b c的适当形式 注意到 易联想到令 b 2 n a1 a2 an 为什么不令b 1 n a1 a2 an 呢 结合 的形式 可知若不这样 a c 项的系数应为 4 而不是 1 若令a a 2 1 a 2 2 a 2 n 则c 1 n 于是f x a 2 1 a 2 2 a 2 n x 2 2 n a1 a2 an x 1 n 此时 如何保证f x 0在x R恒成立呢 联想到一个数平方为非负 数 将c修正为c n n 2 即可 证明 构造函数f x a 2 1 a 2 2 a 2 n x 2 2 n a1 a2 an x n n 2 又 a 2 1 a 2 2 a 2 n x 2 2 n a1 a2 an x n n 2 a1x 1 n 2 a2x 1 n 2 anx 1 n 2 0 即f x 0在x R恒成立 又a 2 1 a 2 2 a 2 n 0 此时 得 满 足 2 n a1 a2 an 2 4 a 2 1 a 2 2 a 2 n n n 2 0 高考复习指导 数学 教师用书 2 4 2 即 a1 a2 an n 2 a 2 1 a 2 2 a 2 n n 0 于是 a1 a2 an n 2 a 2 1 a 2 2 a 2 n n 两边开方即得 a1 a2 an n a 2 1 a 2 2 a 2 n n 反思 本题若直接从已知条件出发进行证明 容易迷失方 向 使解题无法进行下去 在这种情况下 尝试运用分 析法 执果索因 逆向思考问题 在分析过程中不断地 寻求使结论成立的一些条件 隐含条件 过渡条件 等 从而寻找到联结条件与结论之间需要的 桥梁 本例的难点在于如何构造合适的二次函数来求解 为 什么会想到构造二次函数 如何构建才合适呢 这正 是 点拨 中 分析 出来的 这也是解综合题必须经历 的一个过程 也许当看到用综合法书写出来的证明过 程时让人一目了然 但分析法在寻找思路上却起了不 可缺少的至关重要的作用 1 分析法 综合法 反证法 作为最常用的三种证明方 法 各有各的优点及表达格式 不能混淆 2 每一种证明方法都依赖于所证命题的知识体系及公 理体系 具体选用什么方法较合适 可结合具体的题目内容 利用 排除法 进行选择 1 根据选修2 2 P 8 4习题2 2第8题 选修1 2 P 4 7习题 2 2第8题改编 用反证法证明命题 函数y f x x a b 的图象与直线x 2至多只有1个交点 时 应 假设函数y f x x a b 的图象与直线x 2至 少有2个交点 2 根据选修2 2 P 8 4习题2 2第2题 选修1 2 P 4 7习题 2 2第2题 改 编 已 知a 1 0 c0 n N 点拨 若用数学归纳法证明 在由n k到n k 1时 会 出现2 k 1 2 k 1 2 2 2 k 2 k 2 2 k 3 2k 2 k 2 2 k 3 k 1 k 3 为使上式不小于 零 必须k 3 可见归纳证明的起点为n0 3 因而 对n 1 2应另行验证 证明 当n 1 2时 原不等式就是2 1 2 12 0 2 2 2 2 2 0 显然成立 1 当n 3时 2 3 2 32 1 0 原不等式成立 2 假设当n k k 3 时 2 k 2 k2 0成立 那么当n k 1时 有2 k 1 2 k 1 2 k 1 k 3 0 即2 k 1 2 k 1 2 0 所以n k 1时不等式也成立 由 1 和 2 可知 对一切n 3 n N 不等式成 立 结合n 1 2的验证 可知对一切n N 不等 式成立 反思 数学归纳法的两个步骤中 第一步是命题论证的基 础 即起 奠基 的作用 第二步是判断命题的正确性 能否递推下去的保证 即起 递推 作用 这两个步骤 是缺一不可的 本例中 为数学归纳法奠基的是n 3 由此才能进行递推 而对n 1 2只需另行验证即 可 要确定 奠基 的n0取何值 可从n k到n k 1的过程中分析后得来 提醒 归纳证明的起点并非一定从1 2开始的 应具体问题 具体对待 可从n k到n k 1的过程中分析后 得来 2 实现从假设的n k成立证明n k 1时成立 是用 好数学归纳法证题的关键和难点 例2 用数学归纳法证明 1 1 2 1 3 1 4 1 2n 1 1 2n 1 n 1 1 n 2 1 2n n N 点拨 当n k 1时注意等式两边项的情况所发生的变 化 这是用好数学归纳法证题的关键点之一 本题的 左边应增加两项 它们是 1 2k 1 1 2k 2 而不是只 增加项 1 2 k 1 证明 1 当n 1时 等式左边 1 1 2 1 2 等式右边 1 1 1 1 2 等式成立 2 假设n k时 命题成立 即有1 1 2 1 3 1 4 1 2k 1 1 2k 1 k 1 1 k 2 1 2k 那么 1 1 2 1 3 1 4 1 2k 1 1 2k 1 2k 1 1 2k 2 1 k 1 1 k 2 1 2k 1 2k 1 1 2k 2 1 k 2 1 k 3 1 2k 1 2k 1 1 k 1 1 2k 2 1 k 2 1 k 3 1 2k 1 2k 1 1 2k 2 这说明当n k 1时命题也成立 由 1 2 可知 命题对一切正整数都成立 反思 证明当n k 1成立时 要善于抓住 目标式 的结 构特征来进行各种变换 只有这样才能使证题过程 不盲目 如本例为什么要将 化为 的形式 即为 什么第一项是 1 k 2 最后一项是 1 k 1 1 2k 2 只 需对照所需证明的当n k 1时等式右边式子 1 k 2 1 k 3 1 2k 1 2k 1 1 2k 2就知道变 换的原因了 拓展 用数学归纳法证明 1 1 2 1 3 1 2 n 1 n 2 提示 假设当n k时 有1 1 2 1 3 1 2 k 1 k 2 成 立 那么 当n k 1时 1 1 2 1 3 1 2 k 1 高考复习指导 数学 教师用书 2 4 4 1 2 k 1 1 1 2 k k 2 2 k 1 1 2 k k 1 2 即括 号前以归纳假设代换 括号内的这2 k 1项都缩为最小 项1 2 k 来求证 3 利用 归纳 猜想 证明 的思想来解决有关自然数 问题时 证明常用数学归纳法 这是数学归纳法的重要应用 之一 例3 一个平面用n条直线去划分 最多能被分成几块 根据选修2 2 P 8 9例5改编 点拨 只有当任何两条直线都相交 其中任何三条直线不共 点时 才能使分成的块数为最多 首先尝试画出n 1 2 3 4 5时符合题意的图形 并观察将平面分成 了几部分 由此猜想出一般的结论 然后利用数学归 纳法进行证明 如图所示 解 只有当任何两条直线都相交 其中任何三条直线不共点 时 才能使分成的块数为最多 记这n条直线将平面分成rn个部分 则 r1 2 1 1 r2 4 r1 2 1 1 2 r3 7 r2 3 1 1 2 3 r4 1 1 r3 4 1 1 2 3 4 r5 1 6 r4 5 1 1 2 3 4 5 猜想r n 1 1 2 3 4 n 接下来用数学归纳法证明这个猜想 1 当n 1 2时 结论均成立 2 假设当n k时 结论成立 即rk 1 1 2 3 4 k 当n k 1时 第k 1条直线与前面的k条直线都 相交 有k个交点 这k个交点将这条直线分成k 1 段 且每一段将原有的平面部分分成两个部分 所以 rk 1 rk k 1 1 1 2 3 4 k k 1 结论也成立 根据 1 和 2 可知对n N 均有r n 1 1 2 3 4 n 即rn 1 n n 1 2 反思 用数学归纳法证明几何问题时 重 难点在于当n k 1时 如何将归纳假设与几何知识有机地结 合起来 从而获得n k 1与n k的递推关系来 求解 拓展 空间内n个平面最多可将空间分成多少个部分 提示 设n个平面最多可将空间分成f n 个部分 由观察 得f 0 1 f 1 2 f 2 4 f 3 8 但进一 步的结果很难由观察得到 此时可以利用上例中解决 平面中类似问题的递推思想来解决 设空间已经有 n 1个平面 它们把空间最多分成f n 1 个部分 如果再添上第n个平面 因它和前n 1个平面都相 交 所以可得到n 1条互不平行且不共点的交线 且 其中任何3条直线不共点 由上例可知 这n 1条交 线可以把第n个平面分成1 n n 1 2 1 2 n 2 n 2 个部分 每个部分把它所在的原有空间区域划分 成两个区域 因此 空间区域的总数增加了1 2 n 2 n 2 个 所以有f n f n 1 1 2 n 2 n 2 在 上式中 令n 1 2 3 n 有f 1 f 0 1 2 1 2 1 2 f 2 f 1 1 2 2 2 2 2 f 3 f 2 1 2 3 2 3 2 f n f n 1 1 2 n 2 n 2 各式相加 注意到f 0 1 得 f n f 0 1 2 n k 1 k 2 n k 1 k 2n 1 1 2 n n 1 2n 1 6 n n 1 2 2n 1 6 n 3 5n 6 所以 这n个平面可以把空间划分成1 6 n 3 5n 6 个部分 例4 等差数列 bn 中 b1 1 b1 b2 b1 0 1 4 5 若 数列 an 的通项公式为an l o ga1 1 bn a 0且 a 1 记Sn是 an 的前n项和 试比较Sn与 1 3 l o gabn 1的大小并证明你的结论 点拨 先分别求出Sn与 1 3 l o gabn 1 显然两者均与正整数n 有关 可尝试利用归纳推理的方法 从特殊情况归纳 猜想出这两者的大小关系 再用数学归纳法进行 证明 解 设 bn 的公差为d 则1 0b1 1 0 1 0 1 2 d 1 4 5 又 b1 1 解得d 3 所以bn 3n 2 于是an l o g a1 1 3n 2 l o ga3 n 1 3n 2 所以Sn l o g a 2 1 l o ga 5 4 l o ga3 n 1 3n 2 l o ga 2 1 5 4 8 7 3n 1 3n 2 1 3 l o gabn 1 1 3 l o ga 3n 1 l o ga 33 n 1 要比较Sn与 1 3 l o gabn 1的大小 只要比较 2 1 5 4 8 7 3n 1 3n 2与 33 n 1的大小即可 当n 1时 2 1 2 3 4 当n 2时 2 1 5 4 5 2 3 7 当n 3时 2 1 5 4 8 7 2 0 7 31 0 第十一章 推理与证明 复数 2 4 5 所以猜想 2 1 5 4 8 7 3n 1 3n 2 33 n 1 n N 下面用数学归纳法证明 1 当n 1时 已验证 2 假设当n k时猜想成立 即 2 1 5 4 8 7 3k 1 3k 2 33 k 1 当n k 1时 只需证2 1 5 4 8 7 3k 1 3k 2 3k 2 3k 1 33 k 1 1 33 k 4 成立即可 因为 2 1 5 4 8 7 3k 1 3k 2 3k 2 3k 1 3k 2 3k 1 33 k 1 所 以 只 需 证 3k 2 3k 1 33 k 1 33 k 4即可 又因为 3k 2 3k 1 33 k 1 3 33 k 4 3 3k 2 3 3k 4 3k 1 2 3k 1 2 9k 4 3k 1 2 0 所以 3k 2 3k 1 33 k 1 3 33 k 4 3 即 3k 2 3k 1 33 k 1 33 k 4 所以 式成立 即当n k 1时 不等式也成立 由 1 和 2 可知 对任何n N n 1 猜想均成立 所以当a 1时 Sn 1 3 l o gabn 1 当0 a 1时 Sn 33 k 4 只需证 3k 2 3k 1 33 k 1 3 33 k 4 3 0即可 这样就使过渡 变得流畅了 用数学归纳法证明不等式 第二步是关 键 此时可借用其他方法来达到目的 如本例所用的 分析法 还有放缩法 如例2后的拓展题的证明即 要用到放缩法 反证法等许多方法 1 数学归纳法作为一种数学证明的方法 两个步骤缺一 不可 第一步验证初始值n n0时要注意 n0的取值一定要 是使命题成立的第一个整数 第二步用归纳假设推证n k 1成立时要利用n k时的归纳假设 2 要实现从假设的n k成立证明n k 1也成立 此 时要善于利用目标意识进行恒等变换或放缩变换 要注意综 合利用其他各种方法 要注意叙述须清楚 严密 准确 同时 注意k的范围为k n0 1 根据选修2 2 P 8 7练习第3题改编 用数学归纳法证明 对于足够大的自然数n 总有2 n n 3 则所取的第一个n值 最小应当是1 0 2 根据选修2 2 P 9 0练习第2题改编 已知f n 2n 7 3 n 9 若存在自然数m 使对于 任意n N 都有m整除f n 则m的最大值为3 6 3 根据选修2 2 P 9 0练习第3题改编 凸n n 3 n N 边形有f n 条对角线 则凸n 1 边形的对角线条数f n 1 f n n 1 用含f n 的式子表示 提示 第n 1个顶点与除自身和相邻的三个点外 可新连 出n 2条对角线 而与它相邻的两顶点所连接的线 段也成为一条新的对角线 因此共新增n 1条对 角线 4 根据选修2 2 P 9 1习题2 3第8题改编 已知数列 an 的前n项和为Sn 且a1 1 Sn n 2 an n N 1 求S1 S2 S3 S4的值 并猜想Sn的表达式 2 用数学归纳法证明 1 的结果 提示 因为an Sn Sn 1 n 2 所以Sn n 2 Sn Sn 1 所以Sn n 2 n 2 1Sn 1 n 2 因为a1 1 所以S1 a1 1 所以S2 4 3 S3 3 2 6 4 S4 8 5 猜想Sn 2n n 1 n N 2 证明 当n 1时 猜想成立 假设当n k时 猜想成立 即 Sk 2k k 1 则当n k 1时 有Sk 1 k 1 2 ak 1 ak 1 Sk ak 1 2k k 1 所以ak 1 2 k 1 k 2 所以Sk 1 k 1 2 ak 1 k 1 2 2 k 1 k 2 2 k 1 k 2 2 k 1 k 1 1 所 以当n k 1时 猜想也