山东省枣庄市峄城区吴林街道中学八年级数学下册 6.5 三角形内角和定理的证明教案 北师大版.doc

6.5 三角形内角和定理的证明教案教学目标：1三角形的内角和定理的证明.2掌握三角形内角和定理，并初步学会利用辅助线证题，同时培养学生观察、猜想和论证能力.3通过新颖、有趣的实际问题，来激发学生的求知欲.教学重点与难点：重点：三角形内角和定理的证明.难点：三角形内角和定理的证明方法.教法与学法指导：通过折纸与剪纸等操作让学生获得直接经验，然后从学生的直接经验出发，逐步转到符号化处理，最后达到推理论证的要求.通过适时的引导促使学生积极的开展探究活动来激发学生的思维，通过适当的点拨使学生实现对知识、能力和情感的升华.课前准备：多媒体课件教学过程：一、温故知新，引入新课（投影图片）师：用橡皮筋构成abc，其中顶点b、c为定点，a为动点，放松橡皮筋后，点a自动收缩于bc上，请同学们考察点a变化时所形成的一系列的三角形：a1bc、a2bc、a3bc其内角会产生怎样的变化呢？（学生观察图片的变化情况，思考后回答.）生1：当点a离bc越来越近时,a越来越接近180,而其他两角越来越接近于0.生2：三角形各内角的大小在变化过程中是相互影响的.师：很好.在三角形中，最大的内角有没有等于或大于180的？生丙三角形的最大内角不会大于或等于180.师：很好.看实验：当点a远离bc时，a越来越趋近于0,而ab与ac逐渐趋向平行，这时，b、c逐渐接近为互补的同旁内角.即b+c180.请同学们猜一猜：三角形的内角和可能是多少？生齐声：三角形的内角和是180.师：180，这一猜测是否准确呢？我们曾做过如下实验：（投影图片）实验1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行图（1）然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合图（2）、（3），最后得图（4）所示的结果.实验2：将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起.生齐声：三角形的内角和是180.师：由实验可知：我们猜对了！三角形的内角之和正好为一个平角.师：但观察与实验得到的结论，并不一定正确、可靠，这样就需要通过数学证明.那么怎样证明呢？这节课我们一起探究一下三角形内角和定理的证明.【教师板书课题-6.5三角形内角和定理的证明.】设计意图：通过用橡皮筋构成abc的演示，及对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用.将自己的操作转化为符号语言对于学生来说还存在一定困难，因此需要一个台阶，使学生逐步过渡到严格的证明 二、交流讨论，探索新知师：很好，这样我们就可以证明了：三角形的内角和等于180.接下来同学们来证明：三角形的内角和等于180这个真命题.这是一个文字命题，证明时需要先干什么呢？生：需要先画出图形，根据命题的条件和结论，结合图形写出已知、求证.师：对，下面大家来证明，哪位同学上黑板给大家板演呢？生1：已知，如图，abc.求证：a+b+c=180.证明：作bc的延长线cd，过点c作射线ceab.则ace=a（两直线平行，内错角相等）.ecd=b（两直线平行，同位角相等）.acb+ace+ecd=180（1平角=180），a+b+acb=180（等量代换）.即：a+b+c=180.生2：老师，我的证明过程是这样的：证明：作bc的延长线cd，作ecd=b.则：ecab（同位角相等，两直线平行），a=ace（两直线平行，内错角相等）.acb+ace+ecd=180（1平角=180），acb+a+b=180（等量代换）.师：同学们写得证明过程很好，在证明过程中，我们仅仅添画了一条射线ce，使处于原三角形中不同位置的三个角，巧妙地拼凑到一起来了.为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.我们通过推理的过程，得证了命题：三角形的内角和等于180是真命题，这时称它为定理.即：三角形的内角和定理.小明也在证明三角形的内角和定理，他是这样想的.大家来议一议，他的想法可行吗？（出示投影片）在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个角“凑”到a处，他过点a作直线pqbc.（如图）他的想法可行吗？你有没有其他的证法.生1：小明的想法可行.因为：pqbc（已作），pab=b（两直线平行，内错角相等）.qac=c（两直线平行，内错角相等）.pab+bac+qac=180（1平角=180），b+bac+c=180（等量代换）.生2：也可以这样作辅助线.即：作ca的延长线ad，过点a作dae=c（如图）.生3：也可以在三角形的一边上任取一点，然后过这一点分别作另外两边的平行线，这样也可证出定理.即：如图，在bc上任取一点d，过点d分别作deab交ac于e，dfac交ab于f.四边形afde是平行四边形（平行四边形的定义）.bdf=c（两直线平行，同位角相等）.edc=b（两直线平行，同位角相等）.edf=a（平行四边形的对角相等）.bdf+edf+edc=180（1平角=180），a+b+c=180（等量代换）.师：同学们讨论得真棒.接下来我们做练习以巩固三角形内角和定理.设计意图：用平行线的判定定理及性质定理来推导出新的定理，让学生再次体会几何证明的严密性和数学的严谨，培养学生的逻辑推理能力.添辅助线不是盲目的，而是为了证明某一结论，需要引用某个定义、公理、定理，但原图形不具备直接使用它们的条件，这时就需要添辅助线创造条件，以达到证明的目的.三、学以致用，知识反馈例1 如图,已知:a=c. 求证:adb=ceb.（选两名学生板演，其他学生在下面做题，教师巡视.）证明：a+b+adb=180，c+b+ceb=180（三角形内角和定理）， 又a=c,b=b， adb=ceb.例2 如图,在abc中,b=30,c=65,aebc于e,ad平分bac,求dae的度数.（选两名学生板演，其他学生在下面做题，教师巡视.）证明：b+c+bac=180， bac=180-b-c=180-30-66=84. 又ad平分bac， dac=bac=84=42. aebc， eac=90-c=90-66=24. dae=dac-eac=42-24=18.随堂练习：（选两名学生板演1、2两题，其他学生在下面做题，教师巡视并出示答案.）1.直角三角形的两锐角之和是多少度？等边三角形的一个内角是多少度？请证明你的结论.解：如图，在abc中，c=90，a+b+c=180，a+b=90.如图，abc是等边三角形，则：a=b=c.a+b+c=180，a=b=c=60.2.如图646,已知，在abc中，debc，a=60,c=70,求证：ade=50.证明：debc（已知），aed=c（两直线平行，同位角相等）.c=70（已知），aed=70（等量代换）.a+aed+ade=180（三角形的内角和定理），ade=180aaed（等式的性质）.a=60（已知），ade=1806070=50（等量代换）.设计意图：通过学生的例题和反馈练习，使教师能全面了解学生对三角形内角和定理的概念是否清楚，能否灵活运用三角形内角和定理，以便教师能及时地进行查缺补漏学生对于三角形内角和定理的掌握是非常熟练，因此，学生能较好地解决与三角形内角和定理相关的问题四、课堂小结，反思提高师：从今天的课堂中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？先想一想，再谈谈自己的收获.（投影问题）1证明三角形内角和定理有哪几种方法？2辅助线的作法技巧.3三角形内角和定理的简单应用.生：设计意图：本环节我鼓励学生畅谈自己学习所得的新知识与个人切身体会，激发学生的学习兴趣与自信心，对学生今后的数学学习会有很大的帮助五、快乐套餐，深化提高a组：1关于三角形内角的叙述错误的是( ) a.三角形三个内角的和是180； b.三角形两个内角的和一定大于60 c.三角形中至少有一个角不小于60； d.一个三角形中最大的角所对的边最长2下列叙述正确的是( ) a.钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和； b.三角形两个内角的和一定大于第三个内角； c.三角形中至少有两个锐角； d.三角形中至少有一个锐角. 3abc中,a+b=120,c=a,则abc是( ) a.钝角三角形 b.等腰直角三角形； c.直角三角形 d.等边三角形4在abc中,a-b=35,c=55,则b等于( ) a.50 b.55 c.45 d.405三角形中最大的内角一定是( ) a.钝角 b.直角； c.大于60的角 d.大于等于60的角b组：6直角三角形的两个锐角_.7在abc中,a:b:c=1:2:3,则abc是_三角形.8在abc中,a=b=c,则c=_.9在abc中,a+b=120,a-b+c=120,则a=_,b=_.10如图,在abc中,bac=90,adbc于d,则b=_,c=_.设计意图：通过检测纠错，有针对性的对所学知识进行巩固、落实，对学生存在的问题及时有效的进行反馈，让老师及时、准确的掌握学生的课堂学习效果，为下一节课的学习做好准备.六、布置作业，课堂延伸必做题：课本第241页 习题6.6 第1、2题.选做题：课本第241页 习题6.6 第3、4题.板书设计:6.5 三角形内角和定理的证明三角形内角和定理例1例2学生板演区教学反思: 三角形的有关知识是“空间与图形”中最为核心、最为重要的内容，它不仅是最基本的直线型平面图形，而且几乎是研究所有其它图形的工具和基础.而三角形内角和定理又是三角形中最为基础的知识，也是学生最为熟悉且