6概率论与数理统计.ppt

1 概率论与数理统计 六 开始王柱2013 3 18 2 定义 随机试验E 样本空间 e A P 为概率空间 对于 中的每个e 都有一个实数X e 与之对应 这样就得到一个定义在 上的单值实函数X X e 称为随机变量 对于任意的实数集合L X属于L 表示事件 e X e 属于L 令PX L P e X e L 则 R PX 也为概率空间 在其上 令X X x x 也是随机变量 注意X与X 取值的概率情况相同 3 随机变量的分布函数 称为X的分布函数 X的分布函数F x 是普通的函数 表示X落在区间 x 上的概率 X的分布函数F x 的性质 10F x 是一个不减函数 200 F x 1 且左无穷远点为0 右无穷远点为1 30F x 0 F x 即F x 是右连续的 且间断点最多有可列个 定义2 3 1 X为一个随机变量 x是任意实数 函数 4 离散随机变量的分布函数 设 离散随机变量可能取的值为xk k 1 2 X取可能值的概率为pk P X xk k 1 2 F x P X x 为阶梯函数 跳跃点在xk处 且最多有可列个 跃度为pk 5 0 0 1 分布 定义 随机变量X只可能取0或1两个值 它的分布律是P X k pkq 1 k k 0 1 0 p 1 称此X为服从 0 1 分布 分布函数F x 为 0 1 1 p 6 若 X为n重贝努利试验中事件A发生的次数 X这个随机变量 它所有可能取的值为xk 0 1 2 n 取这些可能值的概率为pk P X k Cnkpkq n k k 0 1 2 n 称此X为服从参数为n p的二项分布 记为X b n p 一 贝努利试验 二项分布 7 二项分布图 0 5 10 15 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 0 5 10 15 0 0 05 0 1 0 15 0 2 0 25 参数n 40 p 0 1 8 二 几何分布 若 随机变量X 它所有可能取的值为1 2 3 取这些可能值的概率为 则称随机变量X服从几何分布 前已证明 在独立试验序列中 第k次试验首次出现 成功 的概率服从几何分布 9 三 超几何分布 设一堆同类产品共个 其中有个不合格品 现从中任取个 假定 则这个产品中所含的不合格品数是一个离散型随机变量 概率分布如下 这里 这个概率分布称为超几何分布 10 四 泊松分布 若 随机变量X 它所有可能取的值为xk 0 1 2 取这些可能值的概率为pk P X xk k 0 1 2 其中 0为常数 称X服从参数为 的泊松分布 记为X 11 泊松分布图 0 5 10 15 0 0 05 0 1 0 15 0 2 0 5 10 15 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 参数 4 12 连续型随机变量的概率密度 则称X为连续型随机变量 其中f x 称为X的概率密度函数 简称概率密度 概率密度f x 的性质 10f x 是一个非负函数 30P x1 X x2 F x2 F x1 f x 在区间 x1x2 上的积分 40若f x 在点x处连续 则F x f x 定义 随机变量X分布函数F x 存在非负函数f x 对于任意实数x有 F x 为f x 在区间 x 上的积分 x1 x2 注意 这时F x 为连续函数 20f x 在全区间上的积分为1 13 1 连续型随机变量X一定具有概率密度fX x x 2 反之 有一个非负可积函数f x 其在全区间上的积分为1 则它一定是某个连续型随机变量X的概率密度函数 实际上 令FX x 为该f x 特定的一个原函数 FX 1 记P x1 X x2 FX x2 FX x1 则 R P 为概率空间 随机变量X x x的概率密度函数为该f x 14 1 均匀分布 定义 随机变量X的概率密度函数为f x 1 b a a x b 0 其它 则称此X在区间 a b 上服从均匀分布 几何概率 15 在区间 a b 上服从均匀分布的分布函数为 F x 0 x a x a b a a x b 1 b x 16 其概率密度函数与分布函数图为 一般 若随机变量X的概率密度函数为 则称此X为服从参数为的指数分布 分布函数为 参数 1 3的指数分布 2 指数分布 17 3 正态分布 若 连续型随机变量X的概率密度函数为 其中 0 为常数 称服从参数为 的正态分布 记为N 2 正态分布的分布函数为 18 5 8 19 解释密度函数的图形 1 曲线关于x 对称 2 曲线在x 处取到最大值 3 曲线在x 处有拐点 并以x轴为渐近线 4 固定 曲线以 位置参数 5 固定 越小曲线越高越尖 特别 当 0 1时称X服从标准正态分布 此时 概率密度记为 x 分布函数记为 x 20 标准正态分布的分布函数记为 x 特别 当 0 1时称X服从标准正态分布 此时 概率密度记为 x 做成附表2 21 标准正态分布的概率密度函数图为 z 22 定义 设X N 0 1 若z 满足条件P X z 0 1则称z 为标准正态分布的上 分位点 即1 z 定义 设X N 0 1 若z 满足条件P X z 0 1则称z 为标准正态分布的 双侧 分位点 显然 z z 2 23 一 离散随机变量函数的分布 设 离散随机变量可能取的值为xk k 1 2 X取可能值的概率为pk P X xk k 1 2 2 4随机变量函数的分布 Y g X 的可能取值也是离散的 记为yj j 1 2 取相应可能值的概率为rj P g xk yj 对k 1 2 求和 j 1 2 见例1 24 设 离散随机变量可能取的值为 y x 1 2的可能取值也是离散的 记为yj j 1 2 取相应可能值的概率为rj P g xk yj 对k 1 2 求和 j 1 2 例1 xk 1012pk 0 20 30 10 4 yj 014pj 0 10 70 2 例06 1 25 解由X的概率分布为 例2 5 1设随机变量 求 1 随机变量的概率分布 2 随机变量的概率分布 3 随机变量的概率分布 例06 2 26 得到 1 随机变量的概率分布 2 随机变量的概率分布 3 随机变量的概率分布 0 343 0 441 0 189 0 027 0 63 0 37 0 343 0 468 0 189 27 随机变量X具有概率密度fX x x 求Y g X 的概率密度fY y 解 g x 取值在区间 ab 上 分段考虑 FY y 0 y a FY y 1 b y 而对b y aFY y P Y y P g X y P X L y 关键是解出L y 来 再求导 二 连续型随机变量函数的分布 28 例3 随机变量X具有概率密度fX x x 求Y X2的概率密度fY y 解 g x x2 取值在区间 a 0b 上 分段考虑 FY y 0 y 0 而对y 0FY y P Y y P X2 y P y X y 特别 X N 0 1 Y X2称为自由度为1的 2分布 例06 3 29 例2 5 3设随机变量的概率密度函数求随机变量的概率密度函数 解 随机变量的取值范围是 随机变量的取值范围是 先求的分布函数 例06 4 30 综合上述求得的分布函数 将在开区间关于求导 得的概率密度函数 为不可能事件 得到 31 fY y fX h y h y a y b 0 其它 其中a min g x b max g x h y 是g x 的反函数 证明思路 g x 0 严格单调 a b存在 反函数h y 存在 分段考虑 FY y 0 y a FY y 1 b y 对a y bFY y P Y y P g x y P X h y FX h y 定理 随机变量X具有概率密度fX x 设函数g x 处处可导且有g x 0 或恒有g x 0 则Y g X 是连续型随机变量 其概率密度fY y 为 32 例2 fX x x 8 0 x 4 0 其它 Y 2X 8 g X 求fY y 解 g x 2 0 a 8 b 16 反函数存在 h y y 8 2 于是 对8 y 16fY y fX h y h y 1 8 y 8 2 1 2 y 8 32 0 其它 例06 5 33 例4 随机变量X服从参数为 的正态分布N 2 Y cX d c非0 求 fY y 例06 6 34 解 g x cx d g x c 或 0 或 0 a b 反函数存在 h y y d c h y 1 cfY y fX h y h y fX y d c 1 c 35 Y服从参数为 c d c 的正态分布N c d c 2 取c 1 d 则Y服从参数为 0 1 的标准正态分布N 0 1 36 引理 X N 2 则Z X N 0 1 证明 P Z x P X x P X x 令u t P Z x 证毕 这是例2 4 4 也可以有如下的证明 37 由引理 X N 2 则Z X N 0 1 于是 P x1 X x2 P x1 Z x2 x2 x1 查附表2 38 例3 将一温度调节器放在某液体中 调节器定在d度 液体温度X N d 0 52 1 d 90 求X小于89的概率 2 若要求保持液体温度至少为80的概率不低于0 99 问d至少为多少 Z X d 0 5 1 P X 89 2 1 2 1 0 9772 0 0228 2 P X 80 0 99 z 0 01 80 d 0 5 2 327d 81 1635 例06 7 39 例5 设电压V Asin X A为已知常数 相角X在区间 2 2 上服从均匀分布 求V的概率密度